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所属成套资源：2024衡水武强中学高二下学期期中考试及答案(九科)
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2024衡水武强中学高二下学期期中考试数学含解析
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这是一份2024衡水武强中学高二下学期期中考试数学含解析，文件包含河北省衡水市武强中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题docx、高二数学答题纸pdf等2份试卷配套教学资源，其中试卷共14页， 欢迎下载使用。
1．某话剧有5名女演员和2名男演员，演出结束后，全体演员站成一排登台谢幕，若2名男演员不相邻，则不同的排法有（ ）
A．3600种B．2400种C．360种D．240种
2．现从含甲、乙在内的10名特种兵中选出4人去参加抢险，则在甲被选中的前提下，乙也被选中的概率为（ ）
A．B．C．D．
3．已知随机变量服从参数为的两点分布，若，（ ）
A．B．C．D．
4．将8个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子中，要求每个盒子中至少放2个小球，则不同放法的种数为（ ）
A．3B．6C．10D．15
5．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次正面向上的数字为，第二次正面向上的数字为，记事件“为偶数”，事件“”，则（ ）
A． B．C．D．
6．已知离散型随机变量X的分布列如下表：
若离散型随机变量，则（ ）．
A．B．C．D．
7．若展开式的常数项等于 ，则（ ）
A． B．C．2D．3
8．设集合，，那么集合中满足的元素的个数为（ ）
A．60B．100C．120D．130
二、多选题（每小题6分，部分选对得部分分）
9．若随机变量，下列说法中正确的有（ ）
A．B．期望
C．期望D．方差
10．下列等式中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．在二项式的展开式中，下列说法中正确的是（ ）
A．常数项是B．各项系数和是64
C．第4项的二项式系数最大D．奇数项二项式系数和是32
三、填空题（每小题5分）
12．若，则的值为 .
13．2023年冬天我国多地爆发流感，已知在三个地区分别有的人患了流感，这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取1人，则这个人患流感的概率为 .
14．甲、乙、丙3人在公交总站上了同一辆公交车，已知3人都将在第4站至第8站的某一公交站点下车，且在每一个公交站点最多只有两人同时下车，从同一公交站点下车的两人不区分下车的顺序，则甲、乙、丙3人下车的不同方法总数是 ．
四、解答题
15．（13分）设随机变量X的分布列为．
(1)求常数a的值；
(2)求和．
16．（15分）已知.求：
(1)；
(2)；
(3).
17．（15分）某学校派出6名同学参加省教育厅主办的理科知识竞赛，分为数学竞赛，物理竞赛和化学竞赛，该校每名同学只能参加其中一个学科的竞赛，且每个学科至少有一名学生参加．
(1)求该校派出的6名学生总共有多少种不同的参赛方案？
(2)若甲同学主攻数学方向，必须选择数学竞赛，乙同学主攻物理方向，必须选择物理竞赛，则这6名学生一共有多少种不同的参赛方案？
18．（17分）中医药学是中国古代科学的瑰宝，也是打开中华文明宝库的钥匙.为了调查某地市民对中医药文化的了解程度，某学习小组随机向该地100位不同年龄段的市民发放了有关中医药文化的调查问卷，得到的数据如下表所示：
规定成绩在内代表对中医药文化了解程度低，成绩在内代表对中医药文化了解程度高.
(1)从这100位市民中随机抽取1人，求抽到对中医药文化了解程度高的市民的频率；
(2)将频率视为概率，现从该地41岁~50岁年龄段的市民中随机抽取3人，记为对中医药文化了解程度高的人数，求的分布列和期望.
19．（17分）某袋中装有大小相同、质地均匀的6个球，其中4个黑球和2个白球．从袋中随机取出2个球，记取出白球的个数为X．
(1)写出X的分布列，并求出和的值；
(2)若取出一个白球得一分，取出一个黑球得两分，最后得分为Z，求出和的值．
X
0
1
2
3
P
a
参考答案：
1．A
【分析】利用插空法，先排女演员，再让男演员插空排列.
【详解】先将5名女演员排成一排，再将2名男演员插空进去，
共有种排法．
故选：A.
2．A
【分析】记分别表示“甲被选中”和“乙被选中”，然后使用条件概率公式计算即可.
