重庆市丰都县融智教育集团2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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1．试题的答案书写在答题卡（卷）上，不得在试题卷上直接作答．
2．考生务必将自己姓名、准考证号用铅笔涂写在答题卡上．
3．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．不能答在试卷上．
4．考试结束后，考生将答题卡交回，试卷自行带走．
一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑）
1. 下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）
A. 4，5，6B. 1，1，C. 6，8，11D. 5，12，23
【答案】B
【解析】
【分析】根据勾股定理逆定理：，将各个选项逐一代数计算即可得出答案．
【详解】解：A、∵，∴不能构成直角三角形，故A错误；
B、∵，∴能构成直角三角形，故B正确；
C、∵，∴不能构成直角三角形，故C错误；
D、∵，∴不能构成直角三角形，故D错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
2 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则分别计算，进而判断得出答案．
【详解】解：A．，故此选项不合题意；
B．，故此选项符合题意；
C．，故此选项不合题意；
D．，故此选项不合题意；
故选：B．
【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除，正确化简二次根式是解题关键．
3. 如图，在中，，，于点E，则等于（ ）

A. 20°B. 110°C. 70°D. 50°
【答案】D
【解析】
【分析】根据等边对等角求出，得到，根据平行四边形的对边平行得到，再根据直角三角形两锐角互余求出度数．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：D．
【点睛】此题考查了平行四边形的性质，等边对等角求角度，直角三角形两锐角互余的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
4. 估计的值应在（ ）
A. 2和3之间B. 3和4之间C. 4和5之间D. 5和6之间
【答案】C
【解析】
【分析】此题主要考查了估算无理数的大小，正确进行二次根式的运算是解题关键．直接利用二次根式乘法运算法则化简，进而估算无理数的大小即可．
【详解】解：
∵
∴
∴
∴的值应在4和5之间．
故选：C．
5. 下列命题中，真命题是（ ）
A. 对角线相等的四边形是矩形
B. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
C. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形
D. 一组邻边相等，并且有一个内角为直角的四边形是正方形
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了命题与定理的知识．利用矩形、菱形、平行四边形及正方形的判定定理分别判断后即可确定正确的选项．
【详解】解：A、对角线相等的平行四边形才是矩形，原命题是假命题，本选项不符合题意；
B、一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可能是等腰梯形，原命题是假命题，本选项不符合题意；
C、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，是真命题，本选项符合题意；
D、一组邻边相等，并且有一个内角为直角的四边形也可能是直角梯形，原命题是假命题，本选项不符合题意；
故选：C．
6. 如图，在菱形中，对角线、交于点，点是的中点，若，，则菱形的面积是（ ）

A. 48B. 36C. 24D. 18
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上中线的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的两条对角线互相垂直平分是解题的关键．根据菱形的性质和已知条件可得是斜边上的中线，由此可求出的长，再根据勾股定理可求出的长，最后根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可．
【详解】解：∵菱形，
∴，，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴菱形的面积是．
故选：C．
7. 如图，在矩形中，，，对角线，相交于点O，点E，F分别是，的中点，连接，则的周长为（ ）
A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】D
【解析】
【分析】利用勾股定理算出的长度，根据矩形的性质即可得出的长度，再根据中位线的性质求出周长即可．
【详解】在矩形中，，,
，
对角线，相交于点O，
,
点E，F分别是，的中点，
是的中位线，
，
，
，
的周长为：
，
故选：D．
【点睛】本题考查矩形的性质和中位线的应用，关键在于根据矩形的性质转变边长，中位线的性质求出边长．
8. 勾股定理是我国古代的伟大数学发明之一．如图，以的各边向外作正方形，得到三块正方形纸片，再把较小的两张正方形纸片放入最大的正方形中，重叠部分的面积记作，左下不重叠部分的面积记作，若，则的值是（ ）

