2024年通用版高考数学二轮复习专题9.1 直线的方程(教师版)

这是一份2024年通用版高考数学二轮复习专题9.1 直线的方程(教师版)，共31页。

题型一倾斜角与斜率
例1．（2023春·湖北荆州·高三统考阶段练习）若直线经过两点，，且其倾斜角为135°，则m的值为（ ）
A．0B．C．D．
【答案】D
【分析】根据两点斜率公式求解即可.
【详解】经过两点，的直线的斜率为，
又直线的倾斜角为135°，∴，解得．
故选：D
例2．（2023春·上海黄浦·高三上海市敬业中学校考期中）直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据倾斜角与斜率的关系求解即可.
【详解】由题意知,若 a = 0 ,则倾斜角为,
若,则,
①当时，(当且仅当时，取“”)，
②当时，(当且仅当时，取“”)，
，故，
综上，，
故选：C.
练习1．（2023秋·高二课时练习）若如图中的直线的斜率为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设出三条直线的倾斜角，结合直线斜率的定义和正切函数图象，数形结合得到答案.
【详解】设直线的倾斜角分别为，显然，且，
所以，
又在上单调递增，故，
所以.
故选：C
练习2．（2023秋·高三课时练习）对于下列命题：①若是直线l的倾斜角，则；②若直线倾斜角为，则它斜率；③任一直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中正确命题的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】通过直线的倾斜角的范围判断①的正误；直线的斜率的定义，判断②的正误；直线的斜率与倾斜角的关系判断③和④的正误.
【详解】对于①：若是直线的倾斜角，则；满足直线倾斜角的定义，则①正确；
对于②：直线倾斜角为且，它的斜率；倾斜角为时没有斜率，所以②错误；
对于③和④：可知直线都有倾斜角，但不一定有斜率；因为倾斜角为时没有斜率，所以③正确；④错误；
其中正确说法的个数为2.
故选：B.
练习3．（2023秋·高三课时练习）直线l的斜率为k，且，则直线l的倾斜角的取值范围是__________．
【答案】
【分析】画出直线的区域，由图直观看出直线的倾斜角范围即可.
【详解】如图：

当直线l的斜率，
直线l的倾斜角的取值范围为：.
故答案为：.
练习4．（2022秋·江西·高三校联考阶段练习）已知等腰直角三角形斜边上的高所在直线的斜率为，则该等腰直角三角形两腰所在直线的斜率分别为________，________.
【答案】 /
【分析】由已知结合直线的倾斜角与斜率关系及两角和与差的正切公式可求．
【详解】解：设等腰直角三角形斜边上的高所在直线的倾斜角为，则，
由题意得该等腰直角三角形两腰所在直线的倾斜角分别为，，
因为，，
所以该等腰直角三角形两腰所在直线的斜率分别为为，．
故答案为：，．
练习5．（2022秋·高三课时练习）（多选）若直线与轴交于点，其倾斜角为，直线绕点顺时针旋转45°后得直线，则直线的倾斜角可能为（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】由倾斜角的定义，分类讨论作出图形，数形结合分析即可.
【详解】解析：当时，直线的倾斜角为（如直线AC旋转至直线AD）；
当时，直线的倾斜角为（如直线AD旋转至直线AB）.
故选：BC.
题型二直线与线段的相交关系求斜率范围
例3．（2023·全国·高三专题练习）若实数、满足，，则代数式的取值范围为______
【答案】
【分析】作图，根据代数式的几何意义，结合图象即可得出答案.
【详解】
如图，，，，
则，.
因为，可表示点与线段上任意一点连线的斜率，
由图象可知，，
所以有.
故答案为：.
例4．（2023秋·高三课时练习）直线与连接的线段相交，则a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，作出图形，利用斜率坐公式结合图形求解作答.
【详解】直线过点.
如图，

由题意，直线与线段总有公共点，
即直线以直线为起始位置，绕点P逆时针旋转到直线即可，
直线的斜率为，直线的斜率分别为，于是或，
而，因此或，
所以或，解得或，即a的取值范围是.
故选：D.