【详解】记分别表示“甲被选中”和“乙被选中”.
由于一共有10名特种兵，而要从中选出4名，故.
而从10名特种兵选出4名时，如果甲和乙被选中，则剩余2个被选中的人可从甲和乙之外的8名特种兵中任意选择2名，
故选取方式有种，从而.
故，A正确.
故选：A.
3．C
【分析】计算，根据计算得到答案.
【详解】随机变量服从参数为的两点分布，则，
.
故选：C
4．B
【分析】对每个盒子放入2个球，再看余下2个球的去向即可得解.
【详解】依题意，每个盒子放入2个球，余下2个球可以放入一个盒子有种方法，放入两个盒子有种方法，
所以不同放法的种数为.
故选：B
5．D
【分析】分别列举出事件、事件、事件的基本事件个数，代入条件概率公式求解即可.
【详解】由题意知，事件包含的基本事件有，，，，，，
，，，，，，，，，，，，共18个，
事件包含的基本事件有，，，，，，，，，
，，，，，，，，
，，，，，，，，共有25个，
则事件与事件同时发生的基本事件有，，，，，，
，，，，，共11个，
所以.
故选：D.
6．A
【分析】根据分布列的性质求出a，再根据随机变量之间的函数关系即可求解.
【详解】由分布列的性质可知： 解得 ，
由 ， 等价于 ，由表可知 ；
故选：A.
7．C
【分析】先求出展开式中的系数，再乘以得展开式的常数项，解方程即可求解得答案.
【详解】解：展开式的通项公式为：，
所以当时，项的系数为：，
的展开式无常数项，
所以展开式的常数项为：，解得：
故选：C.
【点睛】本题考查二项式的常数项的求解，是中档题.
8．D
【分析】明确集合中满足的含义，结合组合数的计算，即可求得答案.
【详解】由题意知集合中满足的元素的个数，
即指中取值为-1或1的个数和为1或2或3，
故满足条件的元素的个数为（个），
故选：D
9．AC
【分析】
利用独立重复试验的概率公式可判断A选项；利用二项分布的期望公式可判断B选项；利用期望的性质可判断C选项；利用方差的性质可判断D选项.
【详解】因为随机变量，则，，
，
由期望的性质可得，
由方差的性质可得，AC对，BD错.
故选：AC.
10．BCD
【分析】
根据排列数公式和组合数公式验证．
【详解】对于A，，，A错；
对于B，，，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，，
∴，D正确．
故选：BCD．
11．ACD
【分析】
写出展开式的通项公式，判断A，C项的正误，通过赋值，判断B，D两项正误.
【详解】
通项公式，
令，可得，所以常数项为，所以A正确；
令，已知各项系数和是，所以B错误；
第4项二项式系数最大，所以C正确；
奇数项二项式系数和为，所以D正确．
故选：ACD．
12．20
【分析】通过已知得出的值，即可利用公式计算得出答案.
【详解】，
，即，
，
，
故答案为：20.
13．/
【分析】根据相互独立事件的概率公式和全概率公式结合题意求解即可.
【详解】设事件为“这个人患流感”，事件分别表示这个人选自三个地区，
则由已知得，
，
所以由全概率公式得
,
故答案为：
14．120
【分析】
分3人都在第4站至第8站的某一公交站点1人独自出下车和3人中有2人在同一公交站点下车，另人在另外一公交站点下车，两种情况讨论即可，
【详解】由题意，3人都在第4站至第8站的某一公交站点1人独自出下车，共有种，
3人中有2人在同一公交站点下车，另1人在另外一公交站点下车，共有种，
故甲、乙、丙3人下车的不同方法总数是种.
故答案为：120.
15．(1)
(2)，
【分析】（1）根据概率之和为1列出方程，求出a的值；
（2）在（1）的基础上，求出和的值.
【详解】（1）由题意得，解得.
（2）由（1）知，，
可得，
16．(1)256
(2)32896
(3)65536
【分析】
（1）令即可得结果；
（2）令，结合（1）中结果运算求解；
（3）根据二项展开式分析可知：当为偶数时，；当为奇数时，；结合（2）中结果分析求解.
