北京市三帆中学2023-2024学年九年级下学期月考数学试题（含解析）

这是一份北京市三帆中学2023-2024学年九年级下学期月考数学试题（含解析），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.2024年2月，中国5G基站总数达3509000个，5G用户达八亿，两项数据都是世界第一！中国预计将在2025年实现6G商用．将3509000用科学记数法表示应为
( )
A. 0.3509×106B. 3.509×106C. 3.509×105D. 3509×103
2.下列中国风传统图腾的图案中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
3.如图，点C在直线AB上，若∠DCE=60∘，∠BCE=140∘，则∠ACD的大小为
( )
A. 15∘B. 20∘C. 25∘D. 30∘
4.若正n边形的每个外角为45∘，则n的值为
( )
A. 5B. 6C. 7D. 8
5.关于x的一元二次方程x2−2x+m=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是
( )
A. m<1B. m≤1C. m>1D. m≥1
6.实数a在数轴上对应点的位置如图所示，若实数b满足b>a，且1a>1b，则b的值可以是
( )
A. −3B. −1C. 1D. 3
7.学校为了外出参加某项演出活动，计划先由甲、乙两个班各选两名学生，学校再从这4名学生中挑选出两名学生代表学校参加演出活动，被抽选到的这两名学生分别来自不同班级的概率是( )
A. 14B. 12C. 13D. 23
8.如图，在以AB为直径的半圆中，有一内接矩形CDEF，其边长比CF:DC=2:1，若DC=c，AC=a，BC=b，给出下面四个结论：
①a−b=2c②ab=c2③a+b=2 2c④a2+b2=8c2
上述结论中，所有正确结论的序号是( )
A. ①②B. ③④C. ①②③D. ①②③④
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.函数y= 2−x的自变量x的取值范围是 ．
10.分解因式：x2y−4xy+4y= ．
11.方程5x−2−1x=0的解为 ．
12.在平面直角坐标系xOy中，函数y=kxk≠0的图象与直线y=−x+b交于A，B两点，若点A坐标为1,3，则点B坐标为 ．
13.如图，在▱ABCD中，AB=6 2，∠B=45∘，AF⊥BC于点F，交DC的延长线于点E，若EFAF=23，则AD的长为 ．
14.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC，取AC的中点F，连接OF，已知CD=8 3，OF=4，则⊙O的半径长为 ．
15.描金又称泥金画漆，是一种传统工艺美术技艺．起源于战国时期，在漆器表面，用金色描绘花纹的装饰方法，常以黑漆作底，也有少数以朱漆为底．描金工作分为两道工序，第一道工序是上漆，第二道工序是描绘花纹．现有四件原料A、B、C、D，每件原料在每道工序所需的时间(单位：小时)如表：
若由一名工匠单独完成四件原料的描金工作，则完成这四件原料的描金工作需要 小时；若由甲、乙两位工匠完成四件原料的描金工作，每件原料先由甲上漆，再由乙描绘花纹，则完成这四件原料的描金工作最少需要 小时．
16.甲、乙两位同学在如下所示的表格中从左至右依次填数，已知表中第一个数字是9，甲乙轮流从1，2，3，4，5，6，7，8中选出一个数字填入表中(表中已出现的数字不再重复使用).每次填数时，甲会选择填入后使表中数据方差最大的数字，乙会选择填入后使表中数据方差最小的数字，甲先填，请你在表中空白处填出一种符合要求的填数结果．
三、解答题：本题共12小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
计算：8sin60∘+− 27+−13−1−1− 30
18.(本小题8分)
解不等式组：5x−5x−23．
19.(本小题8分)
已知：a−b−2=0，求代数式12a+2b+ba2−b2⋅a−b2的值．
20.(本小题8分)
如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，DE/​/AC，CE/​/BD．

