2024年通用版高考数学二轮复习专题8.4 空间向量与立体几何(学生版)

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题型一空间向量及其运算
例1．（2022·全国·高三专题练习）如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝3，AA1＝4，∠DAB＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，设，，．

(1)用，，表示；
(2)求AC1的长．
例2．（2022·全国·高二专题练习）已知向量，，且，则（ ）
A．B．2C．D．3
练习1．（2023春·高二课时练习）如图所示，已知正四面体OABC的棱长为1，点E，F分别是OA，OC的中点．求下列向量的数量积：
(1)
(2)
(3)
练习2．（2022·高三课时练习）已知：，∥，⊥，求：
(1)，，；
(2)与所成角的余弦值.
练习3．（2023秋·贵州铜仁·高三统考期末）如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，是的中点，设，，，用，，表示，则（ ）

A．B．C．D．
练习4．（2023·山东·校联考模拟预测）定义两个向量与的向量积是一个向量，它的模，它的方向与和同时垂直，且以的顺序符合右手法则（如图），在棱长为2的正四面体中，则（ ）
A．B．4C．D．
练习5．（2022·高三单元测试）（多选）已知空间中三点A（0，1，0），B（1，2，0），C（﹣1，3，1），则正确的有（ ）
A．与是共线向量
B．的单位向量是（1，1，0）
C．与夹角的余弦值是
D．平面ABC的一个法向量是（1，﹣1，3）
题型二空间共面向量定理
例3．（2022·高二课时练习）（多选）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A．，，B．，，
C．，，D．，，
例4．（2023春·江苏宿迁·高三校考阶段练习）已知向量，不共线，，，，则（ ）
A．与共线B．与共线
C．，，，四点不共面D．，，，四点共面
练习6．（2023春·河南安阳·高三安阳一中校联考开学考试）在空间直角坐标系中，已知点，若四点共面，则__________.
练习7．（2023春·高三课时练习）设空间任意一点和不共线的三点，，，若点满足向量关系（其中），试问：，，，四点是否共面？
练习8．（2023·高二校考课时练习）已知是空间的一组基底，则可以与向量，构成基底的向量是（ ）
A．B．C．D．
练习9．（2022·北京·高三强基计划）（多选）如图，已知正三棱锥的侧棱长为l，过其底面中心O作动平面，交线段于点S，交的延长线于M，N两点．则下列说法中正确的是（ ）
A．是定值B．不是定值
C．D．
练习10．（2022秋·重庆·高三统考期末）（多选）若构成空间的一个基底，则下列说法中正确的是（ ）
A．存在，使得
B．也构成空间的一个基底
C．若，则直线与异面
D．若，则，，，四点共面
题型三求平面的法向量
例5．（2023·全国·高三专题练习）设向量是直线l的方向向量，是平面α的法向量，则（ ）
A．B．或C．D．
例6．（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）已知，，，则平面ABC的一个法向量可以是（ ）
A．B．C．D．
练习11．（2023春·湖北·高三校联考阶段练习）已知点在平面内，是平面的一个法向量，则下列点中，在平面内的是（ ）
A．B．C．D．
练习12．（2023春·高三课时练习）已知，则平面的一个单位法向量是（ ）
A．B．
C．D．
练习13．（2023春·高三课时练习）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面PCD的一个法向量.
练习14．（2023春·高二课时练习）已知在正方体中，E， F分别是BB1， DC的中点，求证：是平面A1D1F的一个法向量．
练习15．（2023春·高三课时练习）在棱长为2的正方体中，E，F分别为棱的中点，在如图所示的空间直角坐标系中，求：
(1)平面的一个法向量；
(2)平面的一个法向量.
题型四利用空间向量证明平行，垂直
例7．（2022·全国·高二专题练习）如图，设P为长方形ABCD所在平面外一点，M在PD上，N在AC上，若，用向量法证明：直线MN∥平面PAB.

例8．（2022·高二课时练习）如图，在正方体中，

求证：
(1)求AC与所成角的大小；
(2)平面平面；
(3)平面．
练习16．（2023春·高三课时练习）如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD.
练习17．（2023春·高三课时练习）如图所示，△ABC是一个正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD.求证：平面DEA⊥平面ECA.
练习18．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中.平面，且，点在棱上，点为中点.若，证明：直线平面.
练习19．（2022·全国·高三专题练习）四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是平行四边形，.
(1)求证：PA⊥底面ABCD；
(2)求PC的长.
练习20．（2023·北京密云·统考三模）如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，，分别是，的中点.