【详解】（1）令，可得.
（2）令，可得，
则，所以.
（3）因为的展开式的通项公式为，
即，
可知：当为偶数时，；当为奇数时，；
所以.
17．(1)540种；
(2)65种.
【分析】（1）对参加三个学科的人数分三种情况讨论，先分组、再分配求出各组情况的方案数，最后相加；
（2）对选择化学竞赛的人数分四种情况讨论，利用分步乘法计数原理与分类加法计数原理计算可得.
【详解】（1）若参加三个学科的人数分别为1，1，4时，共有种参赛方案；
若参加三个学科的人数分别为1，2，3时，共有种参赛方案；
若参加三个学科的人数分别为2，2，2时，共有种参赛方案；
该校派出的6名学生总共有种不同的参赛方案．
（2）若有4人选择化学竞赛，则有1种参赛方案；
若有3人选择化学竞赛，余下的一人有2种选法，则有种参赛方案；
若有2人选择化学竞赛，余下的两人各有2种选法，则有种参赛方案；
若有1人选择化学竞赛，余下的三人各有2种选法，则有种参赛方案；
所以总共有种不同的参赛方案．
18．(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）由表格得出成绩在的人数，计算频率，即可得出答案；
（2）由表格得出41岁~50岁年龄段中，成绩在内以及内的人数，求出概率，进而得出，然后列出分布列，求出期望即可.
【详解】（1）由表格可知，成绩在的人数为，
所以，抽到对中医药文化了解程度高的市民的频率为.
（2）根据表格可知，41岁~50岁年龄段中，成绩在内的人数为，成绩在内的人数为，
则随机抽取1人，这个人是对中医药文化了解程度高的市民的概率，了解程度低的概率.
由题意可知，则的可能取值为，
则，
，
，
，
故的分布列为
所以的数学期望.
19．(1)分布列见解析，，
(2)，;
【分析】（1）利用组合数公式和超几何分布，先求分布列，再求数学期望和方差；
（2）根据题意得，利用期望与方差的性质即可得解.
【详解】（1）依题意，得，
，，，
所以随机变量的分布列为
；
.
（2）依题意，得，
则，.
0
1
2
3
0
1
2
1．某话剧有5名女演员和2名男演员，演出结束后，全体演员站成一排登台谢幕，若2名男演员不相邻，则不同的排法有（ ）
A．3600种B．2400种C．360种D．240种
2．现从含甲、乙在内的10名特种兵中选出4人去参加抢险，则在甲被选中的前提下，乙也被选中的概率为（ ）
A．B．C．D．
3．已知随机变量服从参数为的两点分布，若，（ ）
A．B．C．D．
4．将8个大小形状完全相同的小球放入3个不同的盒子中，要求每个盒子中至少放2个小球，则不同放法的种数为（ ）
A．3B．6C．10D．15
5．抛掷一枚质地均匀的骰子两次，第一次正面向上的数字为，第二次正面向上的数字为，记事件“为偶数”，事件“”，则（ ）
A． B．C．D．
6．已知离散型随机变量X的分布列如下表：
若离散型随机变量，则（ ）．
A．B．C．D．
7．若展开式的常数项等于 ，则（ ）
A． B．C．2D．3
8．设集合，，那么集合中满足的元素的个数为（ ）
A．60B．100C．120D．130
二、多选题（每小题6分，部分选对得部分分）
9．若随机变量，下列说法中正确的有（ ）
A．B．期望
C．期望D．方差
10．下列等式中，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
11．在二项式的展开式中，下列说法中正确的是（ ）
A．常数项是B．各项系数和是64
C．第4项的二项式系数最大D．奇数项二项式系数和是32
三、填空题（每小题5分）
12．若，则的值为 .
13．2023年冬天我国多地爆发流感，已知在三个地区分别有的人患了流感，这三个地区的人口数的比为，现从这三个地区中任意选取1人，则这个人患流感的概率为 .
14．甲、乙、丙3人在公交总站上了同一辆公交车，已知3人都将在第4站至第8站的某一公交站点下车，且在每一个公交站点最多只有两人同时下车，从同一公交站点下车的两人不区分下车的顺序，则甲、乙、丙3人下车的不同方法总数是 ．
四、解答题
15．（13分）设随机变量X的分布列为．
(1)求常数a的值；
(2)求和．
16．（15分）已知.求：
(1)；
(2)；
(3).