(1)求证：四边形OCED为矩形；
(2)连接AE，若∠ACB=30∘，BC=4，求AE的长度．
21.(本小题8分)
梅兰竹菊，被称为“四君子”，在中国文化中具有非常重要的象征意义，代表着高尚的品德和精神追求．在我校第十三届艺术节活动中，某班同学在长90cm、宽30cm的展板上展出了四幅书画作品．每幅作品面积为520cm2(作品尺寸均相同)，如图所示，作品与展板外沿、作品之间均贴有宽度相同的彩色纸带，求彩色纸带的宽度．
22.(本小题8分)
在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+bk≠0的图象由直线y=−2x平移得到，且过点1,1，与直线x=2交于点A．
(1)求一次函数y=kx+bk≠0的表达式及点A的坐标；
(2)当x<2时，对于x的每一个值，一次函数y=kx+bk≠0的值大于一次函数y=mx的值，直接写出m的取值范围．
23.(本小题8分)
为进一步增强中小学生“知危险会避险”的意识，某校初三年级开展了系列安全知识竞赛，从中随机抽取30名学生两次知识竞赛的成绩(百分制)，并对数据(成绩)进行收集、整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a.这30名学生第一次竞赛成绩和第二次竞赛成绩得分情况统计图：
b.下表是这30名学生两次知识竞赛的获奖情况相关统计：
(规定：分数≥90，获卓越奖；85≤分数<90，获优秀奖；分数<85，获参与奖)
c.第二次竞赛获卓越奖的学生成绩如下：
90 90 91 91 91 91 92 93 93 94 94 94 95 95 96 98
d.两次竞赛成绩样本数据的平均数、中位数、众数如表：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)m=_________，n=_________；
(2)可以推断出第_________次竞赛中初三年级全体学生的成绩水平较高，理由是_______________________________________________________________；(至少从两个方面说明)
(3)学校现推荐4名学生去参加区安全知识竞赛，请你在图中圈出表示这四位同学成绩的点，理由是_______________________________________________________________．
24.(本小题8分)
如图，P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的切线，A，B为切点．BC为⊙O的直径，连接PO，AC，延长BC，PA交于点Q．
(1)证明：PO//AC．
(2)若CQ=2，sin∠Q=35，求PO的长．
25.(本小题8分)
数学兴趣小组在设计一个表面积为12dm2，底面为正方形的长方体盒子(有底也有盖)时，发现了一个有趣的问题：盒子的体积V与底面边长x之间有某种函数关系．
他们开展了如下的探究过程，请你将其补充完整：
(1)建立模型：设长方体的高为hdm，表面积为Sdm2，根据长方体的表面积公式：S=2x2+4xh=12，
∴h=12−2x24x=6−x22x①
将①代入长方体的体积公式，得：V=x2⋅h=_________②
可知，V是x的函数，自变量的取值范围是x>0．
(2)探究函数：根据函数解析式②，按照下表中自变量x的值计算(精确到0.01)，得到了V与x的几组对应值：
在下面的平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点，画出该函数的图象：
(3)解决问题：结合表中数据，并利用所画的函数图象推断：
①当底面边长为_________(精确到0.01)dm时，这个盒子的体积最大；
②这个盒子的体积为2时，底面边长为_________(精确到0.01)dm．
26.(本小题8分)
在平面直角坐标系xOy中，Mx1,y1，Nx2,y2为抛物线y=ax2+bx+ca>0上任意两点，设该抛物线的对称轴为x=t．
(1)若x1=3时，y1=c，求t的值；
(2)若对于−1≤x1≤0，x2≥2，都有y127.(本小题8分)
如图在Rt▵ABC中，∠ACB=90∘，∠B=α45∘<α<90∘，D为BC延长线上一点，将线段DC绕点D顺时针旋转2α得到线段DE，连接CE，AE，过点E作线段AE的垂线，交射线BC于点F，连接AF．
(1)依题意补全图形，并直接写出∠EAF的度数(用含α的式子表示)；
(2)求证：DB=DF．
28.(本小题8分)
在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为r，点P是⊙O上一点．对平面内的一点Q，先将点Q关于点O作中心对称变换得到点Q1，再将点Q1沿射线OP的方向平移半径r的长度得到点Q2，称为一次关于半径OP的反射平移，点Q2称为点Q关于半径OP的反射平移点．如图，已知点A0,2．
(1)点P是⊙O上的动点，OP=1，则在A10,−1，A21,−1，A30,−2，A4− 22,−2− 22中，可能是点A关于半径OP的反射平移点的是________；
