高考数学二轮专题复习——概率与统计（原卷版）

这是一份高考数学二轮专题复习——概率与统计（原卷版），共15页。

题型一 概率的基本性质与计算
1．（2024•相城区校级一模）已知样本空间，，，含有等可能的样本点，且，，，，则
A．B．C．D．1
2．（2024•如皋市模拟）设，是一个随机试验中的两个事件，则
A．（A）（B）B．（A）（B）
C．（A）（B）D．若，则（A）（B）
3．（2024•清江浦区模拟）我国周朝时期的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理的特例．在西方，最早提出并证明此定理的为公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派，他们用演绎法证明了直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方之和．在3，4，5，6，8，10，12，13这8个数中任取3个数，这3个数恰好可以组成勾股定理关系的概率为
A．B．C．D．
4．（2024•苏州模拟）有形状和大小完全相同的4个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球的编号之和大于3的概率为
A．B．C．D．
5．（2024•南通模拟）如图，高速服务区停车场某片区有至共8个停车位（每个车位只停一辆车），有2辆黑色车和2辆白色车要在该停车场停车，则两辆黑色车停在同一列的条件下，两辆白色车也停在同一列的概率为
A．B．C．D．
题型二 条件概率和全概率公式
1．（2024•鼓楼区校级模拟）设，为两个事件，已知，则 )
A．B．C．D．
（多选）2．（2024•江苏模拟）已知，．若随机事件，相互独立，则
A．B．C．D．
（多选）3．（2024•连云港模拟）设，是一个随机试验中的两个事件，且，则
A．B．C．D．
（多选）4．（2024•盐城一模）有’， 个编号分别为1，2，3，，的盒子，1号盒子中有2个白球和1个黑球，其余盒子中均有1个白球和1个黑球．现从1号盒子任取一球放入2号盒子；再从2号盒子任取一球放入3号盒子；；以此类推．记“从号盒子取出的球是白球”为事件，2，3，，，则
A．B．
C．D．
（多选）5．（2024•泰州模拟）甲、乙两个口袋各装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外完全相同把从甲、乙两个口袋中各任取一个球放入对方口袋中称为一次操作，重复次操作后，甲口袋中恰有0个红球，1个红球，2个红球分别记为事件，，，则
A．B．
C．D．
题型三 随机变量分布列、期望与均值
1．（2024•鼓楼区校级模拟）某高中为了了解高中学生暑假期间阅读古典名著的时间（小时每周）和他们的语文成绩（分的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据（表一）．
表一
（1）请根据所给数据求出语文成绩的平均数和方差；
（2）基于上述调查，学校为了确认学生喜欢阅读古典名著与语文成绩的关系，抽样调查了200位学生．按照是否喜欢阅读古典名著与语文成绩是否优秀统计，得到下列数据，请依据表中数据及小概率值的独立性检验，分析“喜欢阅读古典名著与语文成绩优秀”是否有关．
表二
．
2．（2024•江苏模拟）甲公司推出一种新产品，为了解某地区消费者对新产品的满意度，从中随机调查了1000名消费者，得到下表：
（1）能否有的把握认为消费者对新产品的满意度与性别有关；
（2）若用频率估计概率，从该地区消费者中随机选取3人，用表示不满意的人数，求的分布列与数学期望．
附：，．
3．（2024•清江浦区模拟）篮球是一项风靡世界的运动，是深受大众喜欢的一项运动．
（1）为了解喜爱篮球运动是否与性别有关，随机抽取了男性和女性各100名观众进行调查，得到如上列联表，判断是否有的把握认为喜爱篮球运动与性别有关；
（2）校篮球队中的甲、乙、丙三名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外两个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第次触球者是甲的概率记为，即．
①求（直接写出结果即可）；
②证明：数列为等比数列，并比较第9次与第10次触球者是甲的概率的大小．
附：，．
4．（2024•张家港市模拟）袋中装着标有数字1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取2个小球，每个小球被取出的可能性都相等．
（1）求取出的2个小球上的数字互不相同的概率；
（2）用表示取出的2个小球上所标的最大数字，求随机变量的分布列和数学期望．
5．（2024•泰州模拟）某游戏设置了两套规则，规则：抛掷一颗骰子次，若次结果向上的点数之和大于2时，继续下一次抛掷，否则停止抛掷；规则：抛掷一颗骰子一次，结果向上的点数大于2时，继续下一次抛掷，否则停止抛掷．
（1）若执行规则，求抛掷次数恰为1次的概率；