练习6．（2022秋·江苏连云港·高三校考阶段练习）已知点，若直线与线段没有交点，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】求出直线的斜率，结合图形得出的范围．
【详解】直线过定点，且，
由图可知直线与线段没有交点时，斜率满足，
解得，
故选：B．
练习7．（2023秋·高三课时练习）如图，已知两点，过点的直线l与线段AB始终有公共点，求直线l的斜率k的取值范围．

【答案】
【分析】根据题意结合图形求出直线的斜率，直线的斜率，即得直线斜率的取值范围．
【详解】根据图形，∵直线的斜率是，
直线的斜率是，
∴过点的直线与线段有公共点时，
直线的斜率的取值范围是 ．
故答案为：．
练习8．（2023·全国·高三对口高考）已知点，若直线与的延长线（有方向）相交，则的取值范围为_________．
【答案】
【分析】先求出的斜率，再利用数形结合思想，分情况讨论出直线的几种特殊情况，综合即可得到答案.
【详解】如下图所示，

由题知，
直线过点.
当时，直线化为，一定与相交，所以，
当时，，考虑直线的两个极限位置.
①经过，即直线，则；
②与直线平行，即直线，则，
因为直线与的延长线相交，
所以，解得，所以.
故答案为：.
练习9．（2022·全国·高二专题练习）已知,，点是线段AB上的动点，则的取值范围是______.
【答案】
【分析】根据的几何意义即可求解.
【详解】如图所示：
因为,，
所以，，
，
因为点是线段AB上的动点，
所以.
故答案为：
练习10．（2022秋·福建泉州·高三校考阶段练习）（多选）若直线l经过点，在x轴上的截距的取值范围是，则直线l斜率的取值可能是（ ）
A．B．C．1D．
【答案】BC
【分析】根据给定条件，结合图形求出直线l的斜率取值范围，即可作答.
【详解】令点，依题意，直线l与x轴的交点在线段上（不含端点B，C），如图，
直线斜率，直线斜率，
因此直线l的斜率或，
所以直线l斜率的取值可能是或1.
故选：BC
题型三求直线的方程
例5．（2023秋·高二课时练习）由下列各条件，写出直线的方程，并且化成一般式：
(1)斜率是，经过点；
(2)经过点，平行于x轴；
(3)在x轴和y轴上的截距分别是；
(4)经过两点；
(5)在x轴上的截距是，倾斜角是；
(6)倾斜角为，与y轴的交点到x轴的距离是3．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)或
【分析】（1）由点斜式可得结果；（2）由点斜式可得结果；（3）由截距式可得结果；（4）由两点式可得结果；（5）由点斜式可得结果；（6）由斜截式可得结果.
【详解】（1）由点斜式得，即.
（2）因为直线平行于轴，所以斜率等于，
由点斜式得，即.
（3）因为在x轴和y轴上的截距分别是；
所以直线方程的截距式为：，即.
（4）由两点式得，即.
（5）斜率，
由点斜式得，即.
（6）斜率为，
因为直线与y轴的交点到x轴的距离是3，所以直线在轴上的截距为，
所以所求直线方程为或，即或.
例6．（2023·高三课时练习）已知直线l的倾斜角为，，且这条直线经过点，求直线l的一般式方程．
【答案】或.
【分析】根据给定条件，求出直线l的斜率，再利用点斜式方程求解作答.
【详解】直线l的倾斜角为，，当为锐角时，，直线l的斜率，
由直线点斜式方程得：，即，
当为钝角时，，直线l的斜率，
由直线点斜式方程得：，即，
所以直线l的一般式方程为或.
练习11．（2023秋·高三课时练习）经过点，且倾斜角为的直线的一般式方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先求出直线的斜率，再利用点斜式求出直线方程.
【详解】由直线的倾斜角为知，直线的斜率，
因此，其直线方程为，即.
故选：A
练习12．（2022秋·高三校考课时练习）直线和直线在同一平面直角坐标系中的图像有可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】化简直线方程分别为和，结合选项，逐项判定，即可求解.
【详解】化简直线方程分别为和，
显然的斜率是的纵截距, 的纵截距是的斜率，
对于A中，由的图象，可得，即；
由的图象，可得，即，显然不成立；
对于B中，由的图象，可得，即；
由的图象，可得，即，显然成立；
对于C中，由的图象，可得，即；
由的图象，可得，即，显然不成立；
对于D中，由的图象，可得，即；
由的图象，可得，即，显然不成立；
故选：B.
练习13．（2022秋·高三校考课时练习）已知的三个顶点分别为，M为AB的中点，则中线CM所在直线的方程为( )
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】求得点M的坐标，由直线的两点式方程求解.
【详解】点M的坐标为(2,1),由直线的两点式方程得,即.
