2024年通用版高考数学二轮复习专题4.8 导数中的零点问题(教师版)

这是一份2024年通用版高考数学二轮复习专题4.8 导数中的零点问题(教师版)，共48页。试卷主要包含了已知函数，，m∈R，已知函数，已知函数与函数，已知函数，.等内容，欢迎下载使用。

题型一讨论零点的个数
例1．（2023春·安徽六安·高二六安二中校联考期中）已知，，a是参数，则下列结论正确的是（ ）
A．若有两个极值点，则B．至多2个零点
C．若，则的零点之和为0D．无最大值和最小值
【答案】ACD
【分析】求导，把两个极值点问题转化为导数方程有两个解问题，分离参数数形结合即可求解a的范围，判断A，求导，判断函数的单调性，再结合零点存在性定理，直接判断即可判断B；问题等价于直线y＝a与函数图象的交点的横坐标之和是否为0，由函数的奇偶性容易判断C，结合函数的的单调性及图象变化趋势判断D.
【详解】对于A，因为，所以，
若有两个极值点，则有两个不同的解，
分参得，有两个不同的解，
记，则，
令，得，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
又，作出函数的图象，

要使有两个不同的解，
则直线与函数有两个不同的交点，
由图知，，故A正确；
对于B，当时，，，
结合A选项知，存在，，使得，
又，所以，
又，x趋向负无穷大时，函数无限趋向于负无穷大，
x趋向正无穷大时，函数无限趋向于正无穷大，
且，
由零点存在性可知，有三个零点，故选项B错误；
对于C，的根即为的根，
亦即直线y＝a与函数图象的交点的横坐标，
又函数为偶函数，
所以直线y＝a与函数图象的交点的横坐标之和为0，故选项C正确；
对于D，当时，由选项A知，，则，
函数在R上单调递增，且x趋向负无穷大时，函数无限趋向于负无穷大，
x趋向正无穷大时，函数无限趋向于正无穷大，此时函数无最大值和最小值；
当时，由选项B知，函数在和上单调递增，在上单调递减，
且x趋向负无穷大时，函数无限趋向于负无穷大，
x趋向正无穷大时，函数无限趋向于正无穷大，此时函数无最大值和最小值；
综上，函数无最大值和最小值，故选项D正确；
故选：ACD
【点睛】方法点睛：利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.
例2．（2023·安徽滁州·安徽省定远中学校考二模）已知函数，，m∈R．
(1)设的导函数为，试讨论的零点个数；
(2)设，当时，若恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】(1)答案见解析
(2)．
【分析】（1）分离参数得，将零点问题转换为交点问题，求得的导数，根据其单调性画出大致函数图象，分类讨论m的取值与函数交点个数的关系即可；
（2）简化不等式，根据不等式特征构造函数，求导新函数的导数判断其单调性，根据新函数单调性将外函数的大小比较简化成内函数的大小比较，再求解内函数的大小关系即可求得实数m的取值范围.
【详解】（1），令，
函数的零点即为的方程的根，令，
，
当x＜－3或x＞1时，，单调递增，
当－3＜x＜1时，，单调递减，
且，，
x→∞时，，x→＋∞时，，
且当或时，
当时，则的大致图象如图所示：

由数形结合可知，当m＝－2e或时，有一个零点；
当－2e＜m≤0或时，有两个零点；
当时，有三个零点；
当m＜－2e时，无零点．
（2）当时，若成立，
即对恒成立，
即对恒成立，
亦即对恒成立，
设函数，
∴对恒成立，
又，
设，
∴，
∴当时，，此时点在上单调递减，
当时，，此时在上单调递增，
∴，
∴在R上单调递增，又，
∴在上恒成立，
令，则，
①当m≤1时，在上恒成立，
∴，此时满足已知条件，
②当m＞1时，由，解得x＝m，
当时，，此时在上单调递减；
当时，，此时在上单调递增；
∴的最小值，解得1＜m≤e，
综上，m的取值范围是．
练习1．（2023春·甘肃武威·高三武威第六中学校考期中）已知函数．
(1)求函数的单调区间和极值：
(2)若，讨论函数的零点个数．
【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为；极小值为，无极大值
(2)答案见解析
【分析】（1）求导后，根据正负可得单调区间；根据极值点定义可求得极值；
（2）将问题转化为与的交点个数问题，结合（1）中结论作出函数图象分析可得结果．
【详解】（1）∵定义域为，，
又恒成立，
∴当时，；当时，；
的单调递减区间为，单调递增区间为；
所以极小值为，无极大值．
（2）当时，，当时，，结合（1）中结论作出函数图象如图：
的零点个数等价于与的交点个数；
当时，与有且仅有一个交点；
当时，与有两个不同交点；
当时，与有且仅有一个交点；
当时，与无交点；
综上所述：当时，有唯一零点；
当时，有两个不同零点；
当时，无零点．
练习2．（2023·黑龙江哈尔滨·哈师大附中统考三模）已知.
