浙江省中考数学总复习阶段检测12开放探索问题试题

这是一份浙江省中考数学总复习阶段检测12开放探索问题试题，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．甲、乙两支同样的温度计如图所示放置，如果向左平移甲温度计，使其度数20正对着乙温度计的度数－10，那么此时甲温度计的度数－5正对着乙温度计的度数是( )
A．5 B．15 C．25 D．30
第1题图 第2题图 第3题图
2．如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60°的菱形，剪口与折痕所成的角α的度数应为( )
A．15°或30° B．30°或45° C．45°或60° D．30°或60°
3．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD＝CD，AB＝CB，詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：①AC⊥BD；②AO＝CO＝eq \f(1,2)AC；③△ABD≌△CBD，其中正确的结论有( )
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
4．对于反比例函数y＝eq \f(k,x)，如果当－2≤x≤－1时有最大值y＝4，则当x≥8时，有( )
A．最小值y＝－eq \f(1,2) B．最小值y＝－1 C．最大值y＝－eq \f(1,2) D．最大值y＝－1
5．如图，以矩形ABCD的A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于F点；再以C为圆心，CD长为半径画弧，交AB于E点．若AD＝5，CD＝eq \f(17,3)，则EF的长度为何？( )
A．2 B．3 C.eq \f(2,3) D.eq \f(7,3)

第5题图 第6题图 第7题图 第8题图
6．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为( )
A．1.2 B．1.3 C．1.4 D．2.4
7．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城．在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y(千米)与甲车行驶的时间t(小时)之间的函数关系如图所示．则下列结论：
①A，B两城相距300千米；②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时；③乙车出发后2.5小时追上甲车；④当甲、乙两车相距50千米时，t＝eq \f(5,4)或eq \f(15,4).
其中正确的结论有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，△ABC与△A′B′C′都是等腰三角形，且AB＝AC＝5，A′B′＝A′C′＝3，若∠B＋∠B′＝90°，则△ABC与△A′B′C′的面积比为( )
A．25∶9 B．5∶3 C .eq \r(5)∶eq \r(3) D．5eq \r(5)∶3eq \r(3)
9．我区A，B，C，D，E五校学生足球队参加区级足球邀请赛，五位同学对比赛结果进行了预测，每人预测两个名次如下：
甲预测：B校第2名，A校第3名； 乙预测：D校第2名，E校第4名；
丙预测：E校第1名，C校第5名； 丁预测：D校第3名，C校第4名；
戊预测：A校第2名，B校第5名．
结果表明每人都恰好猜对了一个名次，并且每一个名次都有一人猜对．则实际比赛各校足球队的名次为( )
A.

B.
C.
D.
如图，CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上(与B、C不重合)，四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连结FB，交DE于点Q，给出以下结论：
第10题图
①AC＝FG；②S△FAB∶S四边形CBFG＝1∶2；③∠ABC＝∠ABF；④AD2＝FQ·AC，
其中正确的结论的个数是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题(本大题有6小题，每小题5分，共30分)
11．如图1，折线段AOB将面积为S的⊙O分成两个扇形，大扇形、小扇形的面积分别为S1、S2，若eq \f(S1,S)＝eq \f(S2,S1)＝0.618，则称分成的小扇形为“黄金扇形”，生活中的折扇(如图2)，大致是“黄金扇形”，则“黄金扇形”的圆心角约为 °.(精确到0.1)

第11题图 第12题图 第13题图
12．在平面直角坐标系中，▱OABC的边OC落在x轴的正半轴上，且点C(4，0)，B(6，2)，直线y＝2x＋1以每秒1个单位的速度向下平移，经过 秒该直线可将▱OABC的面积平分．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是斜边上的中点，点P在AB上，PE⊥BD于E，PF⊥AC于F，若AB＝6，BC＝3，则PE＋PF＝ .
14．在平面直角坐标系中，有三条直线l1，l2，l3，它们的函数解析式分别是y＝x，y＝x＋1，y＝x＋2.在这三条直线上各有一个动点，依次为A，B，C，它们的横坐标分别为a，b，c，则当a，b，c满足条件 时，这三点不能构成△ABC.
