2024年通用版高考数学二轮复习专题4.6 构造函数解决抽象不等式及比较大小(教师版)

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题型一构造函数型可导函数
例1．（2023·全国·高三专题练习）已知函数f（x）为定义在R上的偶函数，当时，，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据题意构造函数，通过导数研究函数的单调性和奇偶性，将不等式等价转化为，分情况讨论并求解即可.
【详解】因为，所以，
构造函数，当时，，
所以函数在区间内单调递增，且，
又是定义在R上的偶函数，所以是定义在R上的偶函数，
所以在区间内单调递减，且．
不等式整理可得：，
即，当时，，则，解得；当时，，则，
解得，又，所以．
综上，不等式的解集为．
故选：A．
例2．（2023春·宁夏·高三六盘山高级中学校考开学考试）已知函数，又当时，，则关于x的不等式的解集为（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】设，并判断出为偶函数，利用导数求出其单调性，将所求的式子转化为，从而得到，解出的范围.
【详解】由，
，
设
所以，即为上的偶函数
当时，，
因为，所以
则在区间上单调递增
所以
即
即
等价于，
即
解得．
故选：A.
练习1．（2023·辽宁·辽宁实验中学校考模拟预测）已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，若对任意有，，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】构造，确定函数在上单调递增，计算，，转化得到，根据单调性得到答案.
【详解】设，则恒成立，故函数在上单调递增.
，则，即，故.
，即，即，故，解得.
故选：B.
练习2．（2023·高二单元测试）设函数，在上的导函数存在，且，则当时（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】对于AB，利用特殊函数法，举反练习即可排除；对于CD，构造函数，利用导数与函数单调性的关系证得在上单调递减，从而得以判断.
【详解】对于AB，不妨设，，则，，满足题意，
若，则，故A错误，
若，则，故B错误；
对于CD，因为，在上的导函数存在，且，
令，则，
所以在上单调递减，
因为，即，所以，
由得，则，故C正确；
由得，则，故D错误.
故选：C.
练习3．（2023·全国·高三专题练习）已知 为函数的导函数，且，则不等式的解 集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】令 ，得到函数的单调性，再转化为解不等式即得解.
【详解】令 ，所以，
所以为上的增函数，由，所以，
则不等式等价于，则不等式的解为。
故 选 ：C.
练习4．（2023·贵州遵义·校考模拟预测）已知函数的定义域为R，其导函数为，若，且当时，，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】令，由已知可推得为偶函数，在上单调递增，在上单调递减.不等式变形可得，.根据二倍角的余弦公式，可得出.然后根据的奇偶性和单调性，可推得，平方求解不等式，即可得出答案.
【详解】由已知可推得，.
令，则，
所以，
所以，为偶函数.
又，
因为当时，，
所以，，所以在上单调递增.
又为偶函数，所以在上单调递减.
由可得，
.
因为，
所以，.
因为在上单调递减，为偶函数，
所以有，
平方整理可得，，
解得.
故选：C.
【点睛】关键点睛：构造函数，根据已知得出函数的奇偶性以及单调性.
练习5．（2023春·福建莆田·高二莆田第二十五中学校考期中）若为定义在上的连续不断的函数，满足，且当时，．若，则的取值范围___________．
【答案】
【分析】由已知当时，，可构造函数，可得为奇函数，又，得在上是减函数，从而在上是减函数，再根据函数的奇偶性和单调性即可求解．
【详解】，，
设，则，
则，为奇函数，
又当时，，在上是减函数，
从而在上是减函数，
又,等价于，
即，，解得,
故的取值范围为，
故答案为：
【点睛】关键点睛：解答本题的关键是要根据当时，的结构特征，发现规律，即构造函数，继而证明该函数为奇函数，再结合单调性解决问题.
题型二构造函数型可导函数
例3．（2023春·浙江嘉兴·高二平湖市当湖高级中学校考阶段练习）已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为______．
【答案】或
【分析】构造函数，根据题意可判断，是偶函数，在上是增函数，在减函数，把原不等式转化为解不等式，进而，解之即得答案.
【详解】令，
则，
由当时， ，
所以当时，
即在上是增函数，
由题意是定义在上的偶函数，
所以，
所以，
所以是偶函数，在递减，
所以，
，
即不等式等价为，
所以，所以或.