(1)若，证明：存在唯一零点；
(2)当时，讨论零点个数.
【答案】(1)见解析
(2)有2个零点，
【分析】（1）求导，利用导数判断在单调递减，进而由零点存在性定理即可求解，
（2）分类讨论，结合导数求解单调性，由零点存在性定理即可求解.
【详解】（1），，
由于，所以 进而，所以在单调递减，
又，所以存在唯一零点
（2），，则，，
当 时，，
此时 在单调递减，， 所以在在没有零点，
当时，令，
所以 在单调递增，又
故当时，，故 在单调递减，又，
当时， ，故在单调递增，因此当时， 只有一个零点0，
当时，，所以 在单调递减，，
故 使得，且当时，单调递增，
当时，单调递减，而，
所以当此时无零点，当，只有一个零点，
综上可知：时，有2个零点，
【点睛】本题主要考查了导数的综合运用以及函数的零点，属于较难题.判断函数零点个数的常用方法：
(1) 直接法： 令则方程实根的个数就是函数零点的个；
(2) 零点存在性定理法：判断函数在区间上是连续不断的曲线，且再结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性) 可确定函数的零点个数；(3) 数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，在一个区间上单调的函数在该区间内至多只有一个零点，在确定函数零点的唯一性时往往要利用函数的单调性，确定函数零点所在区间主要利用函数零点存在定理，有时可结合函数的图象辅助解题.
练习3．（2023春·河南郑州·高三河南省实验中学校考期中）已知函数．
(1)若时，恒成立，求的取值范围；
(2)记，讨论函数与的交点个数．
【答案】(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据题意，求导得，分与讨论，即可得到结果；
（2）根据题意，记，将函数交点问题转化为零点问题，求导讨论即可得到结果.
【详解】（1），．，，
当时，，单调递增，，不等式成立，
当时，．，，单调递减，，这与题设矛盾．
综上，的取值范围为．
（2）记，则，．
记，则，单调递增，且有唯一零点，
于是在单调递减，单调递增，在处取得最小值．
当，即时，，
故在上单调递增，在上有唯一零点;
当，即时，，
设，则，
故在上为增函数，故即，，
故有两个零点，且，
于是在单调递增，单调递减，单调递增，
又，则，，
，
，则由零点存在定理可得在存在唯一零点，在存在唯一零点，故此时有三个零点．
综上可得：时，有一个交点；时，有三个交点．
练习4．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图象在点处的切线与轴垂直．
(1)求实数的值．
(2)讨论在区间上的零点个数．
【答案】(1)
(2)在区间上的零点个数为2
【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得，解得即可；
（2）由（1）知，求出函数的导函数，令，利用导数说明的单调性，即可得到在上的零点情况，当时，将变形得，令，利用导数说明的单调性，即可判断其零点个数，从而得解.
【详解】（1）因为，则，
由题意得，函数的图象在点处的切线斜率为，
即，解得．
（2）由（1）知，，，
令，则．
当时，，，此时，单调递增，
，故函数单调递减，
所以，故函数在上无零点．
当时，将变形得，
设，则，
设，则，
易知当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，又，，，
故存在，使，当时，，单调递增；
当时，，单调递减，又，故，又，
故函数在上没有零点，在上有1个零点．
综上所述，在区间上的零点个数为2．
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
练习5．（2023春·北京海淀·高三北京交通大学附属中学校考期中）已知函数与函数．
(1)若，的图像在点处有公共的切线，求实数a的值；
(2)设．
①求函数的极值；
②试判断函数零点的个数．
【答案】(1)
(2)①答案见解析；②答案见解析.
【分析】（1）因为的图像在点处有公共的切线，，因此则在该点处的导数值相等，得到参数a的值．
（2）①设，分别对参数a进行分类讨论：i. 时， 在上单调递增，无极值；
ii. 时，用列表法求出函数的极小值.②根据单调性结合极值正负分类讨论函数零点个数.
【详解】（1）因为，，所以，.
