浙江省中考数学总复习专题提升六以平行四边形为背景的探究性问题试题

这是一份浙江省中考数学总复习专题提升六以平行四边形为背景的探究性问题试题，共9页。试卷主要包含了准备一张矩形纸片，按如图操作等内容，欢迎下载使用。

解决平行四边形和特殊平行四边形问题，一方面要充分利用图形本身的性质，另一方面转化为特殊三角形，这样便于揭示图中的数量关系．要用运动变换的思想去分析问题，揭示图中不变的图形和图形之间不变的关系．以平行四边形为背景的探究性问题是中考热点题型．
母题呈现
(2017·湖州模拟)已知：如图，在▱ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连结BE，DF.
(1)求证：△DOE≌△BOF；
(2)当∠DOE等于多少度时，四边形BFDE为菱形？请说明理由．


对点训练
1．在平面直角坐标系中，已知A(－2，1)，B(－2，－1)，O(0，0)．若以A、B、C、O为顶点的四边形为平行四边形，那么点C的坐标是____________________．
2．(2017·湖州模拟)如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠ABC＝120°，E，F分别为AD，CD上的动点，且AE＋CF＝2，则线段EF长的最小值是____________________．
第2题图
3．正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC、CD上两个动点，且始终保持AM⊥MN，当BM＝____________________cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为____________________cm2.
第3题图
4．(2015·河北)嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的，她先用尺规作出了如图的四边形ABCD，并写出了如下不完整的已知和求证．
第4题图
已知：如图，在四边形ABCD中，BC＝AD，AB＝____________________.
求证：四边形ABCD是____________________四边形．
(1)在横线上填空，以补全已知和求证；
(2)按嘉淇的想法写出证明：
(3)用文字叙述所证命题的逆命题为____________________．
5．在同一平面内，△ABC和△ABD如图1放置，其中AB＝BD.
小明做了如下操作：
将△ABC绕着边AC的中点旋转180°得到△CEA，将△ABD绕着边AD的中点旋转180°得到△DFA，如图2，请完成下列问题：
(1)试猜想四边形ABDF是什么特殊四边形，并说明理由；
(2)连结EF，CD，如图3，求证：四边形CDFE是平行四边形．

第5题图

6．准备一张矩形纸片，按如图操作：
将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．
(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；
(2)若四边形BFDE是菱形，AB＝2，求菱形BFDE的面积．

第6题图

7．(2015·绵阳模拟)如图，已知△ABC中，AB＝AC，D为△ABC所在平面内的一点，过D作DE∥AB，DF∥AC分别交直线AC、直线AB于点E、F.
(1)如图1，当点D在线段BC上时，通过观察分析线段DE、DF、AB之间的数量关系，并说明理由；
(2)如图2，当点D在直线BC上，其他条件不变时，试猜想线段DE、DF、AB之间的数量关系(请直接写出等式，不需证明)；
(3)如图3，当点D是△ABC内一点，过D作DE∥AB，DF∥AC分别交直线AC、直线AB和直线BC于E、F和G.试猜想线段DE、DF、DG与AB之间的数量关系(请直接写出等式，不需证明)．
第7题图
8.(2016·宁夏)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，动点Q从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿AB向点B移动；同时点P从点B出发，仍以每秒1个单位的速度，沿BC向点C移动，连结QP，QD，PD.若两个点同时运动的时间为x秒(0＜x≤3)，解答下列问题：
(1)设△QPD的面积为S，用含x的函数关系式表示S；当x为何值时，S有最大值？并求出最小值；
(2)是否存在x的值，使得QP⊥DP？试说明理由．