15．如图1是一个封闭的勾股水箱，其中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ部分是可盛水的正方形，且相互连通，已知∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4.开始时Ⅲ刚好盛满水，而Ⅰ，Ⅱ无水．
(1)如图2摆放时，Ⅰ刚好盛满水，而Ⅱ无水，则Ⅲ中有水部分的面积为 ；
(2)如图3摆放时，水面刚好经过Ⅲ的中心O，则Ⅱ中有水部分的面积为 .
第15题图
如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝eq \r(3)，BO＝1，AB的垂直平分线交AB于点E，交射线BO于点F.点P从点A出发沿射线AO以每秒2eq \r(3)个单位的速度运动，同时点Q从点O出发沿OB方向以每秒1个单位的速度运动，当点Q到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动的时间为t秒．
第16题图
(1)当t＝ 时，PQ∥EF；
(2)若P、Q关于点O的对称点分别为P′、Q′，当线段P′Q′与线段EF有公共点时，t的取值范围是 .
三、解答题(本大题有8小题，第17～20题每题8分，第21题10分，第22、23题每题12分，第24题14分，共80分)
17．小航在正方形网格的格点上，用9粒围棋子摆成如图1所示图形．现请你去掉4颗棋子，使剩下的5颗棋子具有如下性质(去掉的棋子用“⊗”表示，即在棋子上加一个×)．
(1)是轴对称图形但不是中心对称图形(在图2上作答)；
(2)是中心对称图形但不是轴对称图形(在图3上作答)．
第17题图
18．如图，以△ABC的一边AB为直径的半圆与其他两边AC，BC的交点分别为D，E，且eq \(DE,\s\up8(︵))＝eq \(BE,\s\up8(︵)).
(1)试判断△ABC的形状，并说明理由；
(2)已知半圆的半径为5，BC＝12，求cs∠BAD的值．
第18题图
19．数学老师布置了这样一个问题：
如果α，β都为锐角，且tanα＝eq \f(1,3)，tanβ＝eq \f(1,2)，求α＋β的度数．
甲，乙两位同学想利用正方形网格构图来解决问题，他们分别设计了图1和图2.
(1)请你分别利用图1，图2，求出α＋β的度数，并说明理由；

第19题图
(2)请参考以上思考问题的方法，选择一种方法解决下面问题：
如果α，β都为锐角，当tanα＝5，tanβ＝eq \f(2,3)时，在图3的正方形网格中，利用已作出的锐角α，画出∠MON，使得∠MON＝α－β，求出α－β的度数，并说明理由．
如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，动点P从点A出发，在AC上以每秒5cm的速度向点C匀速运动，同时动点Q从点D出发，在DA边上以每秒4cm的速度向点A匀速运动，运动时间为t秒(0第20题图
(1)若△APQ与△ADC相似，求t的值；
(2)连结CQ，DP，若CQ⊥DP，求t的值；
(3)连结BQ，PD，请问BQ能和PD平行吗？若能，求出t的值；若不能，说明理由．
21．如图1是一架菱形风筝，它的骨架由如图2的4条竹棒AC，BD，EF，GH组成，其中E，F，G，H分别是菱形ABCD四边的中点，现有一根长为80cm的竹棒，正好锯成风筝的四条骨架，设BD＝xcm，菱形ABCD的面积为ycm2.