故答案为：或.
例4．（2023·全国·高二专题练习）已知函数的导函数为，且若，，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】利用构造函数法，结合导数研究所构造函数的单调性，进而确定正确答案.
【详解】设，
则，
因为恒成立，
所以，
所以在单调递增，
则，，，
设，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
所以，即，
所以，
即．
故选：B
练习6．（2023春·四川雅安·高二雅安中学校考期中）已知是偶函数的导函数，．若时，，则使得不等式成立的x的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】设，求导得，进而可得时，单调递增，由于为偶函数，推出为奇函数，进而可得在上单调递增，由于，则，由于，则，推出，即可得出答案．
【详解】设，，
由题意得时，，单调递增，
因为为偶函数，所以，
所以，
所以为奇函数，所以在上单调递增，
因为，所以，
因为，所以，
所以，所以，
故选：C．
练习7．（2022春·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考期末）设定义在上的可导函数的导函数为，且，若，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】令，利用导数说明函数的单调性，不等式等价于，即，结合单调性即可得解.
【详解】因为，所以
令，则，
即在定义域上单调递减，
又，所以，
因为，所以不等式等价于，即，
所以，即不等式的解集为.
故选：D
练习8．（2023·江苏常州·江苏省前黄高级中学校考二模）已知是定义在上的奇函数，是的导函数，当时，，若，则不等式的解集是________．
【答案】
【分析】构造新函数，利用条件求得的单调性，再根据奇偶性即可解得不等式解集.
【详解】解：构造函数，其中为奇函数且，
则，
所以，函数为奇函数，且，，
当时，，
所以，函数在上是单调递增函数，
因为函数为奇函数，故函数在上是严格增函数，
故，
当时，，可得；
当时，，可得．
综上所述，不等式的解集为．
故答案为：
练习9．（2023春·天津南开·高二天津二十五中校考阶段练习）设，分别是定义在上的奇函数和偶函数，且，当时，且则不等式的解集是________.
【答案】
【分析】构造函数，根据已知，利用函数的奇偶性、导数进行求解.
【详解】设，则，
因为当时，，所以当时，，
所以函数在上单调递增，
又，分别是定义在上的奇函数和偶函数，
所以，即是上的奇函数，
故函数在上单调递增，，
又，所以，所以，
不等式等价于，解得或，
不等式的解集是解集为.
故答案为：.
练习10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数及其导函数的定义域均为，满足，，，当时，，则不等式的解集为______．
【答案】
【分析】令，由及可得，，从而得关于对称，再令，则原不等式等价于，利用导数得在上单调递增，再由得关于对称，从而得在上单调递增且有，从而得答案.
【详解】解：令，因为，
所以，所以（为常数），
又因为，所以，所以＝0，
即，则函数关于对称，
令，则原不等式等价于，
当时，因为，
则，
此时单调递增．
因为，所以函数关于对称，
则函数在时单调递增，
又因为，则，，
所以的解集为，
即原不等式的解集为．
故答案为：．
题型三构造函数型可导函数
例5．（2023·全国·高二专题练习）已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，若，且，则关于的不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】依题意令，求导分析单调性，不等式，可转化为，即，即可得出答案．
【详解】解：依题意令，则，
所以在上单调递减，
对于不等式，显然，则，即，
又，所以，
所以，即，
所以，
解得，即关于的不等式的解集为.
故选：B．
例6．（2023·全国·高二专题练习）设函数是定义在上的可导函数，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】构造函数，根据得到的单调性，再变形不等式由单调性求解即可.
【详解】由题知，函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，即，
设，
所以，
所以在上单调递增，
因为，
所以，
所以，解得，
所以不等式的解集为，
故选：B
练习11．（2023春·四川绵阳·高二校考阶段练习）定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，由已知得出在上单调递减，结合进一步计算得到结果.
【详解】设，则，因为，所以在上单调递减.
因为，所以，所以当时，，当时，，故不等式的解集为.
故选：B.
练习12．（2023·安徽黄山·统考三模）已知定义域为的函数，其导函数为，且满足，，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】构造函数，由得，进而判断函数的单调性，判断各选项不等式.