(2)直线l：y= 33x+bb>0与x轴交于点M，与y轴交于点N．
①当l经过点A，且P的坐标为0,1时，若线段MN上一点B关于半径OP的反射平移点在⊙O上或内部，直接写出点B的横坐标xB的取值范围；
②当直线l经过点A，且P在y轴的正半轴上时，若线段MN上存在点C，使点C关于半径OP的反射平移点在⊙O上，求⊙O的半径r的取值范围；
(3)⊙O的半径为1.若对于过点A的线段AH上每一点G(不含端点)，都存在位于第一象限的点P，使点G关于半径OP的平移反射点恰好在⊙O上，直接写出线段AH长度的最大值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】本题考查了科学记数法：把一个大于10的数表示成 a×10n 的形式(a大于或等于1且小于10，n是正整数)；n的值为小数点向左移动的位数．根据科学记数法的定义，即可得到答案
【详解】解： 3509000=3.509×106 ，
故选：B．
2.【答案】C
【解析】【分析】本题考查的是中心对称图形的概念，解题的关键是掌握中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合．根据中心对称图形的概念判断．把一个图形绕某一点旋转 180∘ ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．
【详解】解：A、找不到这样的一个点，使图形绕某一点旋转 180∘ 后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，不符合题意；
B、找不到这样的一个点，使图形绕某一点旋转 180∘ 后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
C、能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转 180∘ 后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，符合题意；
D、不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转 180∘ 后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，不符合题意；
故选：C．
3.【答案】B
【解析】【分析】此题考查了几何图形中角度的计算，正确掌握图形找中各角度的关系是解题的关键．
首先求出 ∠ACE=180∘−∠BCE=40∘ ，然后利用角的和差求解即可．
【详解】∵ ∠BCE=140∘
∴ ∠ACE=180∘−∠BCE=40∘
∵ ∠DCE=60∘
∴ ∠ACD=∠DCE−∠ACE=20∘ ．
故选：B．
4.【答案】D
【解析】【分析】本题考查多边形的外角和，根据多边形的外角和等于 360∘ 即可求出多边形的边数．
【详解】解：∵ n=360∘÷45∘=8 ．
∴n的值为8．
故选：D．
5.【答案】A
【解析】【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出 m 的范围即可．
【详解】解： ∵ 关于 x 的一元二次方程 x2−2x+m=0 有两个不相等的实数根，
∴ Δ=4−4m>0 ，
解得： m<1 ．
故选：A．
【点睛】此题考查了根的判别式，熟练掌握根的判别式与方程解的情况之间的关系是解本题的关键．
6.【答案】B
【解析】【分析】本题主要考查不等式的性质，根据数轴找到a得范围，得到 1a 的范围，再结合题意得到 1b 的范围即可找到b的可能值．
【详解】解：由图像得， −3∵ b>a ，
∴ b>−3 ，
∵ 1a>1b ，
∴ −12>1b ，
故选：B．
7.【答案】D
【解析】【分析】本题主要考查了用列举法求概率，设甲班学生为 A1 ， A2 ，乙班学生为 B1 ， B2 ，列出所有的情况，再看可能得情况有几种，最后根据概率公式求解即可．
【详解】解：设甲班学生为 A1 ， A2 ，乙班学生为 B1 ， B2 ，
则从4名学生中挑选两名学生有：
A1,A2 ， A1,B1 ， A1,B2 ， A2,B1 ， A2,B2 ， B1,B2 共6种情况，
其中两名学生来自不同班级的情况有4种，
所以被抽选到的两名学生分别来自不同班级的概率是 46=23 ．
故选：D．
8.【答案】C
【解析】【分析】该题主要考查了相似三角形的性质和判定，圆的性质，完全平方公式，圆周角定理等知识点，解题的关键是证明相似．
根据 DC=c ， CF:DC=2:1 得出 CF=2c ，再根据半径相等判断①；证明 ▵DAC∽▵BDC ，根据相似性质判断②；根据完全平方公式变形判断③④；
【详解】 ∵ DC=c ， CF:DC=2:1 ， AC=a ， BC=b ，
∴ CF=2c ，
∴ OF=OC=c ，
∵ OA=OB ，
∴ OA−OF=OB−OC ，
∴ AF=BC=b ，
∵ AC−AF=FC ，
∴ a−b=2c ，①正确；
连接 AD,BD ，