第21题图
(1)写出y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围；
(2)如图3，在所给的直角坐标系中画出(1)中的函数图象；
(3)为了使风筝在空中有较好的稳定性，骨架AC长度必须大于骨架BD长度且小于BD长度的两倍，现已知菱形ABCD的面积为375cm2，则骨架BD和AC的长为多少？
我们定义：有两边长度满足二倍关系的三角形叫做“倍长三角形”．
第22题图
(1)概念理解
请你根据上述定义画一个倍长三角形，并注明相关数据；
(2)问题探究
如图1，等腰△ABC是倍长三角形，点D为AC边上一动点，当DC＝eq \f(1,3)AD时，求证：△ABD是倍长三角形；
(3)应用拓展
如图2，△ABC为倍长三角形，∠ACB＝120°，AC＞BC，BC＝2，过点B作CB的垂线交∠ACB的平分线于点D，连结AD，求AD2的值．
23．如图1，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAD＝90°，点B在线段AE上，点C在线段AD上．
(1)请直接写出线段BE与线段CD的关系： ；
(2)如图2，将图1中的△ABC绕点A顺时针旋转角α(0°＜α＜360°)，
①(1)中的结论是否成立？若成立，请利用图2证明；若不成立，请说明理由；
②当AC＝eq \f(1,2)ED时，探究在△ABC旋转的过程中，是否存在这样的角α，使以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出角α的度数；若不存在，请说明理由．
第23题图
24．如图，点O为坐标原点，直线l：y＝kx＋2(k＜0)与x轴、y轴分别交于点G(m，0)，点C(0，2)，B是直线l上的一点，且点A(2，0)．
第24题图
(1)若∠GCA＝15°，m＞2，求直线l的解析式；
(2)若AB⊥BC，AB＝1，求m的值；
(3)若点B在第一象限，且AB＝AO，△OBC是等腰三角形．直接写出点B的坐标．
参考答案
阶段检测12 开放探索问题
一、1—5.BDDAA 6—10.ABACD
二、11.137.5 12.6 13.eq \f(6\r(5),5) 14.a＋c＝2b
15．(1)16 (2)eq \f(7,2) 16.(1)eq \f(3,5) (2)eq \f(2,3)≤t≤1
三、17.(1)略； (2)略．
18．(1)连结AE，∵eq \(DE,\s\up8(︵))＝eq \(BE,\s\up8(︵))，∴∠DAE＝∠BAE.∵AB为直径，∴∠AEB＝90°.即∠AEB＝∠AEC＝90°.∴∠ABC＝∠C，∴△ABC为等腰三角形． (2)由(1)知AE⊥BC.E为BC中点，∴BE＝eq \f(1,2)BC＝eq \f(1,2)×12＝6.∵AB＝10.∴AE＝eq \r(102－62)＝8.∵BC·AE＝AC·BD.∴BD＝eq \f(BC·AE,AC).∵∠ABC＝∠C，∴AC＝AB＝10.∴BD＝eq \f(12×8,10)＝eq \f(48,5).∴AD＝eq \r(102－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(48,5)))\s\up12(2))＝eq \f(14,5).∴cs∠BAD＝eq \f(AD,AB)＝eq \f(\f(14,5),10)＝eq \f(7,25).
19．(1)如图1，α＋β＝45°.理由如下：连结BC，则BC＝AC＝eq \r(5).∵△AGC≌△CFB.∴∠ACG＝∠CBF.∵∠CBF＋∠BCF＝90°.∴∠ACG＋∠BCF＝90°.∴∠ACB＝90°，∴△ACB为等腰直角三角形，∴∠BAC＝α＋β＝45°.如图2，α＋β＝45°.理由如下．如图2，连结AF，BE，则AF＝eq \r(2)，FB＝2，AB＝eq \r(10)，CE＝1，BE＝eq \r(2)，BC＝eq \r(5).∴eq \f(CE,AF)＝eq \f(BE,FB)＝eq \f(BC,AB).∴△CEB∽△AFB，∴∠FAB＝∠BCD＝β，∵∠FAC＝45°，∴α＋β＝45°. (2)如图3，∠MOC＝α，∠NOC＝β，∴∠MON＝α－β.连结MN，则MN＝eq \r(22＋32)＝eq \r(13).NO＝eq \r(22＋32)＝eq \r(13).∴MN＝ON.∵△MDN≌△NCO，∴∠DMN＝∠ONC.∵∠MND＋∠NMD＝90°，∴∠MND＋∠ONC＝90°，即∠MNO＝90°，∴△MNO为等腰直角三角形，∴∠MON＝45°，即α－β＝45°.