【详解】，则，
因为在上恒成立，
所以在上恒成立，
故在上单调递减，
所以，，故A不正确；
所以，即，即，故B不正确；
，即，即，故C正确；
，即，即，故D不正确；
故选：C.
练习13．（2023春·江西·高三校联考阶段练习）定义在上的函数的导函数都存在，且，则必有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】通过分析不等式，构造新函数求导后得出单调性，即可得出结论
【详解】由题意，，
由，得．
设函数，则，
∴在上单调递增，从而．
即，即．
故选：A.
【点睛】本题考查导数的应用与不等式的综合，考查数学抽象、数学运算、逻辑推理的核心素养．
练习14．（2023春·广东佛山·高二佛山市荣山中学校考期中）已知定义在上的函数满足，且，则的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由导数公式得出，从而得出函数的单调性，将不等式可化为，利用单调性解不等式即可.
【详解】因为，所以函数在区间上单调递减，
不等式可化为，即，解得.
故选：A
练习15．（2023·安徽·校联考模拟预测）已知函数、是定义域为的可导函数，且，都有，，若、满足，则当时下列选项一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】构造函数，求出新函数导数，根据题意可知新函数为单调递减函数，由此可知，即可判断出A、B选项；构造和可判断出C、D选项.
【详解】由题意：，
设，则，
由得，
因为，所以，
又、是定义域为的恒大于0的可导函数，
故，B错误，，A错误；
，
因为，不知道正负，所以C不一定成立；
，
即，D正确.
故选：D.
题型四导函数带常数型
例7．（2023·全国·高三专题练习）已知偶函数的定义域是，，，其导函数为，对定义域内的任意，都有成立，则不等式（2）的解集为______.
【答案】
【分析】根据不等式构造函数，利用导数判断函数为增函数，将不等式化为（2），利用单调性即可求解.
【详解】当时，由，
得，即．
令，则在，，上也为偶函数，
且当时，总成立，在上是增函数．
不等式（2）可化为（2），
则，又，，，解得，，．
故答案为：
【点睛】本题考查了构造函数，判断函数的单调性，利用单调性解不等式，属于中档题.
例8．（2022秋·宁夏石嘴山·高三平罗中学校考期中）已知定义域为的偶函数，其导函数为，满足,则的解集为_________．
【答案】
【分析】令，对函数求导，根据条件可得单调递增，且单调递增，进而利用单调性和奇偶性求解．
【详解】的解集为的解集，令，
则，
因为，所以当时有，
所以，
即当时，单调递增，
又因为，所以，
所以的解集为的解集，
由单调性可知，
又因为为偶函数，所以解集为
练习16．（2022春·安徽滁州·高二校考期末）设是定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】构造函数，用导数研究其单调性，再将不等式转化为，即求解.
【详解】因为满足，，
令，
则，
所以在R上是增函数，
又，则，
不等式可化为，
即，
所以，
所不等式的解集是，
故选：C
练习17．（2023春·上海浦东新·高二上海市川沙中学校考期中）已知定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式的解集是______．
【答案】
【分析】不等式转化为，令，利用导数说明函数的单调性，结合单调性解函数不等式.
【详解】不等式转化为，
令，则，在上单调递减，
，，的解集为，
即不等式的解集为.
故答案为：
练习18．（2023春·辽宁大连·高三瓦房店市高级中学校考开学考试）设函数是定义在上的可导函数，且，，若关于的方程有个不等实数根，则实数的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将已知等式变形为，即，令，可知，结合可得，由此得到解析式，将问题转化为与有两个不同交点的问题，利用导数求得单调性和最值，采用数形结合的方式可求得结果.
【详解】，由得：，
则，
令，则，，
又，，则；
，当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，，
又，当时，恒成立，
大致图象如下图所示，
则当时，与有两个不同交点，
即当时，方程有两个不等实数根.
故选：D.
练习19．（2023春·河南郑州·高二河南省实验中学校考期中）设函数的定义域为，其导函数为，且满足，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】构造函数，利用导数判断出的单调性，由此求得不等式的解集.
【详解】设，
，即，
，
在上单调递减，又，
不等式，
即，，
原不等式的解集为.