(1)求证：平面；
(2)求二面角的余弦值.
题型五求空间角
例9．（2023·青海西宁·统考二模）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，平面平面，AB＝BC＝2，M，N分别为，AC的中点．

(1)求证：平面；
(2)从条件①：AB⊥MN，条件②：BM＝MN中选择一个作为已知，求直线AB与平面BMN所成角的正弦值．
例10．（2023·四川成都·石室中学校考模拟预测）如图，四边形为菱形，，平面，，．

(1)求证：平面平面；
(2)求二面角的余弦值．
练习21．（2022春·湖南株洲·高三统考期末）如图，四边形是正方形，平面，，，，为的中点．

(1)求证：平面；
(2)求平面与平面夹角的余弦.
练习22．（2023·甘肃定西·统考模拟预测）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，AC与BD交于点O，底面ABCD，，点E，F分别是棱PA，PB的中点，连接OE，OF，EF．

(1)求证：平面平面PCD；
(2)求二面角P－EF－O的正弦值．
练习23．（2023春·四川成都·高三四川省成都市新都一中校联考期中）如图，在长方体中，，，，交于点E.
(1)证明：直线平面；
(2)求AD与平面所成角的正弦值.
练习24．（2023·天津河西·天津市新华中学校考模拟预测）如图，四边形是边长为2的菱形，，四边形为矩形，，且平面平面.

(1)求与平面所成角的正弦值；
(2)求平面与平面夹角大小；
(3)若在线段上存在点，使得平面，求点到平面的距离.
练习25．（2023·江西鹰潭·贵溪市实验中学校考模拟预测）如图，在三棱柱中，平面，，，为的中点，交于点．
(1)证明：；
(2)求异面直线与所成角的余弦值．
题型六已知夹角求其他量
例11．（2023·上海长宁·上海市延安中学校考三模）已知和所在的平面互相垂直，，，，，是线段的中点，.
(1)求证：；
(2)设，在线段上是否存在点（异于点），使得二面角的大小为.
例12．（2023·广东深圳·深圳中学校考模拟预测）如图，且，，且，且.平面，.

(1)求平面与平面的夹角的正弦值；
(2)若点在线段上，且直线与平面所成的角为，求线段的长.
练习26．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）如图，正三棱柱的所有棱长均为为的中点，为上一点，
(1)若，证明：平面；
(2)当直线与平面所成角的正弦值为，求的长度.
练习27．（2023春·辽宁朝阳·高三校联考期中）如图，在正三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，D为AB的中点， .
(1)若证明:DE⊥平面A₁B₁E；
(2)若直线BC₁与平面A₁B₁E所成角为求λ的值.
练习28．（2023春·江苏泰州·高三泰州中学校考期中）如图，在多面体中，四边形与均为直角梯形，，.平面，，.
(1)已知点G为AF上一点，且，试判断是否与平面平行，并说明理由；
(2)已知直线与平面所成角的正弦值为，求该多面体的体积.
练习29．（2023·北京东城·统考二模）如图，直角三角形和等边三角形所在平面互相垂直，，是线段上一点.
(1)设为的中点，求证：；
(2)若直线和平面所成角的正弦值为，求的值.
练习30．（河北省2023届高三模拟（六）数学试题）在圆柱中，等腰梯形为底面圆的内接四边形，且，矩形是该圆柱的轴截面，为圆柱的一条母线，.

(1)求证：平面平面；
(2)设，，试确定的值，使得直线与平面所成角的正弦值为.
题型七求异面直线，点到面或者面到面的距离
例13．（2023·浙江宁波·镇海中学校考模拟预测）在直角梯形中，，，，现将沿着对角线折起，使点D到达点P位置，此时二面角为．

(1)求异面直线，所成角的余弦值；
(2)求点A到平面的距离．
例14．（2023秋·辽宁沈阳·高三沈阳二十中校联考期末）如图①菱形，．沿着将折起到，使得，如图②所示．
(1)求异面直线与所成的角的余弦值；
(2)求异面直线与之间的距离．
练习31．（2022·全国·高三专题练习）在如图所示的五面体ABCDFE中，面ABCD是边长为2的正方形，AE⊥面ABCD，DF∥AE，且DFAE＝1，N为BE的中点.