第19题图
20.(1)①△APQ∽△ADC时，有eq \f(AP,AD)＝eq \f(AQ,AC).∵AB＝6cm，BC＝8cm，∴AC＝10cm.由题意得：AP＝5tcm，AD＝8cm，AQ＝(8－4t)cm，∴eq \f(5t,8)＝eq \f(8－4t,10)，∴t＝eq \f(32,41)；②△APQ∽△ACD时，有eq \f(AP,AC)＝eq \f(AQ,AD)，则eq \f(5t,10)＝eq \f(8－4t,8)，∴t＝1.∴若△APQ与△ADC相似，则t＝1或t＝eq \f(32,41) .(2)如图，过P作PE⊥AD.∵△APE∽△ACD.∴AP＝5t，AE＝4t，PE＝3t，则ED＝8－4t.∵CQ⊥PD，∠ADC＝90°.∴∠EDP＋∠PDC＝90°，∠PDC＋∠DCQ＝90°，∴∠EDP＝∠DCQ.∵∠PED＝∠ADC＝90°，∴△PED∽△QDC，∴eq \f(PE,QD)＝eq \f(ED,DC).∴eq \f(3t,4t)＝eq \f(8－4t,6)，∴t＝eq \f(7,8).∴若CQ⊥PD，则t＝eq \f(7,8). (3)如图，若BQ∥PD，则可证△AGB≌△CPD，∵PC＝10－5t，∴AG＝10－5t，∵QB∥PD，∴△AGQ∽△APD，∴eq \f(AG,AP)＝eq \f(AQ,AD)，即eq \f(10－5t,5t)＝eq \f(8－4t,8)，得(t－2)2＝0，t＝2.这与0
第20题图
21.(1)∵E，F为AB，AD中点，∴EF＝eq \f(1,2)BD＝eq \f(1,2)x，同理GH＝eq \f(1,2)BD＝eq \f(1,2)x.∵四边形ABCD是菱形，∴y＝eq \f(1,2)x(80－2x)＝－x2＋40x，∴自变量x的取值范围是：0第21题图
22．(1)答案不唯一，只要满足二倍关系即可． (2)∵等腰△ABC是倍长三角形，∴AB＝AC＝2BC，∵DC＝eq \f(1,3)AD，∴eq \f(DC,BC)＝eq \f(BC,AC)＝eq \f(1,2)，∠C＝∠C，∴△DCB∽△BCA，∴eq \f(BD,AB)＝eq \f(1,2)，∴△ABD是倍长三角形． (3)∵∠ACB＝120°，∴AB＞AC＞BC，需讨论①AC＝2BC；②AB＝2BC；③AB＝2AC.①AC＝2BC＝4，如图1，作DE⊥AC于点E，易证△ECD≌△BCD，∴CE＝CB＝2，∠ECD＝∠BCD＝60°，∴易得△ADC为等边三角形，即AD＝4，AD2＝16.②AB＝2BC＝4，如图2，作DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，易证△ECD≌△BCD，∴CE＝CB＝2，∠ECD＝∠BCD＝60°，∴DE＝2eq \r(3)，在直角△BCF中，CF＝1，BF＝eq \r(3)，在直角△ABF中，AB2＝BF2＋AF2，解得AF＝eq \r(13).∴AE＝eq \r(13)－3，在直角△AED中，AD2＝AE2＋DE2＝(eq \r(13)－3)2＋(2eq \r(3))2＝34－6eq \r(13).③AB＝2AC.∵AB＞AC＞BC，∴AC＋BC＜2AC，即AC＋BC＜AB，∴不符合题意，舍去，∴AD2＝16或34－6eq \r(13).
第22题图
23．(1)BE＝CD (2)①成立，理由如下：∵△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAD＝90°，∴AB＝AC，AE＝AD，由旋转的性质可得∠BAE＝∠CAD，在△BAE与△CAD中，∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，AE＝AD，∴△BAE≌△CAD(SAS)，∴BE＝CD； ②存在，α＝45°或225°.∵以A、B、C、D四点为顶点的四边形是平行四边形，∴∠ABC＝∠ADC＝45°，∵AC＝eq \f(1,2)ED，∴∠CAD＝45°，或360°－90°－45°＝225°，∴角α的度数是45°或225°.
第23题图
(1)∵∠GCA＝15°，m＞2，∴∠GCO＝60°，Rt△GOC中，CO＝2，∴OG＝2eq \r(3)，∴G(2eq \r(3)，0)，∴k＝－eq \f(\r(3),3)，∴y＝－eq \f(\r(3),3)x＋2. (2)①m＞2时，如图1，Rt△GOC∽Rt△GBA，∵AB＝1，OC＝2，AG＝m－2，∴4＋m2＝(2m－4)2，∴3m2－16m＋12＝0，∴3(m－eq \f(8,3))2＝eq \f(28,3)，∴m＝eq \f(8±2\r(7),3)，∴m＝eq \f(8＋2\r(7),3)(m＞2)；②0
第24题图
学校
A
B
C
D
E
名次
1
4
3
5
2
学校
A
B
C
D
E
名次
5
3
4
1
2
学校
A
B
C
D
E
名次
3
5
4
2
1
学校
A
B
C
D
E
名次
3
5
2
4
1