故选：D
【点睛】有关函数及其导数有关的不等式问题，求解方法是通过构造函数法，利用导数研究所构造函数的单调性、极值和最值等进行研究，由此对问题进行求解.
练习20．（2023春·湖北黄冈·高二浠水县第一中学校考阶段练习）设定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据的结构特征构造函数，并判断其单调性，结合可得的解集，即可求得答案.
【详解】设，则,
∵，∴,
而,故,
∴在R上单调递增，
又，故，
∴的解集为，
即不等式的解集为，
故选：B
【点睛】方法点睛：像此类给出一个关于导数的不等式的问题，要能根据所给不等式的结构特征，构造恰当的函数，从而利用其单调性求得答案.
题型五比较大小
例9．（2023·新疆阿勒泰·统考三模）已知，则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】构造函数，求导可得在上单调递增，即可得，从而得出大小，构造函数，求导可得在上单调递增，即可得，从而得出大小，即可得结论.
【详解】解：设，，所以，
，所以单调递增，
则，
所以，则；
，，
当时，，所以在上单调递增，
所以，
所以，故，故.
故选：C.
例10．（2023·江西·江西省丰城中学校联考模拟预测）已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】令，求得，得到函数的单调性，得到，，求得且，再令，求得，得到的单调性，求得，得出，再令，求得，得出单调递增，结合，求得.
【详解】令函数，可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
又由，，可得，，
令，可得
当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
可得，所以，
再令，
可得，所以单调递增，
可得，即，
可得，即，
综上可得，.
故选：B.
练习21．（2023春·辽宁·高二凤城市第一中学校联考期中）设，则的大小关系为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】构造函数研究其单调性来比较，构造函数研究其单调性来比较即可.
【详解】由，
设，，
∴，
当时，
∴在上单调递减，
∴，即
所以；
由
设，则，
所以，
当时，，
所以，
所以在单调递减，
又，
所以，
因为，
所以，即，
所以，
故选：C.
练习22．（2023·吉林·统考模拟预测）设，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】令，求得，得到函数的单调性与最大值，再由当且时，设且，求得，即可求解.
【详解】解：由，
令函数，可得，
当，可得，单调递增；
当，可得，单调递减，
所以当，函数取得极大值，即为最大值，
函数的图形，如图所示，
对于函数，当且时，.
设且，
则，可得，所以，所以,
所以.
故选：A.
练习23．（2023·广西桂林·校考模拟预测）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由于都与有关系，如果是的话，对应分别是，和，分别构建，结合导数分析运算可得，方法一：构建，结合导数分析运算可得；方法二：利用常见不等式，，分析可得.
【详解】先比较，
构建，则，
构建，则，
构建，则对恒成立，
∴在上单调递增，则，可得，
则，即，
构建，则在上单调递减，且，
故在内存在零点，
当时，；当时，；
且，可得：当时，；当时，；
故在上单调递增，在上单调递减，
∵，则，
可得，且，
故在内恒成立，则在内恒成立，
∴在上单调递增，则，
即，则，所以；
再比较，
方法一：构建，求导，
∵，则，即，
故在上恒成立，
所以在上单调递增，则，
即，则，所以；
方法二（结论法）：我们知道，，
所以恒成立
令，可得，所以；
综上所述：.
故选：D.
练习24．（2023·全国·校联考二模）已知，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由，构造函数，通过求导讨论的单调性，再构造函数，通过求导讨论的单调性，得到，从而得到，从而判断出；再由，，求出，比较和的大小，从而判断出，即可得到.
【详解】因为，，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上递减，在上递增，
所以，
即，，即
所以，所以；
由，得，
由，得，
所以，
因为，
所以，所以，
所以，即，所以，
综上所述.
故选：A
练习25．（2023·重庆·校联考模拟预测）设，，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】利用构造函数法，结合导数以及基本不等式判断出的大小关系.
【详解】构造函数，
当时，，
所以在上单调递减，，
所以，即，
也即，则，
，
所以.
故选：D
题型一
构造函数型可导函数
题型二
构造函数型可导函数
题型三
构造函数型可导函数
题型四
导函数带常数型
题型五
比较大小