∵ AB 是直径，
∴ ∠ADB=90∘ ，
∴ ∠ADC+∠BDC=90∘ ，
∵ ∠ADC+∠DAC=90∘ ，
∴ ∠DAC=∠CDB ，
∴ ▵DAC∽▵BDC ，
∴ ACDC=DCBC ，即 ac=cb ，
即 ab=c2 ，②正确；
∵ a−b=2c ， ab=c2 ，
∴ a+b= a−b2+4ab= 2c2+4⋅c2= 8c2=2 2c ，故③正确；
∴ a2+b2=a+b2−2ab=2 2c2−2c2=6c2 ，故④错误；
故选：C．
9.【答案】x≤2
【解析】解：依题意，得2−x≥0，
解得x≤2．
故答案为：x≤2．
求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，二次根式有意义的条件是：被开方数为非负数．
本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
10.【答案】y(x−2)2
【解析】先提取公因式y，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．
11.【答案】x=−12
【解析】【分析】本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解．两边都乘以 xx−2 化为整式方程求解，然后验根即可．
【详解】解： 5x−2−1x=0 ，
两边都乘以 xx−2 ，得
5x−x−2=0 ，
解得 x=−12 ，
检验：当 x=−12 时， xx−2≠0 ，
∴ x=−12 是原方程的解．
故答案为： x=−12 ．
12.【答案】3,1
【解析】【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，把点 1,3 分别代入 y=kx 和 y=−x+b 得 k,b 的值，再联立方程组，解方程可得B的坐标．
【详解】解：把点 1,3 代入 y=−x+b 得，
−1+b=3 ，
解得， b=4 ，
∴一次函数的解析式为 y=−x+4 ；
把点 1,3 代入 y=kx ，得， 3=k1 ，
∴ k=3,
∴反比例函数的解析式为 y=3x ；
联立方程组得 y=−x+4y=3x ，
解得 x1=1y1=3,x2=3y2=1 ，
∵ A1,3 ，
∴ B3,1
故答案为： 3,1
13.【答案】10
【解析】【分析】本题主要考查了平行四边的性质，相似三角形的判定以及性质，等腰直角三角形的判定以及性质，由已知条件可得出 BF=AF=6 ，由平行四边形的性质可得出 ∠B=∠FCE ，进而证明 ▵BFA∽▵CFE ，由相似三角形性质可得出 BFCF=FAEF ，进而可得出 CF=4 ，即可求出 BC 的值，则即可求出 AD 的值．
【详解】解：∵ AF⊥BC ，
∴ ∠BFA=90∘ ，
又∵ ∠B=45∘
∴ ∠BAF=45∘ ，
∴ BF=AF
∵ AB=6 2 ，
∴ BF=AF=6 ，
∵ ABCD 是平行四边形，
∴ AB//EC ， AD=BC ，
∴ ∠B=∠FCE ，
又 ∠BFA=∠CFE=90∘ ，
∴ ▵BFA∽▵CFE ，
∴ BFCF=FAEF ，
∵ EFAF=23 ，
∴ BFCF=FAEF=32 ，
又∵ BF=AF=6 ，
∴ CF=4 ，
∴ BC=BF+FC=10 ，
∴ AD=10 ，
故答案为：10．
14.【答案】8
【解析】【分析】连接 BC ，由垂径定理得 CE=12CD=4 3 ，再由中位线的性质得 BC=2OF=8, 从而利用解直角三角形即可得解。
【详解】解：如图，连接 BC ，
∵AB 是 ⊙O 的直径，弦 CD⊥AB ， CD=8 3 ，
∴CE=12CD=4 3 ，
∵ F 是 AC 的中点， O 是 AB 的中点，
∴ BC=2OF=8,
∴ sinB=CEBC=4 38= 32 ,
∴ ∠B=60∘, 则 ∠A=30∘ ，
∴ sinA=BCAB=sin30∘=12 ，
∴ AB=BCsinA=8sin30∘=16 ,
∴ ⊙O 的半径长为 162=8 ，
故答案为： 8 ．
【点睛】本题考查了三角形的中位线性质、解直角三角形，垂径定理及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键．
15.【答案】87
55