（2）若执行规则，证明：抛掷次数的数学期望不大于3．
6．（2024•如皋市模拟）袋中装有5个乒乓球，其中2个旧球，现在无放回地每次取一球检验．
（1）若直到取到新球为止，求抽取次数的概率分布及其均值；
（2）若将题设中的“无放回”改为“有放回”，求检验5次取到新球个数的均值．
7．（2024•江苏模拟）在游戏中，玩家可通过祈愿池获取新角色和新武器．某游戏的角色活动祈愿池的祈愿规则为：①每次祈愿获取五星角色的概率；②若连续89次祈愿都没有获取五星角色，那么第90次祈愿必定通过“保底机制”获取五星角色；③除触发“保底机制”外，每次祈愿相互独立．设表示在该祈愿池中连续祈愿直至获取五星角色为止的祈愿次数．
（1）求的概率分布；
（2）求的数学期望．
参考数据：．
8．（2024•如皋市模拟）如图，小华和小明两个小伙伴在一起做游戏，他们通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先登上第3个台阶，他们规定从平地开始，每次划拳赢的一方登上一级台阶，输的一方原地不动，平局时两个人都上一级台阶，如果一方连续两次赢，那么他将额外获得一次上一级台阶的奖励，除非已经登上第3个台阶，当有任何一方登上第3个台阶时，游戏结束，记此时两个小伙伴划拳的次数为．
（1）求游戏结束时小华在第2个台阶的概率；
（2）求的分布列和数学期望．
9．（2024•姜堰区校级模拟）某工厂生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为合格品，小于82为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表：
（1）现从这100件样品中随机抽取2件，若其中一件为合格品，求另一件也为合格品的概率；
（2）关于随机变量，俄国数学家切比雪夫提出切比雪夫不等式：
若随机变量具有数学期望，方差，则对任意正数，均有成立．
若，证明：；
利用该结论表示即使分布未知，随机变量的取值范围落在期望左右的一定范围内的概率是有界的．若该工厂声称本厂元件合格率为，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件发生的概率小于0.05时，可称事件为小概率事件）
10．（2024•南通模拟）某商场在元旦期间举行摸球中奖活动，规则如下：一个箱中有大小和质地相同的3个红球和5个白球，每一位参与顾客从箱中随机摸出3个球，若摸出的3个球中至少有2个红球，则该顾客中奖．
（1）若有三位顾客依次参加活动，求仅有最后一位顾客中奖的概率；
（2）现有编号为的位顾客按编号顺序依次参加活动，记是这位顾客中第一个中奖者的编号，若无人中奖，则记．证明：．
11．（2024•南通模拟）某学校有甲，乙两个餐厅，经统计发现，前一天选择餐厅甲就餐第二天仍选择餐厅甲就餐的概率为，第二天选择餐厅乙就餐的概率为；前一天选择餐厅乙就餐第二天仍选择餐厅乙就餐的概率为，第二天选择餐厅甲就餐的概率为．若学生第一天选择餐厅甲就餐的概率是，选择餐厅乙就餐的概率是，记某同学第天选择餐厅甲就餐的概率为．
（1）记某班3位同学第二天选择餐厅甲的人数为，求随机变量的分布列及期望；
（2）学校为缓解就餐压力，决定每天从各年级抽调21人到甲乙两个餐厅参加志愿服务，请求出的通项公式，根据以上数据合理分配甲，乙两个餐厅志愿者人数，并说明理由．
12．（2024•盐城模拟）春节临近，为了吸引顾客，我市某大型商超策划了抽奖活动，计划如下：有、、三个抽奖项目，它们之间相互不影响，每个项目每位顾客至多参加一次，项目中奖的概率是，项目和中奖的概率都是．
（1）若规定每位参加活动的顾客需要依次参加、、三个项目，如果、、三个项目全部中奖，顾客将获得100元奖券；如果仅有两个项目中奖，他将获得50元奖券；否则就没有奖券，求每位顾客获得奖券金额的期望；
（2）若规定每位顾客等可能地参加三个项目中的一个项目．已知某顾客中奖了，求他参加的是项目的概率．
13．（2024•连云港模拟）某设备由相互独立的甲、乙两个部件组成，若两个部件同时出现故障，则设备停止运转；若有且只有一个部件出现故障，则设备出现异常．在一个生产周期内，甲部件出现故障的概率为，乙部件出现故障的概率为．甲部件出现故障，检修费用为3千元；乙部件出现故障，检修费用为2千元，在一个生产周期内，甲、乙两个部件至多各出现一次故障．
（1）试估算一个生产周期内的平均检修费用；
（2）求在设备出现异常的情况下，甲部件出现故障的概率．
14．（2024•相城区校级一模）随着科技的不断发展，人工智能技术的应用领域也将会更加广泛，它将会成为改变人类社会发展的重要力量．某科技公司发明了一套人机交互软件，它会从数据库中检索最贴切的结果进行应答．在对该交互软件进行测试时，如果输入的问题没有语舷错误，则软件正确应答的概率为；若出现语法错误，则软件正确应答的概率为．假设每次输入的问题出现语法错误的概率为．
（1）求一个问题能被软件正确应答的概率；
（2）在某次测试中，输入了个问题，每个问题能否被软件正确应答相互独立，记软件正确应答的个数为，，1，，的概率记为，则为何值时，的值最大？