17．（15分）某学校派出6名同学参加省教育厅主办的理科知识竞赛，分为数学竞赛，物理竞赛和化学竞赛，该校每名同学只能参加其中一个学科的竞赛，且每个学科至少有一名学生参加．
(1)求该校派出的6名学生总共有多少种不同的参赛方案？
(2)若甲同学主攻数学方向，必须选择数学竞赛，乙同学主攻物理方向，必须选择物理竞赛，则这6名学生一共有多少种不同的参赛方案？
18．（17分）中医药学是中国古代科学的瑰宝，也是打开中华文明宝库的钥匙.为了调查某地市民对中医药文化的了解程度，某学习小组随机向该地100位不同年龄段的市民发放了有关中医药文化的调查问卷，得到的数据如下表所示：
规定成绩在内代表对中医药文化了解程度低，成绩在内代表对中医药文化了解程度高.
(1)从这100位市民中随机抽取1人，求抽到对中医药文化了解程度高的市民的频率；
(2)将频率视为概率，现从该地41岁~50岁年龄段的市民中随机抽取3人，记为对中医药文化了解程度高的人数，求的分布列和期望.
19．（17分）某袋中装有大小相同、质地均匀的6个球，其中4个黑球和2个白球．从袋中随机取出2个球，记取出白球的个数为X．
(1)写出X的分布列，并求出和的值；
(2)若取出一个白球得一分，取出一个黑球得两分，最后得分为Z，求出和的值．
X
0
1
2
3
P
a
参考答案：
1．A
【分析】利用插空法，先排女演员，再让男演员插空排列.
【详解】先将5名女演员排成一排，再将2名男演员插空进去，
共有种排法．
故选：A.
2．A
【分析】记分别表示“甲被选中”和“乙被选中”，然后使用条件概率公式计算即可.
【详解】记分别表示“甲被选中”和“乙被选中”.
由于一共有10名特种兵，而要从中选出4名，故.
而从10名特种兵选出4名时，如果甲和乙被选中，则剩余2个被选中的人可从甲和乙之外的8名特种兵中任意选择2名，
故选取方式有种，从而.
故，A正确.
故选：A.
3．C
【分析】计算，根据计算得到答案.
【详解】随机变量服从参数为的两点分布，则，
.
故选：C
4．B
【分析】对每个盒子放入2个球，再看余下2个球的去向即可得解.
【详解】依题意，每个盒子放入2个球，余下2个球可以放入一个盒子有种方法，放入两个盒子有种方法，
所以不同放法的种数为.
故选：B
5．D
【分析】分别列举出事件、事件、事件的基本事件个数，代入条件概率公式求解即可.
【详解】由题意知，事件包含的基本事件有，，，，，，
，，，，，，，，，，，，共18个，
事件包含的基本事件有，，，，，，，，，
，，，，，，，，
，，，，，，，，共有25个，
则事件与事件同时发生的基本事件有，，，，，，
，，，，，共11个，
所以.
故选：D.
6．A
【分析】根据分布列的性质求出a，再根据随机变量之间的函数关系即可求解.
【详解】由分布列的性质可知： 解得 ，
由 ， 等价于 ，由表可知 ；
故选：A.
7．C
【分析】先求出展开式中的系数，再乘以得展开式的常数项，解方程即可求解得答案.
【详解】解：展开式的通项公式为：，
所以当时，项的系数为：，
的展开式无常数项，
所以展开式的常数项为：，解得：
故选：C.
【点睛】本题考查二项式的常数项的求解，是中档题.
8．D
【分析】明确集合中满足的含义，结合组合数的计算，即可求得答案.
【详解】由题意知集合中满足的元素的个数，
即指中取值为-1或1的个数和为1或2或3，
故满足条件的元素的个数为（个），
故选：D
9．AC
【分析】
利用独立重复试验的概率公式可判断A选项；利用二项分布的期望公式可判断B选项；利用期望的性质可判断C选项；利用方差的性质可判断D选项.