【解析】【分析】本题主要考查了推理判断，根据单独完成不能重复直接计算即可，再根据描绘花纹的时间都花费，且开始上漆时间最短即可．
【详解】由一名工匠单独完成四件原料的描金工作需要 15+8+9+6+7+14+13+15=87 (小时)；甲工人给原料D上漆需要6小时，之后甲工人再给原料C上漆需要9小时，同时乙工人给原料D描绘花纹，接下来甲工人给原来A上漆需要15小时，同时乙工人给原料C描绘花纹，然后甲工人给原料B上漆，同时乙工人给原料A描绘花纹，最后乙工人给原料B描绘花纹需要14小时.共需要 6+7+14+13+15=55 (小时)．
故答案为：87，55．
16.【答案】1
5
2
4

【解析】【分析】本题考查方差的概念和应用．熟练掌握方差越大，数据波动越大，方差越小，数据波动越小是解题的关键．开始数据是9，甲先填入的数据使方差最大，说明甲填入的是最大的数字1，乙填入的数据使方差最小，说明乙填入的数据是中间数字5，以此类推即可算出答案．
【详解】解：由题意可知，开始数字是9，
∵甲填入数字后数据方差最大，
∴甲先填入1，
又∵乙填入数字后数据方差最小，
∴乙再填入5，
又∵甲填入的数字使此时的方差最大，
∴甲填入的数字可以为2，
∴最后乙填入的数字是4，
∴依次填入的数字是1，5，2，4．
故答案为：1，5，2，4．
17.【答案】解： 8sin60∘+− 27+−13−1−1− 30
=8× 32+3 3−3−1
=4 3+3 3−4
=7 3−4

【解析】【分析】本题主要考查了实数的混合运算，先化简绝对值，负整数指数幂，零次幂，特殊角的三角函数值，然后再算乘法，最后算加减法．
18.【答案】解： 5x−5x−23② ，
解①得 x<2 ，
解②得 x>−1 ，
∴不等式组的解集为 −1
【解析】【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集．
19.【答案】解： 12a+2b+ba2−b2⋅a−b2
=a−b2a+ba−b+2b2a+ba−b⋅a−b2
=a+b2a+ba−b⋅a−b2
=a−b2 ，
∵ a−b−2=0 ，
∴ a−b=2 ，
则原式 =22=1 ．

【解析】【分析】本题考查整式的化简求值，解题的关键是掌握整式的加减运算法则和整体代入的思想．先去括号，再合并同类项，得出化简的结果，再整体代入求值．
20.【答案】(1)证明：∵ DE/​/AC ， CE/​/BD ，
∴四边形 OCED 是平行四边形，
∵四边形 ABCD 是菱形，
∴ AC⊥BD ，
∴ ∠COD=90∘ ，
∴四边形 OCED 是矩形；
(2)解：∵四边形 ABCD 是菱形， ∠ACB=30∘
∴ AD=AB=BC=CD=4 ， OB=OD ， OA=OC ， AC⊥BD ， ∠BCD=2∠ACB=60∘ ，
∴ ▵BCD 是等边三角形，
∴ BD=BC=4 ，
∴ OD=12BD=2 ，
∵四边形 OCED 是矩形，
∴ CE=OD=2 ，
在 Rt▵COD 中，由勾股定理得： OC= CD2−OD2= 42−22=2 3 ，
∴ AC=2OC=4 3 ，
∴在 Rt▵ACE 中，由勾股定理得： AE= AC2+CE2= 4 32+22=2 13 ．

【解析】【分析】(1)先证四边形 AODE 为平行四边形，再由 ABCD 是菱形的性质得 ∠AOD=90∘ ，即可得出结论；
( 2 )根据菱形的性质证 ▵BCD 是等边三角形，得 BD=BC=4 ，利用勾股定理得 OC=2 3 ，从而有 AC=2OC=4 3 ，再利用勾股定理即可求解．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、等边三角形得判定及性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．
21.【答案】解：设彩色纸带的宽为 xcm ，
根据题意，得 90⋅2x+5x⋅30−2x=90×30−520×4 ，
整理，得 x2−33x+62=0 ．
解方程，得 x1=2,x2=31 (不合题意，舍去)．
答：彩色纸带的宽为 2cm ．

【解析】【分析】本题考查了根据矩形的面积公式的列一元二次方程解决实际问题的运用及一元二次方程解法的运用．解答时检验根是否符合题意是容易被忽略的地方．
设彩色纸带的宽为 xcm ，根据题目条件列出方程，求出其解就可以．
22.【答案】(1)解：由题意可设一次函数 y=−2x+bk≠0 ，
∵一次函数过点 1,1 ，
∴ −2+b=1 ，解得 b=3 ，
则一次函数 y=−2x+3 ，
∵一次函数 y=−2x+3 与直线 x=2 交于点 A ，
∴ y=−2×2+3=−1 ，
∴点 A2,−1 ．
(2)由题意得当 x<2 时， −2x+3>mx ，得 −2+mx+3>0 ，
①当 m=−2 时， 3>0 ；
②当 m<−2 时， 2+m<0 ，则 −2+mx+3>0 ，解得 x>32+m ，与 x<2 矛盾；
③当 m>−2 时， 2+m>0 ，则 −2+mx+3>0 ，解得 x<32+m ，
由 x<2 ，得 2≤32+m ，则有 m≤−12 ，
则 −2综上所述， −2≤m≤−12 ．