15．（2024•宿迁一模）某班欲从6人中选派3人参加学校篮球投篮比赛，现将6人均分成甲、乙两队进行选拔比赛经分析甲队每名队员投篮命中概率均为，乙队三名队员投篮命中的概率分别为，．现要求所有队员各投篮一次（队员投篮是否投中互不影响）．
（1）若，求甲、乙两人共投中5次的概率；
（2）以甲、乙两队投中次数的期望为依据，若甲队获胜，求的取值范围．
16．（2024•扬州校级一模）某大型公司招聘新员工，应聘人员简历符合要求之后进入考试环节．考试分为笔试和面试，只有笔试成绩高于75分的考生才能进入面试环节，已知2023年共有1000人参加该公司的笔试，笔试成绩．
（1）从参加笔试的1000名考生中随机抽取4人，求这4人中至少有一人进入面试的概率；
（2）甲、乙、丙三名应聘人员进入面试环节，且他们通过面试的概率分别为．设这三名应聘人员中通过面试的人数为，求随机变量的分布列和数学期望．
参考数据：若，则，，，，．
17．（2024•南京模拟）某制药公司研发一种新药，需要研究某种药物成分的含量（单位：与药效指标值（单位：之间的关系，该公司研发部门进行了20次试验，统计得到一组数据，，2，，，其中，分别表示第次试验中这种药物成分的含量和相应的药效指标值，已知该组数据中与之间具有线性相关关系，且，，，，．
（1）求关于的经验回归方程；
（2）该公司要用与两套设备同时生产该种新药，已知设备的生产效率是设备的2倍，设备生产药品的不合格率为0.009，设备生产药品的不合格率为0.006，且设备与生产的药品是否合格相互独立．
①从该公司生产的新药中随机抽取一件，求所抽药品为不合格品的概率；
②在该新药产品检验中发现有三件不合格品，求其中至少有两件是设备生产的概率．
参考公式：，．
18．（2024•南通模拟），，，四人进行羽毛球单打循环练习赛，其中每局有两人比赛，每局比赛结束时，负的一方下场，第1局由，对赛，接下来按照，的顺序上场第2局、第3局（来替换负的那个人），每次负的人其上场顺序排到另外2个等待上场的人之后（即排到最后一个），需要再等2局（即下场后的第3局）才能参加下一场练习赛．设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结果相互独立．
（1）求前4局都不下场的概率；
（2）用表示前4局中获胜的次数，求的分布列和数学期望．
19．（2024•盐城一模）已知某种机器的电源电压（单位：服从正态分布，．其电压通常有3种状态：①不超过；②在之间；③超过．在上述三种状态下，该机器生产的零件为不合格品的概率分别为0.15，0.05，0.2．
（1）求该机器生产的零件为不合格品的概率；
（2）从该机器生产的零件中随机抽取件，记其中恰有2件不合格品的概率为，求取得最大值时的值．
附：若取，．
20．（2024•武进区校级一模）七选五型选择题组是许多类型考试的热门题型．为研究此类题型的选拔能力，建立以下模型．有数组，，，和数组，，，，规定与相配对则视为“正确配对”，反之皆为“错误配对”．设为时，对于任意都不存在“正确配对”的配对方式数，即错排方式数．
（1）请直接写出（1），（2）的值；
（2）已知．
①对，，，和，，，进行随机配对，记为“正确配对”的个数．请写出的分布列并求；
②试给出的证明．
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编号
1
2
3
4
5
学习时间
2
4
7
7
10
语文成绩
82
93
95
108
122
语文成绩优秀
语文成绩不优秀
合计
喜欢阅读
75
25
100
不喜欢阅读
55
45
100
合计
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70
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0.010
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满意
不满意
男
440
60
女
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40
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0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
喜爱篮球运动
不喜爱篮球运动
合计
男性
60
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100
女性
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合计
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测试指标
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