故选：D
练习14．（2023·全国·高三对口高考）过点作直线分别交，的正半轴于，两点．

(1)求面积的最小值及相应的直线的方程；
(2)当取最小值时，求直线的方程；
(3)当取最小值时，求直线的方程．
【答案】(1)，此时直线的方程为．
(2)
(3)
【分析】（1）设，，，则直线的方程为，依题意可得，利用基本不等式求出的最小值，即可得解；
（2）由（1）可知，利用基本不等式求出的最小值，即可求出此时、的值，从而求出直线方程；
（3）依题意直线的斜率存在且，设直线，分别求出，的坐标，求出的方程，根据基本不等式的性质求出直线方程即可．
【详解】（1）依题意设，，，
设直线的方程为，代入得，
所以，则，当且仅当，即、时取等号，
从而，当且仅当，即、时取等号，
此时直线的方程为，即，
所以，此时直线的方程为．
（2）由（1）可得，
所以，
当且仅当，即，时取等号，
此时直线的方程为，即．
（3）依题意直线的斜率存在且，设直线，
令，解得，令，解得，所以，，
则，
当且仅当，即，即时，取最小值，
此时直线的方程为．
练习15．（2023春·上海徐汇·高三上海中学校考期中）过点作一条直线，它夹在两条直线：和：之间的线段恰被点平分，则直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】当斜率不存在时，不符合题意，当斜率存在时，设所求直线方程为，进而得出交点，根据点为两交点的中点建立等式，求出的值，从而即可解决问题.
【详解】如果直线斜率不存在时，直线方程为：，不符合题意；
所以直线斜率存在设为，
则直线方程为，
联立直线得： ，
联立直线得：，，
所以直线与直线，直线的交点为：
，
又直线夹在两条直线和之间的线段恰被点平分，
所以，
解得：，
所以直线的方程为：，
故选：B.
题型四直线的定点问题
例7．（2022·全国·高三专题练习）直线，当变动时，所有直线恒过定点坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】整理所得直线方程为，根据题意，即可求得结果.
【详解】把直线方程整理为，
令，故，所以直线恒过定点为.
故选：C.
例8．（2023·全国·高二对口高考）以下关于直线的说法中，不正确的是（ ）
A．直线一定不经过原点
B．直线一定不经过第三象限
C．直线一定经过第二象限
D．直线可表示经过点的所有直线
【答案】B
【分析】首先求出直线过定点坐标，即可判断A、D，再分、、三种情况讨论，分别判断直线所过象限，即可判断B、C；
【详解】对于直线，令，解得，故直线恒过点，
一定不经过原点，故A正确；
当时直线即为，直线过二、三象限，
当时直线即为，
若，则，，直线过一、二、三象限，
若，则，，直线过二、三、四象限，
所以直线一定过二、三象限，故B错误，C正确；
因为直线恒过点，所以直线可表示经过点的所有直线，
故选：B
练习16．（2023·全国·高三专题练习）直线，当变动时，所有直线都通过定点（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据直线过定点问题分析运算.
【详解】直线可以为，
表示过点，斜率为的直线，所以所有直线都通过定点为.
故选：A.
练习17．（2022秋·福建福州·高二福建省连江第一中学校联考期中）已知向量，，且．若点的轨迹过定点，则这个定点的坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据向量垂直可得数量积为0，得出轨迹方程即可求出轨迹过定点.
【详解】，
，
即，
所以点的轨迹方程为，
显然不论取何值，总有满足方程，
即点的轨迹过定点，
故选：A
练习18．（2023春·上海长宁·高三上海市第三女子中学校考期中）直线（）必过点________.
【答案】
【分析】将直线方程化为形式求解即可.
【详解】直线方程（）可化为，
（），
∴由，解得，
∴直线（）必过定点.
故答案为：.
练习19．（2023春·上海浦东新·高三上海师大附中校考阶段练习）已知实数成等差数列，则直线必过定点______.
【答案】
【分析】由成等差数列，可得，即，故直线可得．
【详解】成等差数列，，，
直线必过点．
故答案为：．
练习20．（2023春·湖南·高三临澧县第一中学校联考期中）已知O为坐标原点，直线：与：交于点P，则的值为________．
【答案】2
【分析】根据两直线经过定点，即可根据和，利用斜率得垂直关系即可分情况求解.