【解析】【分析】本题主要考查一次函数的性质和图像平移，
1 利用图象平移设一次函数解析式，再结合待定系数法求得求得解析式和点坐标；
2 根据题意列出不等式，利用分类讨论思想即可求得解．
23.【答案】(1)解： m=2×84+12×87+16×9330=90 ，
30名同学第二次竞赛成绩，从小到大，最中间的两个数为第15个和第16个，成绩都为90，
∴中位数是 n=90+902=90 (分)，
故答案为：90，90；
(2)解：可以推断出第二次竞赛中初三年级全体学生的成绩水平较高，理由是平均数第一次成绩88分<第二次成绩90分，根据中位数第一次 87.5 分<第二次90分，根据众数第一次88分<第二次91分，
故答案为：二，第一次竞赛学生成绩的平均数、中位数、众数都低于第二次竞赛；
(3)解：如图，圈出的4名同学成绩表示的点，理由是这4名同学2次成绩平均数最大，
故答案为：这4名同学2次成绩平均数最大；


【解析】【分析】(1)根据加权平均数的定义即可求得m，根据中位数的定义即可求出n；
(2)利用平均数、中位数、众数进行决策即可；
(3)根据2次成绩平均数最大的位置，圈出即可．
【点睛】本题考查了统计图，平均数、中位数、众数，解题的关键是根据统计图得出所需数据及搞清中位数的定义．
24.【答案】(1)证明：连接 OA ，
∵ PA 、 PB 是 ⊙O 的两条切线， A 、 B 是切点，
∴ ∠OAP=∠OBP=90∘ ．
在 ▵OAP 和 ▵OBP 中，
OA=OBOP=OP∠OBP=∠OAP=90∘
∴▵OAP≌▵OBPHL ，
∴ PA=PB ， ∠BOP=∠AOP ，
∵ OA=OC ，
∴∠OAC=∠OCA ，
∵∠BOP+∠AOP=∠OAC+∠OCA ，
∴∠BOP=∠OCA ，
∴ AC//PO ；
(2)解：∵ PA 、 PB 是 ⊙O 的两条切线， A 、 B 是切点，
∴ ∠OAQ=∠PBQ=90∘ ．
在 Rt▵OAQ 中，设 OA=OC=r ，
∴OQ=CQ+OC=2+r ．
由 sin∠Q=OAOQ=r2+r=35 ，解得 r=3 ．
∴BQ=BC+CQ=8 ， OQ=5 ，
在 Rt▵OAQ 中，由 OA2+AQ2=OQ2 得 AQ= 52−33=4 ，
在 Rt▵PBQ 中， tan∠Q=BPBQ=OAAQ ，
即 BP8=34 ，
解得 PB=6 ，
在 Rt▵PBO 中，
∴ PO= PB2+BO2= 62+32=3 5 ．

【解析】【分析】本题考查了性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；也考查了勾股定理和全等三角形的判定与性质，解直角三角形，平行线的判定．
(1)连接 OA ，证明 △OAP≌△OBP ，根据全等三角形性质和等腰三角形性质得出 ∠BOP=∠OCA ，进而得到 AC//PO ；
(2)先用 sin∠Q=35 得出半径， OQ,OA,BQ ，再根据勾股定理计算出 AQ ，再用 cs∠Q 计算出 PB ，根据勾股定理即可求解．
25.【答案】(1)解：∵ h=6−x22x ，
∴ V=x2⋅h=x2⋅6−x22x=−12x3+3x ，
故答案为： −12x3+3x ；
(2)解：作图如下，
(3)解：①∵当 x=1.50dm 时， V=2.81dm3 ，此时处于最高点，
∴结合图像可得，底面边长为 1.50dm 时，这个盒子的体积最大，
故答案为： 1.50 ，
②∵当 x=0.75dm 时， V=2.04dm3 ，当 x=2.00dm 时， V=2.00dm3 ，
∴结合图形得这个盒子的体积为2时，底面边长为 0.75dm 或 2.00dm 。
故答案为： 0.75 或 2.00 ．