第8题图

9．(2017·舟山)如图，AM是△ABC的中线，D是线段AM上一点(不与点A重合)．DE∥AB交AC于点F，CE∥AM，连结AE.
第9题图
(1)如图1，当点D与M重合时，求证：四边形ABDE是平行四边形；
(2)如图2，当点D不与M重合时，(1)中的结论还成立吗？请说明理由；
(3)如图3，延长BD交AC于点H，若BH⊥AC，且BH＝AM.
①求∠CAM的度数；
②当FH＝eq \r(3)，DM＝4时，求DH的长．
参考答案
专题提升六 以平行四边形为背景的探究性问题
【母题呈现】
(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，OB＝OD，∴∠EDO＝∠FBO，∠OED＝∠OFB.∴△DOE≌△BOF(AAS)． (2)当∠DOE＝90°时，四边形BFDE为菱形，理由如下：∵△DOE≌△BOF，∴DE＝BF.又∵ED∥BF，∴四边形BEDF是平行四边形．∵∠DOE＝90°，∴EF⊥BD.∴▱BEDF是菱形．
【对点训练】
1．(0，－2)，(0，2)，(－4，0) 2.eq \r(3) 3.eq \f(1,2) eq \f(5,8)
4．(1)CD 平行 (2)证明：连结BD.在△ABD和△CDB中，∵AB＝CD，AD＝CB，BD＝DB，∴△ABD≌△CDB.∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴AB∥CD，AD∥CB，∴四边形ABCD是平行四边形． (3)平行四边形的两组对边分别相等
第4题图
5．(1)四边形ABDF是菱形．理由如下：∵△ABD绕着边AD的中点旋转180°得到△DFA，∴AB＝DF，BD＝FA，∵AB＝BD，∴AB＝BD＝DF＝FA，∴四边形ABDF是菱形； (2)∵四边形ABDF是菱形，∴AB∥DF，且AB＝DF，∵△ABC绕着边AC的中点旋转180°得到△CEA，∴AB＝CE，BC＝EA，∴四边形ABCE为平行四边形，∴AB∥CE，且AB＝CE，∴CE∥FD，CE＝FD，∴四边形CDFE是平行四边形．
6．(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，∴∠EBD＝∠FDB，∴EB∥DF，∵ED∥BF，∴四边形BFDE为平行四边形． (2)∵四边形BFDE为菱形，∴BE＝ED，∠EBD＝∠FBD＝∠ABE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ABE＝30°，∵∠A＝90°，AB＝2，∴AE＝eq \f(2,\r(3))＝eq \f(2\r(3),3)，BF＝BE＝2AE＝eq \f(4\r(3),3)，∴菱形BFDE的面积为：eq \f(4\r(3),3)×2＝eq \f(8\r(3),3).
7．(1)DE＋DF＝AB.理由如下：∵DE∥AB，DF∥AC，∴四边形AEDF是平行四边形，∴DE＝AF.∵DF∥AC，∴∠FDB＝∠C，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠FDB＝∠B，∴DF＝FB，∴DE＋DF＝AF＋FB＝AB； (2)当点D在直线BC上时，分三种情况：①当点D在CB延长线上时，如图1，AB＝DE－DF；②当点D在线段BC上时，同(1)，AB＝DE＋DF；③当点D在BC的延长线上时，如图2，AB＝DF－DE； (3)AB＝DE＋DF＋DG.

第7题图
8．(1)∵四边形ABCD为矩形，∴BC＝AD＝4，CD＝AB＝3，当运动x秒时，则AQ＝x，BP＝x，∴BQ＝AB－AQ＝3－x，CP＝BC－BP＝4－x，∴S△ADQ＝eq \f(1,2)AD·AQ＝eq \f(1,2)×4x＝2x，S△BPQ＝eq \f(1,2)BQ·BP＝eq \f(1,2)(3－x)x＝eq \f(3,2)x－eq \f(1,2)x2，S△PCD＝eq \f(1,2)PC·CD＝eq \f(1,2)·(4－x)·3＝6－eq \f(3,2)x，又S矩形ABCD＝AB·BC＝3×4＝12，∴S＝S矩形ABCD－S△ADQ－S△BPQ－S△PCD＝12－2x－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)x－\f(1,2)x2))－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(6－\f(3,2)x))＝eq \f(1,2)x2－2x＋6＝eq \f(1,2)(x－2)2＋4，即S＝eq \f(1,2)(x－2)2＋4，∴S为开口向上的二次函数，且对称轴为直线x＝2，∴当0＜x＜2时，S随x的增大而减小，当2＜x≤3时，S随x的增大而增大，又当x＝0时，S＝6，当x＝3时，S＝eq \f(9,2)，但x的范围内取不到x＝0，∴S不存在最大值，当x＝2时，S有最小值，最小值为4； (2)存在，理由如下：由(1)可知BQ＝3－x，BP＝x，CP＝4－x，当QP⊥DP时，则∠BPQ＋∠DPC＝∠DPC＋∠PDC，∴∠BPQ＝∠PDC，且∠B＝∠C，∴△BPQ∽△CDP，∴eq \f(BQ,PC)＝eq \f(BP,CD)，即eq \f(3－x,4－x)＝eq \f(x,3)，解得x＝eq \f(7＋\r(13),2)(舍去)或x＝eq \f(7－\r(13),2)，∴当x＝eq \f(7－\r(13),2)时，QP⊥DP.
9．(1)如图1中，∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠ABM，∵CE∥AM，∴∠ECD＝∠ADB，∵AM是△ABC的中线，且D与M重合，∴BD＝DC，∴△ABD≌△EDC，∴AB＝ED，∵AB∥ED，∴四边形ABDE是平行四边形． (2)结论：成立．理由如下：如图2中，过点M作MG∥DE交CE于G.∵CE∥AM，∴四边形DMGE是平行四边形，∴ED＝GM，且ED∥GM，由(1)可知AB＝GM，AB∥GM，∴AB∥DE，AB＝DE，∴四边形ABDE是平行四边形． (3)①如图3中，取线段HC的中点I，连结MI，∵BM＝MC，∴MI是△BHC的中位线，∴MI∥BH，MI＝eq \f(1,2)BH，∵BH⊥AC，且BH＝AM.∴MI＝eq \f(1,2)AM，MI⊥AC，∴∠CAM＝30°.
②设DH＝x，则AH＝eq \r(3)x，AD＝2x，∴AM＝4＋2x，∴BH＝4＋2x，∵四边形ABDE是平行四边形，∴DF∥AB，∴eq \f(HF,HA)＝eq \f(HD,HB)，∴eq \f(\r(3),\r(3)x)＝eq \f(x,4＋2x)，解得x＝1＋eq \r(5)或1－eq \r(5)(舍弃)，∴DH＝1＋eq \r(5).

第9题图