【详解】直线过定点，过定点，
当时，两直线的斜率分别为，，，故，从而；
当时，易求得，此时，
综上可知，．
故答案为：2
题型五直线与坐标轴围成的三角形问题
例9．（2023春·湖南常德·高三常德市一中校考期中）已知直线的方程为．
(1)求直线过的定点P 的坐标；
(2)直线与x 轴正半轴和y 轴正半轴分别交于点A，B ，当面积最小时，求直线的方程；
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）将直线的方程变形，列出方程组即可求解；
（2）利用直线的截距式方程设出直线的方程，根据（1）的结论及基本不等式，结合三角形的面积公式即可求解.
【详解】（1）由题意，直线的方程可化为，
联立方程组解得，
所以直线过的定点．
（2）设直线 ，则，
由 （1） 知，直线 过的定点，可得，
因为，
所以，解得，
当且仅当且即时，等号成立，
所以面积为 ，
此时对应的直线方程为，即．
例10．（2023秋·高三课时练习）过点且在坐标轴上的截距相等的直线一般式方程为__________．
【答案】或
【分析】讨论直线过原点和直线不过原点两种情况，分别计算得到答案.
【详解】当直线过原点时，设，过点，则，即；
当直线不过原点时，设，过点，则，即；
综上所述：直线方程为或.
故答案为：或.
练习21．（2022秋·高三校考课时练习）过点(2，0)，且在两坐标轴上截距之和等于6的直线方程是____.
【答案】
【分析】设直线的方程为，根据条件列方程组求解即可.
【详解】设直线的方程为，则解得
则直线的方程为+=1，即.
故答案为：
练习22．（2023·上海·高三专题练习）求过点，并且在两轴上的截距相等的直线方程_______．
【答案】或
【分析】当直线经过原点时，直线的方程直接求出；当直线不经过原点时，设直线的截距式为，把点P的坐标代入即可得出．
【详解】当直线经过原点时，直线的方程为，化为，
当直线不经过原点时，设直线的截距式为，
把点代入可得：，解得，
所以直线的方程为：，
综上所述，所求直线方程为或.
故答案为：或.
练习23．（2022秋·安徽六安·高三校考阶段练习）已知直线经过点且与两坐标轴围成的三角形的面积为，则直线的方程为__________.
【答案】或
【分析】设直线方程为，则，解得的值，即得此直线方程.
【详解】设直线方程为，则，
解得或
直线的方程为或
故答案为：或.
练习24．（2023春·四川内江·高三四川省资中县第二中学校考开学考试）已知直线，.
(1)证明直线l过定点A，并求出点A的坐标；
(2)在（1）的条件下，若直线过点A，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的，求直线的方程.
【答案】(1)定点A的坐标为
(2)或
【分析】（1）整理方程为，然后解方程组可得答案；
（2）设出直线方程，求出截距，利用截距之间的关系列方程求解.
【详解】（1）直线可化为，
则，解得，
直线l过定点，且定点A的坐标为；
（2）直线过点，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的，
则当直线过坐标原点时，符合题意，此时直线方程为，即；
当直线的横纵截距均不为零时，设直线的方程为，
代入点，得，解得，
此时直线的方程为，即，
综上，直线的方程为或.
练习25．（2022秋·安徽六安·高三校考阶段练习）若直线与直线平行，且在轴上的截距比在轴上的截距大，求直线的方程.
【答案】
【分析】由平行可设直线方程为，分和两种情况，并结合题意列等式即可
【详解】直线与直线平行，则设其方程为，
当时，直线方程为，故可得在轴上的截距和在轴上的截距都是为，
不满足题意，
当时，方程化为截距式为，
因为直线在轴上的截距比在轴上的截距大，所以，解得，
直线的方程为.
题型六直线平行或垂直
例11．（2022秋·高二校考课时练习）与直线垂直，且在x轴上的截距为2的直线的斜截式方程为（ ）.
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】首先根据垂直关系确定所求直线的斜率，设出直线方程后再根据横截距确定与x轴的交点坐标，进而求得待定系数，确定答案.
【详解】因为所求的直线与直线垂直，所以，得.
设所求直线为,又因为所求直线在x轴上的截距为2即过点，
求得,所以所求直线的斜截式方程为，
故选：B.
例12．（2023·高三课时练习）已知直线和，若，则___________．
【答案】3
【解析】由由有，即可求，然后验证、是否共线.
【详解】∵，有，
∴，解得或，
当时，，，即、为同一条直线；
当时，，，即；
∴，
故答案为：3
练习26．（2023·河南郑州·校考模拟预测）已知直线与直线垂直，若直线的倾斜角为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由题意可得，由诱导公式和同角三角函数的平方关系化简，代入即可得出单.
【详解】因为直线与直线垂直，
所以直线的斜率为，所以，
所以.