【解析】【分析】本题考查了函数图象以及分式的乘法，根据函数图象获取信息是解题的关键．
(1)把 h=6−x22x 代入计算即可得解；
(2)用平滑的曲线连接即可得解；
(3)①根据(2)中的表格中数据与函数图象分析可得当当 x=1.50dm 时 V=2.81dm3 ，此时处于最高点，即可判断求解，②由当 x=0.75dm 时， V=2.04dm3 ，当 x=2.00dm 时， V=2.00dm3 ，结合图形判断求解即可．
②根据函数图象求解即可
【点睛】此题考查函数的表示方法，函数自变量的取值范围，函数图像，解题关键在于看懂图中数据．
26.【答案】(1)解：由题意得 9a+3b+c=c ，则 b=−3a ，
∵抛物线的对称轴为 x=t ，
∴ x=−b2a=−−3a2a=32 ，
则 t=32 ；
(2)∵抛物线的对称轴为 x=t ，
∴ x=−b2a=t ，则 b=−2at ，
由题意得 y1=ax 12+bx1+c ， y2=ax 22+bx2+c ，
则 y2−y1=ax 22+bx2+c−ax 12−bx1−c
=ax 22−2atx2−ax 12+2atx1
=ax2+x1x2−x1−2atx2−x1
=ax2−x1x2+x1−2t ，
∵ y1∴ ax2−x1x2+x1−2t>0 ，
∵ −1≤x1≤0 ， x2≥2 ，
∴ x2−x1>0 ， x2+x1≥1 ，
∵ a>0 ，
∴ x2+x1−2t>0 ，
则 1≥2t ，解得 t≤12 ，
∵ 2,m ， 1,n ， 0,c
∴ c
【解析】【分析】本题主要考查二次函数的性质和不等式的性质，
1 根据题意将点代入抛物线得到 b=−3a ，结合对称轴得定义即可求得t；
2 根据抛物线的对称轴求得 b=−2at ，将点代入即可得到 y2−y1=ax2−x1x2+x1−2t ，结合题意已知即可知 t≤12 ，利用开口向上和点离对称轴距离即可求得 c27.【答案】(1)解：如图所示，即为所求；
由旋转的性质可得 DF=DC,∠CDE=2α ，
∴ ∠DCE=∠DEC=180∘−∠CDE2=90∘−α ，
∵ AE⊥EF ，
∴ ∠AEF=90∘ ，
∵ ∠ACB=90∘ ，
∴ ∠ACF=90∘=∠AEF ，
∴A、C、E、F四点共圆，
∴ ∠EAF=∠ECF=90∘−α ；
(2)证明：如图所示，延长 ED 到M，使得 DE=DM ，
由旋转的性质可得 DE=DC ，
∴ DE=DC=DM ，
∴ ∠DCM=∠DMC,∠DEC=∠DCE ，
∵ ∠DCM+∠DMC+∠DEC+∠DCE=180∘ ，
∴ ∠DCM+∠DCE=90∘ ，
∴ ∠MCE=90∘ ，
∴ ∠MCE=∠BCA=90∘ ，
∵ ∠BAC=90∘−∠ABC=90∘−α=∠MEC ，
∴ △MCE∽△BCA ，
∴ CMCE=BCAC ，
∵ ∠MCE+∠ACM=∠BCA+∠ACM ，即 ∠ACE=∠BCM ，
∴ △ACE∽△BCM ，
∴ ∠CBM=∠CAE ，
∵A、C、E、F四点共圆，
∴ ∠CAE=∠CFE ，
∴ ∠DBM=∠DFE ，
又∵ ∠BDM=∠FDE,DM=DE ，
∴ ▵BDM≌▵FDEAAS ，
∴ DF=DB ．