所以点同时在函数的图像上，
因为，所以，，
由已知，得，所以，即.
（2）①因为，
所以 .
i.当时，
因为，且所以对恒成立，
所以在上单调递增，无极值；
ii.当时，
令，解得（舍）.
列表得：
所以当时，取得极小值，且.
综上，当时，函数在上无极值；
当时，函数在处取得极小值.
②当时，在上单调递增，函数零点的个数为1；
当时，在上单调递, 在上单调递增,
函数在处取得极小值.
设单调递增, 单调递减,
又 ,
当时，趋近于0时趋近于正无穷大，
函数零点的个数为2;
当时，趋近于正无穷大时趋近于正无穷大，
函数零点的个数为2;
当时， 在上单调递, 在上单调递增, 函数在处取得极小值,
函数零点的个数为1;
当或时，函数零点的个数1; 当或时,函数零点的个数2;
题型二已知零点个数求参数
例3．（2023·浙江·校联考模拟预测）已知函数.
(1)若点在曲线上，且点是函数图象的对称中心，求过点的的切线方程；
(2)若，且有三个不同的零点，且，求的取值范围.
【答案】(1)和
(2)
【分析】（1）根据点在曲线上和对称中心得到，求导得到导函数，设切点得到切线方程，将点代入切线方程得到答案.
（2）确定当时，方程有两个不同的解，变换得到，构造函数，求导得到单调区间，计算最值为，解得答案.
【详解】（1），则，
设，，
故，解得，
即，则.
函数在处的切线方程为，
即，
将点代入切线方程得，
整理得，即，解得或.
故过点的函数的图象的切线方程为：和.
（2）根据题意：当时，方程有两个不同的解，故，
等号两边同时取对数得，，令，
则，令，得，，，
当时，，当时，，
故在上单调递增，在上单调递减，
所以.
，又当无限趋近于负无穷大时，为正数，无限趋近于正无穷大，
当无限趋近于0时，也无限趋近于正无穷大，
故要使有两个零点，只需，
即，所以，解得，又，
故实数的取值范围.
【点睛】关键点睛：本题考查了切线方程，利用导数求参数范围，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中，将函数的零点问题通过构造函数的方法转化为函数的最值问题是解题的关键.
例4．（2023·重庆·统考模拟预测）已知函数．
(1)讨论函数的单调性；
(2)若函数有两个零点，求a的最大整数值．
【答案】(1)答案见解析；
(2).
【分析】（1）求出函数的导数，再分类讨论求解为正为负时的不等式作答.
（2）利用（1）中信息结合已知，确定，再利用零点存在性定理探讨有两个零点的条件，得，进而确定，分析的情况作答.
【详解】（1）函数的定义域为，求导得，
①当，即时，恒成立，此时在上单调递减；
②当，即时，由解得，，
由解得，，由解得或，
此时在上单调递增，在和上单调递减；
③当，即时，由解得或(舍)，
由解得，由解得，
此时在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数在上单调递减；
当时，函数在上单调递增，在和上单调递减；
当时，函数在上单调递增，在上单调递减.
（2）由（1）知，当时，在上单调递减，
此时在上至多有一个笭点，不待合题意，
由于是整数，必有，
当时，由（1）知在上单调递增，在上单调递减，
取，有，当时，，
若在上有两个零点，则，
因为，
令，则，
令，则，即在上单调递增，
又，则存在唯一的，使得，
当时，，此时，
若，则，
令，则在上单调递增，
又，，
当时，，此时，因此，则当时，成立，
所以的最大整数值为.
练习6．（2023春·四川乐山·高三四川省峨眉第二中学校校考期中）若函数有两个实根，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】参数分离，构造新函数，求解新函数的值域，运用几何解释求解.
【详解】，原问题等价于直线与曲线有2个交点，
，当时，单调递增，当时，单调递减，
在处，取得极小值也是最小值，，当时， ，
，当时，，当趋于时，趋于；
函数的大致图像如下：
所以，k的取值范围是 ；
故答案为：.
练习7．（2023·河南·模拟预测）若函数在上存在两个零点，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】分离参数，利用导数研究函数的单调性及最值，数形结合得解.
【详解】函数在上存在两个零点，
即在上有2个解，
即与的图象在上有2个交点，
，由可得，函数单调递增，
故时，，函数单调递减，
所以，，
由时，知，，即，可得，
作出图象，如图，
由图象可知，当时满足条件.
故选：A
练习8．（2023春·山东青岛·高三青岛市即墨区第一中学统考期中）若，（0