故选：D.
练习27．（2022秋·四川泸州·高三统考期末）点与点关于直线l对称，则l的方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】求出两个定点的中点坐标及这两个定点确定的直线斜率作答.
【详解】过点与点直线的斜率为，则直线l的斜率为，
点与点的中点为，
所以直线l的方程为，即.
故选：B
练习28．（2023·全国·高三对口高考）直线和，当________时，；当________时，；当________时，与相交．
【答案】 /0.5 且
【分析】利用直线平行、垂直、相交的性质求解.
【详解】由题知，，
，解得；
，
，解得；
与相交，
，解得且.
故答案为：；；且
练习29．（2023秋·高三课时练习）已知直线平行于直线，且在y轴上的截距为，则m，n的值分别为__________和__________．
【答案】
【分析】化简两直线为斜截式方程，结合题意，列出方程，即可求解.
【详解】由直线，整理得
直线，整理得，
因为两直线平行，可得，
又由在轴上的截距为，即，可得，
所以.
故答案为：；.
练习30．（2023秋·青海西宁·高三统考期末）已知直线，若且，则的值为（ ）
A．B．5C．D．7
【答案】B
【分析】利用直线一般式下平行与垂直的性质求解即可.
【详解】因为，
所以由，得，解得，
由，得，解得，
所以．
故选：B．
题型七距离公式的应用
例13．（2022秋·广东揭阳·高三校考期中）直线过点.求分别满足下列条件的直线方程.
(1)若直线与直线平行；
(2)若点到直线的距离为1.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据直线平行设出直线方程，代入点即可求出结果；（2）分斜率存在和斜率不存在两种情况，设出直线方程，利用点到直线的距离公式求出参数，即可求出直线方程.
【详解】（1）设直线方程为将代入得，
所求直线方程是
（2）若直线的斜率不存在，则过的直线为，到点的距离为1，满足题意；
若直线的斜率存在，设斜率为，则的方程为.
由点到直线的距离为1，可得.解得，
所以直线方程为，即.
综上得所求的直线方程为或.
例14．（2023·全国·高三对口高考）过点且和的距离相等的直线方程是_________．
【答案】或
【分析】当斜率不存在时，验证不满足条件；当若斜率存在时，设直线方程为，利用点到直线的距离公式，列出方程求得的值，即可求解.
【详解】若斜率不存在时，过点的直线为，此时不满足条件；
若斜率存在时，设过点的直线，即．
根据题意，可得，解得或，
当时，直线方程为，
当时，直线方程为
综上可得，直线方程为或．
故答案为：或
练习31．（2023春·河南洛阳·高三校考阶段练习）两条平行线，间的距离等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用两平行线间的距离公式求解即可.
【详解】依题意，将直线变为，
又，
所以两平行线间的距离为.
故选：A.
练习32．（2022秋·高三单元测试）已知直线过点，且原点到这条直线的距离为1，则这条直线的方程是（ ）
A．和B．和
C．和D．和
【答案】A
【分析】当直线的斜率不存在时，其方程为，符合题意；当直线的斜率存在时，设其方程为，根据条件列出关于的方程，求解即可.
【详解】当直线的斜率不存在时，其方程为，原点到这条直线的距离为1，符合题意；
当直线的斜率存在时，设其方程为，即，
∵原点到这条直线的距离为1，∴，解得，
∴直线的方程是，即，
综上，直线的方程是和.
故选：A.
练习33．（2022秋·高三校考课时练习）若点A在直线上，且点A到直线的距离为，则点A的坐标为________________.
【答案】或
【分析】利用点在线上及点线距离公式得到关于A的坐标的方程组，解之即可.
【详解】依题意，设点A的坐标为，
则有，解得或.
故答案为：或.
练习34．（2023·全国·高三对口高考）过点且和的距离相等的直线方程是_________．
【答案】或
【分析】当斜率不存在时，验证不满足条件；当若斜率存在时，设直线方程为，利用点到直线的距离公式，列出方程求得的值，即可求解.
【详解】若斜率不存在时，过点的直线为，此时不满足条件；
若斜率存在时，设过点的直线，即．
根据题意，可得，解得或，
当时，直线方程为，
当时，直线方程为
综上可得，直线方程为或．
故答案为：或
练习35．（2023秋·高三课时练习）在直线上求一点P，使它到点的距离为5，并求直线PM的方程.
【答案】或，对应直线PM的方程为或.
【分析】利用点在直线上和两点距离建立方程组求解点的坐标，求出斜率，代入点斜式求解直线方程.