A. 1B. C. 2D.
【答案】B
【解析】
【分析】设的直角边，，．则，，根据即可推出，即可得出结论．
【详解】解：设的直角边，，．
∴，
∵面积为的矩形的长和宽分别是，，
∴，
∵面积为的正方形的边长是，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，整式的乘法，解题个关键是熟练掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方，以及整式的乘法运算．
9. 如图：正方形中，点E、F分别是、边上的点，连接，交于点N，的角平分线交于M，过点M作分别交于点H，交于点Q，连接，若，，则用含a的代数式表示为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、平行线的性质等知识，利用全等三角形的性质探究角的关系是解答的关键．先证明得到，进而证得，再证明得到，，进而证明得到，利用三角形的外角性质求得，进而可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，又，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，又
∴，
∴，，
又∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：A．
10. 对于从左到右依次排列的三个实数a、b、c，在a与b之间、b与c之间只添加一个四则运算符号“+”、“-”、“×”、“÷”组成算式（不再添加改变运算顺序的括号），并按四则运算法则计算结果，称为对实数a、b、c进行“四则操作”，例如：对实数4、5、6的“四则操作”可以是：，也可以是；对实数2，，的一种“四则操作”可以是．给出下列说法：
① 对实数1、4、2进行“四则操作”后的结果可能是6；
② 对于实数2、、3进行．“四则操作”后，所有结果中最大的是21；
③ 对实数x、x、2进行“四则操作”后的结果为6，则x的值共有16个；
其中正确的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查有理数的四则运算，在三个数之间合理的使用运算符号是解题的关键．
根据“四则操作”的定义依次对各个说法进行判断即可．
【详解】解：对于实数1、4、2进行“四则操作”可以是：，
结果可能为6，
故①正确；
对于实数2、、3进行．“四则操作”，可以是或或或或，
最大结果是17，
故②错误；
③对实数，，2进行．“四则操作”后的结果为6，可以是或或或或或或或或，的或或或或或，共10个，故③错误；
∴正确的只有①，共1个，
故选：B．
二、填空题（本大题4个小题，每小题8分，共32分，请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上）
11. 若式子有意义，则x的取值范围是____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件．根据被开方数不小于零的条件进行解题即可．
【详解】解：由题可知，
，
解得．
故答案为：．
12. 如图所示，为的中位线，点在上，且，若，，则的长为_____．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形斜边上的中线的性质， 根据直角三角形斜边上的中线的性质求出，根据三角形中位线定理求出，计算即可，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
【详解】解：在中，为的中点，，
，
为的中位线，，
，
，
故答案为：．
13. 我同古代有这样一道数学问题：今有一竖直着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后堆在地面的部分有三尺（绳索比木柱长尺），牵着绳索退行，在距木柱底部尺处时绳索用尽，则木柱长为__________尺．
【答案】
【解析】
【分析】设木柱长为尺，根据勾股定理列出方程解答即可．
【详解】解：如图所示，
设木柱长为尺，根据题意得：

∵
则
解得
故答案为：
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键．
14. 已知实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，化简______．

【答案】
【解析】
【分析】根据a、b、c在数轴上的位置，判断出a、b、c的正负情况，继而得出，然后根据绝对值和二次根式的性质去掉根号和绝对值号，再进行计算即可解答．
【详解】解：由图可知，，
∴，
∴
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，绝对值的性质，根据数轴判断出a、b、c的大小并正确运用二次根式和绝对值的性质是解题关键．
15. 如图，在菱形中，对角线，交于点，于点，，，则的长为________
【答案】
【解析】
【分析】根据菱形的性质可知，，，，再根据勾股定理，最后利用菱形的面积即可解答．
【详解】解：∵在菱形中，
∴，，，，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
故答案为．
【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，菱形的面积，掌握菱形的性质是解题的关键．
16. 如图，在中，，，，是边的中点，连接，将沿翻折，得到，连接，则点到的距离为______．
【答案】##
【解析】
【分析】连接，过点作于点，延长线于点，首先证明垂直平分线段，是直角三角形，证明，可得，，得到相关线段长度，然后在利用等面积法列式求解即可得到答案．
【详解】解：连接，过点作于点，延长线于点，过作于点，如图所示：
中，，，，则由勾股定理可得，
，则，
，
，
，
是边上的中线，
，
由翻折可知，，
，
，，
，
，
，
，