【详解】因为随机变量，则，，
，
由期望的性质可得，
由方差的性质可得，AC对，BD错.
故选：AC.
10．BCD
【分析】
根据排列数公式和组合数公式验证．
【详解】对于A，，，A错；
对于B，，，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，，
∴，D正确．
故选：BCD．
11．ACD
【分析】
写出展开式的通项公式，判断A，C项的正误，通过赋值，判断B，D两项正误.
【详解】
通项公式，
令，可得，所以常数项为，所以A正确；
令，已知各项系数和是，所以B错误；
第4项二项式系数最大，所以C正确；
奇数项二项式系数和为，所以D正确．
故选：ACD．
12．20
【分析】通过已知得出的值，即可利用公式计算得出答案.
【详解】，
，即，
，
，
故答案为：20.
13．/
【分析】根据相互独立事件的概率公式和全概率公式结合题意求解即可.
【详解】设事件为“这个人患流感”，事件分别表示这个人选自三个地区，
则由已知得，
，
所以由全概率公式得
,
故答案为：
14．120
【分析】
分3人都在第4站至第8站的某一公交站点1人独自出下车和3人中有2人在同一公交站点下车，另人在另外一公交站点下车，两种情况讨论即可，
【详解】由题意，3人都在第4站至第8站的某一公交站点1人独自出下车，共有种，
3人中有2人在同一公交站点下车，另1人在另外一公交站点下车，共有种，
故甲、乙、丙3人下车的不同方法总数是种.
故答案为：120.
15．(1)
(2)，
【分析】（1）根据概率之和为1列出方程，求出a的值；
（2）在（1）的基础上，求出和的值.
【详解】（1）由题意得，解得.
（2）由（1）知，，
可得，
16．(1)256
(2)32896
(3)65536
【分析】
（1）令即可得结果；
（2）令，结合（1）中结果运算求解；
（3）根据二项展开式分析可知：当为偶数时，；当为奇数时，；结合（2）中结果分析求解.
【详解】（1）令，可得.
（2）令，可得，
则，所以.
（3）因为的展开式的通项公式为，
即，
可知：当为偶数时，；当为奇数时，；
所以.
17．(1)540种；
(2)65种.
【分析】（1）对参加三个学科的人数分三种情况讨论，先分组、再分配求出各组情况的方案数，最后相加；
（2）对选择化学竞赛的人数分四种情况讨论，利用分步乘法计数原理与分类加法计数原理计算可得.
【详解】（1）若参加三个学科的人数分别为1，1，4时，共有种参赛方案；
若参加三个学科的人数分别为1，2，3时，共有种参赛方案；
若参加三个学科的人数分别为2，2，2时，共有种参赛方案；
该校派出的6名学生总共有种不同的参赛方案．
（2）若有4人选择化学竞赛，则有1种参赛方案；
若有3人选择化学竞赛，余下的一人有2种选法，则有种参赛方案；
若有2人选择化学竞赛，余下的两人各有2种选法，则有种参赛方案；
若有1人选择化学竞赛，余下的三人各有2种选法，则有种参赛方案；
所以总共有种不同的参赛方案．
18．(1)
(2)分布列见解析，
【分析】（1）由表格得出成绩在的人数，计算频率，即可得出答案；
（2）由表格得出41岁~50岁年龄段中，成绩在内以及内的人数，求出概率，进而得出，然后列出分布列，求出期望即可.
【详解】（1）由表格可知，成绩在的人数为，
所以，抽到对中医药文化了解程度高的市民的频率为.
（2）根据表格可知，41岁~50岁年龄段中，成绩在内的人数为，成绩在内的人数为，
则随机抽取1人，这个人是对中医药文化了解程度高的市民的概率，了解程度低的概率.
由题意可知，则的可能取值为，
则，
，
，
，
故的分布列为
所以的数学期望.
19．(1)分布列见解析，，
(2)，;
【分析】（1）利用组合数公式和超几何分布，先求分布列，再求数学期望和方差；
（2）根据题意得，利用期望与方差的性质即可得解.
【详解】（1）依题意，得，
，，，
所以随机变量的分布列为
；
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（2）依题意，得，
则，.
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