【详解】设，由题意，解得或，
所以或，
当时，直线PM的斜率，
因此直线PM方程为，即；
当时，直线PM的斜率，
因此直线PM方程为，即.
题型八对称问题
例15．（2022秋·高三校考课时练习）已知点A（a+2，b+2）和B（b-a，-b）关于直线4x+3y=11对称，则a，b的值为（ ）.
A．a=-1，b=2B．a=4，b=-2
C．a=2，b=4D．a=4，b=2
【答案】D
【分析】利用点关于直线对称的性质即可求得结果.
【详解】点A，B关于直线对称，则，
即， ①
且AB中点在已知直线上，
代入得， ②
联立①②组成的方程组，解得，
故选：D.
例16．（2022秋·安徽六安·高三校考阶段练习）已知直线的方程为.
（1）若直线和直线关于点对称，求直线的方程__________；
（2）若直线和直线关于直线对称，求直线的方程__________.
【答案】 .
【分析】根据题意，由点关于点对称的点在直线上，列出方程即可得到结果；由题意可得直线与直线的交点，求出关于直线对称的点为，即可得到直线方程.
【详解】因为直线和直线关于点对称，
在直线上任取一点，则关于点对称的点在直线上，
将点代入直线可得，
所以直线的方程为；
设直线与直线的交点为，
所以，解得，则，
在直线上取点，设关于直线对称的点为，
则①
因为与的中点坐标为，
所以②
由①②可得，所以
因为直线和直线关于直线对称，
所以直线经过点和点，
所以直线的两点式方程为，
整理得直线的一般式方程为.
故答案为: ;.
练习36．（2023秋·上海奉贤·高三校考期末）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】利用点关于直线的对称点结合两点间的距离公式即可求解．
【详解】如图所示，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，此时路程和最小，
由题知，点满足：
，解得：，，即点，
因为，
所以“将军饮马”的最短总路程为，
故选：D
练习37．（2023春·上海闵行·高三校考阶段练习）函数的值域为__________.
【答案】
【分析】将其看作是动点到定点的距离之和，利用两点之间线段最短即可求解最小值.
【详解】原式为，即可看作是动点到定点的距离之和，
设关于轴的对称点为，连接交轴于 ，此时最小，且最小值为，故函数的值域为，
故答案为：
练习38．（2022秋·高三单元测试）已知△ABC三个顶点的坐标分别为，线段AC的垂直平分线为l.

(1)求直线l的方程;
(2)点P在直线l上运动，当|AP|+|BP|最小时，求点P的坐标.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求直线AC的斜率，再确定l的斜率，最后应用点斜式写出直线方程；
（2）应用点关于直线对称转化距离和，三点共线求出最小值，联立方程求出点的坐标.
【详解】（1）因为直线AC的斜率为，所以直线l的斜率为.
因为AC的中点为，所以直线l的方程为，即.
（2）点A与点C关于直线l对称，又点P在线段AC垂直平分线上，
所以，当点P位于直线BC与l交点处时，取最小值，则取最小值.
由得直线BC的方程为，即，
联立方程，解得，
所以点P的坐标为.
练习39．（2022秋·安徽六安·高三校考阶段练习）一条光线从点发出，经过轴反射，反射光线经过点.
(1)求反射光线所在的直线方程；
(2)求反射光线所在直线与坐标轴所围成的三角形面积的大小.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可得反射线所在直线经过点关于轴的对称点，结合题意由两点即可求解方程；
（2）分别求出直线与坐标轴的交点坐标，然后利用三角形的面积公式即可求解.
【详解】（1）光线的反射线是轴，
反射线所在直线经过点关于轴的对称点，
而直线的斜率，
可得直线的方程为，化简得.
（2）在直线中令，得，可得直线交轴于点，
在直线中，令，得，可得直线交轴于点，
所以反射光线所在直线与坐标轴所围成的三角形面积的大小.
练习40．（2023·高三课时练习）若点关于直线对称的点是，求a、b的值．
【答案】，.
【分析】根据点关于线对称的性质，结合斜率公式、中点坐标公式进行求解即可.
【详解】因为点关于直线对称的点是，
所以有，解得，.
题型一
倾斜角与斜率
题型二
直线与线段的相交关系求斜率范围
题型三
求直线的方程
题型四
直线的定点问题
题型五
直线与坐标轴围成的三角形问题
题型六
直线平行或垂直
题型七
距离公式的应用
题型八
对称问题