(1)求证：FN∥平面ABCD；
(2)求二面角N﹣MF﹣D的余弦值；
(3)求点A到平面MNF的距离.
练习32．（2023·高一课时练习）如图所示，在空间四边形中，，，，．
(1)求证：；
(2)求异面直线与的距离；
(3)求二面角的大小．
练习33．（2021秋·上海浦东新·高三上海市实验学校校考期中）如图是一棱长为的正方体，则异面直线与之间的距离为（ ）
A．B．C．D．
练习34．（2023·重庆·统考模拟预测）在多面体中，四边形是边长为4的正方形，，△ABC是正三角形．

(1)若为AB的中点，求证：直线平面；
(2)若点在棱上且，求点C到平面的距离．
练习35．（2023·北京丰台·北京丰台二中校考三模）如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且.
(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面所成角的余弦值；
(3)若棱上一点，满足，求点到平面的距离.
题型八求点到线的距离
例15．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，且，为棱的中点，点在上，且，则的中点到直线的距离是______．
例16．（2023·全国·高三专题练习）如图，直四棱柱的底面为平行四边形，，，点P，M分别为，上靠近的三等分点．
(1)求点M到直线的距离；
(2)求直线PD与平面所成角的正弦值.
练习36．（2023春·安徽池州·高二池州市第一中学校联考阶段练习）已知点，若，两点在直线l上，则点A到直线l的距离为______.
练习37．（2023秋·山西临汾·高二统考期末）如图所示，在四棱锥中，平面平面，底面为矩形，，是棱上一点，且.
(1)求点到直线的距离；
(2)求平面与平面夹角的余弦值.
练习38．（2023春·高二课时练习）如图，正方形的中心为O，四边形为矩形，平面 平面，点G为 的中点， .
(1)求证： 平面 ；
(2)求点D到直线的距离.
练习39．（2022秋·陕西西安·高二校考阶段练习）在长方体中，，，，是的中点，建立空间直角坐标系，用向量方法解下列问题：
(1)求直线与所成的角的余弦值；
(2)求点到直线的距离．
练习40．（2022秋·湖北十堰·高二统考期末）如图所示，在几何体中，，平面，则点E到直线的距离为_________、直线与平面所成角的正弦值为_______________．
题型九点的存在性问题
例17．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考二模）如图，四棱锥中，平面，，，，，为线段上一点，点在边上且.
(1)若为的中点，求四面体的体积；
(2)在线段上是否存在点，使得与平面所成角的余弦值是？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.
例18．（2023春·广东佛山·高二佛山一中校考阶段练习）如图，在四棱锥中，已知底面是正方形，底面，且，是棱上动点.
(1)证明：平面.
(2)线段上是否存在点，使二面角的余弦值是？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
练习41．（2023·全国·高三对口高考）如图所示的几何体中，四边形是等腰梯形，，，平面，，.

(1)求二面角的余弦值；
(2)在线段AB（含端点）上，是否存在一点P，使得平面.若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
练习42．（2022秋·贵州遵义·高三习水县第五中学校联考期末）如图，在四棱锥中，，且.点是线段上一动点.
(1)当平面时，求的值；
(2)点是线段上运动的过程中，能否使得二面角的大小为？若存在，求出的位置；若不存在，说明理由.
练习43．（2023·安徽阜阳·安徽省临泉第一中学校考三模）在梯形中，，，为的中点，将沿折起至的位置，且.

(1)求证：平面平面；
(2)判断在线段上是否存在点，使得直线与平面成角的正弦值为.若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.
练习44．（2023·湖北襄阳·襄阳四中校考模拟预测）在三棱锥P-ABC中，若已知，，点P在底面ABC的射影为点H，则
(1)证明：
(2)设，则在线段PC上是否存在一点M，使得与平面所成角的余弦值为，若存在，设，求出的值，若不存在，请说明理由.
练习45．（2023·福建厦门·统考模拟预测）（多选）如图，在棱长为1的正方体中，点满足，其中，则（ ）
A．
B．当时，有且仅有一个点，使得平面
C．当时，有且仅有一个点，使得
D．当时，三棱锥的体积为定值
题型一
空间向量及其运算
题型二
空间共面向量定理
题型三
求平面的法向量
题型四
利用空间向量证明平行，垂直
题型五
求空间角
题型六
已知夹角求其他量
题型七
求异面直线，点到面或者面到面的距离
题型八
求点到线的距离
题型九
点的存在性问题