由翻折可知是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
在和中，
，
，
，
，
，解得，即点到的距离为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、三角形面积，解题的关键是利用面积法求高，综合性强，难度较大，属于中考常考题型．
17. 如果关于x的不等式组至少有两个整数解，且关于y的分式方程的解为正整数，则符合条件的所有整数m的和为__________．
【答案】12
【解析】
【分析】本题主要考查分式方程的解和一元一次不等式组的解，熟练掌握解分式方程和不等式组的能力，并根据题意得到关于的范围是解题的关键．
【详解】解：解不等式组，得：，
不等式组至少有两个整数解，
，
解得：，
解关于的分式方程，
得：，且
∴
分式方程解为正整数，且，
符合条件的所有整数的值为5，7，
符合条件的所有整数的和为．
故答案为：12．
18. 对于任意一个四位数，若它的千位数字与百位数字的和比十位数字与个位数字的和大，则称这个四位数根为“差双数”，记为的各个数位上的数字之和．例如：，，是“差双数”， ；，， 不是“差双数”．若与都是“差双数”，且，则“差双数”是_____；已知M，N均为“差双数”，其中， ，，，，，，，，，是整数，已知能被整除，且为整数，则满足条件的所有的的值之和为___________．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据“差双数”的定义可得的值为，；根据，可得和的另一个关系，进而求得和的值，即可求得差双数”；判断出和的各个数位上的数字，根据它们都是“差双数”得的各个数位上的数字的关系，得到和并化简，根据能被整除，且为整数，得到可能的各个数位上的数字，计算得到所有的，相加即可．
【详解】解：与都是“差双数”
，
，
即
则为：．
，均为“差双数”，其中， ，，，，，，，，，是整数，
即
，
能被整除，
即是整数，
又是整数，
，且为整数，是整数，
或或．
当时，为整数
或；
当时，为整数，不存在；
当时，为整数，不存在；
①，．
，
．
，，
，或，．
当，时，此时，即，符合题意；
当，时，此时，即，不符合题意；
．
②，．
，
．
，，
，或，
当，时，此时，即，不符合题意；
当时，此时，即，符合题意；
．
满足条件的所有的的值之和为：．
故答案为：，．
三、解答题（本大题共8小题，19题8分，20-26题每题10分，共78分，解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上）
19. 计算：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据二次根式的混合运算法则及绝对值的性质即可解答；
（2）根据二次根式的混合运算法则即可解答．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
；
【点睛】本题考查了二次根式的混合运算法则，二次根式的性质，绝对值的性质，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键．
20. 如图，在中，点E，F分别在，的延长线上，且，与交于点O．求证：．
【答案】见解析
【解析】
【分析】本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质．根据平行四边形的性质可得，，根据平行线的性质可得，，从而可证，即可得出结论．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
在和中，
，
∴，
∴．
21. 如图，在四边形中，，，对角线、交于点O，平分，过点C作交延长线于点E，连接．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】本题考查菱形的判定及性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质．
（1）由和平分可得，从而，进而根据菱形的定义得证结论；
（2）由求出，进而，，在中，根据勾股定理构造方程，即可求得的长，根据面积公式即可解答．
【小问1详解】
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是菱形；
【小问2详解】
∵四边形是菱形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵在中，，
即，
∴，
∵在菱形中，，
∴．
22. 如图，四边形是平行四边形，于E．
（1）尺规作图：过点C作于点F，连接．（要求：保留作图痕迹，不写作法，不下结论）
（2）求证：．将下面的过程补充完整．
证明：∵，，
∴①____________，；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴②____________，，
∴③____________．
在和中，
，
∴，
∴④____________，
又∵，
∴四边形是⑤____________；（⑥____________）（填推理的依据）
∴．
【答案】（1）见解析；（2）；；；；平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
【解析】
【分析】本题考查作图基本作图、全等三角形判定与性质、平行四边形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键．
（1）根据垂线的作图方法作图即可．
（2）根据平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质可得答案．
【详解】（1）解：如图所示．
（2）证明：，，
∴，．
四边形是平行四边形，
，．
．
在和中，
，
∴，
．
又∵，