【解析】【分析】(1)先根据题意作图，再由旋转的性质和等边对等角得到 DF=DC,∠CDE=2α ， ∠DCE=∠DEC=90∘−α ，证明A、C、E、F四点共圆，即可得到 ∠EAF=∠ECF=90∘−α ；
(2)延长 ED 到M，使得 DE=DM ，由旋转的性质可得 DE=DC ，则 DE=DC=DM ，可证明 ∠MCE=90∘ ，再证明 △MCE∽△BCA ，得到 CMCE=BCAC ，进一步证明 △ACE∽△BCM ，得到 ∠CBM=∠CAE ，进一步证明 ∠DBM=∠DFE ，则可证明 ▵BDM≌▵FDEAAS ，即可得到 DF=DB ．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，圆周角定理，旋转的性质，等边对等角，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造相似三角形和全等三角形是解题的关键．
28.【答案】(1)解：点 A0,2 关于 O 的对称点 A′0,−2 ，
∵ A′A′′=OP=1 ，则 A′′ 在 A′ 为圆心，1为半径的圆上，如图所示，
∵ A10,−1 ， A21,−1 ， A30,−2 ， A4− 22,−2− 22 ，
A1A3=−1+2=1 ， A3A4= 222+− 222=1 则 A4 在 ⊙A′ 上，
故答案为： A1,A4 ．
(2)①解：∵ y= 33x+bb>0 经过点 A ，
∴ b=2
∴ y= 33x+2 ，
如图所示，线段 MN 上一点 B 关于半径 OP 的反射平移点在 ⊙O 上或内部，即 N′′B′′ 在 ⊙O 的内部时，先中心对称再平移，
当 y=0 时， x=−2 3 ，则 M−2 3,0
∴ OM=2 3
∴ tan∠MNO=60∘
∵线段经过反射平移后与 y 轴的夹角不变，
∴ ∠ON′′B′′=60∘
∴当 B′′ 在 ⊙O 上且不与点 N′′ 重合时，连接 OB′′ ，则 ▵OB′′N′′ 即为所等边三角形，
∴ B′′ 32,−12
∴ B′ 32,−32 ， B− 32,32
结合图形，可得线段 MN 上一点 B 关于半径 OP 的反射平移点在 ⊙O 上或内部时， − 32≤xB≤0
②如图所示，当 ⊙O 与 y= 33x+bb<0 相切时，为临界值；
延长 OC′′ 交 M′N′ 于点 T ，作 C′C′′//y 轴，则 OT⊥M′N′ ， ∠ON′T=60∘,ON′=ON=2
∴ OT=2×sin60∘= 3
∴ C′′T= 3−r ，
∵ C′C′′//y 轴，则 C′C′′=C′′Tsin60∘= 3−r 32=2−2 3r3
又 C′C′′=r
∴ 2−2 3r3=r
解得： r=4 3−6
∴线段 MN 上存在点 C ，使点 C 关于半径 OP 的反射平移点在 ⊙O 上， ⊙O 的半径 r 的取值范围为： r≥4 3−6
(3)解：∵点 G 关于半径 OP 的平移反射点恰好在 ⊙O 上，
∴点 P 是在第一象限内的圆弧，如图即 O′PQ⌢ ，
∵ ⊙O 的半径为1，则 OP=1 ，
设 ⊙O 沿 OP 方向平移 1 个单位后的圆心为 T ，则 OP=OT ，根据定义可得 P,T 关于原点对称，
∴ G 点在 P 为圆心，半径为 1 的圆上
即点 G 的轨迹为平面内到弧 O′PQ⌢ 距离为 1 的点组成的图形，如图所示曲线组成的封闭图形，
∴当 AH 经过点 O′ 时， AH 取的最大值，
∵ OO′=OP=1,AO=2
∴ AH= 22+12+1= 5+1 ．

【解析】【分析】(1)根据新定义可得 A′′ 在 A′ 为圆心，1为半径的圆上，进而根据点的坐标到 A′0,−2 的距离为 1 ，即可求解；
(2)①线段 MN 上一点 B 关于半径 OP 的反射平移点在 ⊙O 上或内部，即 N′′B′′ 在 ⊙O 的内部时，先中心对称再平移，得出 tan∠MNO=60∘ ，则 ∠ON′′B′′=60∘ 进而得出 B− 32,32 ，结合图形即可求解；
②当 ⊙O 与 y= 33x+bb<0 相切时，为临界值；同①得出 C′′−x,− 33x+2+r ，根据 OC′′=r ，解方程，即可求解；
(3)先确定点 P 的位置，是在第一象限内的圆弧 O′PQ⌢ ，进而根据新定义得出点 G 的轨迹为平面内到弧 O′PQ⌢ 距离为 1 的点组成的图形，如图所示曲线组成的封闭图形，画出图形，即可求解．
【点睛】本题考查了几何新定义，中心对称与平移变换，一次函数与坐标轴的交点问题，解直角三角形，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，勾股定理，理解题意，熟练掌握以上知识掌握是解题的关键．
原料时间工序
原料A
原料B
原料C
原料D
上漆
15
8
9
6
描绘花纹
7
14
13
15
9




参与奖
优秀奖
卓越奖
第一次竞赛
人数
10
10
10
平均分
82
87
95
第二次竞赛
人数
2
12
16
平均分
84
87
93
平均数
中位数
众数
第一次竞赛
88
87.5
88
第二次竞赛
m
n
91
x/dm
…
0.25
0.50
0.75
1.00
1.25
1.50
1.75
2.00
2.25
2.40
…
V/dm3
…
0.74
1.44
2.04
2.50
2.77
2.81
2.57
2.00
1.05
0.29
…