四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）．
．
故答案为：；；；；平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
23. 阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它运算法则为，例如，请根据阅读理解解答下列各题：
（1）______；
（2）计算：；
（3）已知实数a，b满足行列式，则代数式的值．
【答案】（1）5 （2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查分式的化简求值，实数的运算，整式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
（1）根据二阶行列式的形式，把相应的值代入运算即可；
（2）根据二阶行列式的形式，把相应的值代入运算即可；
（3）先利用分式的相应的法则对式子进行化简，再结合二阶行列式的形式求得相应的值，代入运算即可．
【小问1详解】
解：
；
故答案为：5；
【小问2详解】
解：
；
【小问3详解】
解：
，
，
，
，
，
原式
．
24. 小明和小红相约周末游览合川钓鱼城，如图，为同一平面内的五个景点．已知景点位于景点的东南方向米处，景点位于景点的北偏东方向米处，景点位于景点的北偏东方向，若景点与景点，都位于东西方向，且景点在同一直线上．
（1）求景点与景点之间的距离．（结果保留根号）
（2）小明从景点出发，从到到，小红从景点出发，从到到，两人在各景点处停留的时间忽略不计．已知两人同时出发且速度相同，请通过计算说明谁先到达景点．（参考数据：）
【答案】（1）景点与景点之间的距离为米
（2）小红先到达景点，理由见解析
【解析】
【分析】（）过点作于点，解直角三角形求出，即可求出点与景点之间的距离；
（）过点作于点，过点作于点，解直角三角形求出，分别计算出两人所走的路程，即可判断求解；
本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，矩形的性质，根据题意，作出辅助线，构造出直角三角形是解题的关键．
【小问1详解】
解：过点作于点，
在中，，
∴，
在中，，
∴，，
∴，
答：景点到景点的距离为米；
【小问2详解】
解：过点作于点，过点作于点，
则，
∴四边形为矩形，
在中，，
∴，
∴，，
又∵四边形为矩形，
∴，
在中，，
∴，，
∴，
∴小明所走的路程为米，
小红所走的路程为米，
∵且两人速度相同，
∴小红先到达景点．
25. 如图，正方形中，E是边上一点，连接，以为边在右侧作正方形，连接，交于点N，连接．过点F作交的延长线于点G．
（1）求证：；
（2）求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质；
（1）根据正方形的性质先证明，得出即可得证；
（2）延长到M，使得，连接，先证明，再证明即可求解．
【小问1详解】
∵四边形和四边形是正方形，且，
∴，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
即；
【小问2详解】
延长到M，使得，连接，如图：
∵四边形是正方形，
∴，，.
在和中
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴.
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
26. 在中，，，D为上任意一点，E为上任意一点．
（1）如图1，连接，若，，求的长．
（2）如图2，若点D为中点，连接，点F为上任意一点，连接并延长交于点M，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，点N在上，且，求证：．
（3）如图3，点D为中点，连接，点F为的中点，连接、，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，H为直线上一动点，连接，将沿翻折至所在平面内，得到，连接，直接写出线段的长度的最大值．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）过E作于H，根据等腰三角形的性质和锐角三角函数关系求解即可；
（2）如图2，过E作交延长线于H，则，由旋转性质和全等三角形的判定，结合等腰三角形的判定与性质证明得到，，，进而利用等腰直角三角形的性质和平行线的性质，以及全等三角形的判定与性质证明即可证得结论；
（3）先根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求得，进而得到点在以点F为圆心，为半径的圆上运动；再判断出点G在过点A且与平行的射线上运动，以及当点E与C重合时，最大，即最大，进而可求解．
【小问1详解】
解：如图1，过E作于H，
∵在中，，，，
∴，，
∴，
在中，，
∴；
【小问2详解】
证明：如图2，过E作交延长线于H，则，
由旋转性质得，，
∴，
∵在中，，，点D为中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
∴，
∴，
∵
∴，
∵，，
∴，又，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
解：∵在中，，，
∴，
∵点D为中点，
∴，，
∵点F为的中点，
∴，
∴，
∵将沿翻折至所在平面内，得到，
∴，
∴点在以点F为圆心，为半径的圆上运动；
由（2）知，则，
即点G在过点A且与平行的射线上运动，
∵，，
∴，
当点E与C重合时，的长最大，即的长最大，如图，
∵，∴的长的最大值为，
∵当G、F、共线时，的长最大，
∴线段的长度的最大值为．
【点睛】本题是三角形的综合题，主要考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形、圆的有关性质、翻折性质等知识，添加辅助线构造全等三角形是解答的关键．