浙江省中考数学总复习专题提升十以直角三角形为背景的测量问题试题

这是一份浙江省中考数学总复习专题提升十以直角三角形为背景的测量问题试题，共8页。试卷主要包含了3～5，1小时)．≈1，7，eq \r≈1，∴∠CAO′＝30°等内容，欢迎下载使用。

解决此类问题，首先要弄清问题中相关的术语及关系，再画出图形，构造直角三角形，将实际问题或斜三角形转化为解直角三角形问题，再利用边与角之间的关系来解决问题．
母题呈现
(2015·嘉兴)小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在的水平线的夹角为120°时，感觉最舒适(如图1)，侧面示意图为图2；使用时为了散热，她在底板下垫入散热架ACO′后，电脑转到AO′B′位置(如图3)，侧面示意图为图4.已知OA＝OB＝24cm，O′C⊥OA于点C，O′C＝12cm.
(1)求∠CAO′的度数；
(2)显示屏的顶部B′比原来升高了多少？
(3)如图4，垫入散热架后，要使显示屏O′B′与水平线的夹角仍保持120°，则显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转多少度？



对点训练
1．(2015·绵阳)如图，要在宽为22米的九洲大道AB两边安装路灯，路灯的灯臂CD长2米，且与灯柱BC成120°角，路灯采用圆锥形灯罩，灯罩的轴线DO与灯臂CD垂直．当灯罩的轴线DO通过公路路面的中心线时照明效果最佳，此时，路灯的灯柱BC的高度应设计为( )
A．(11－2eq \r(2))米 B．(11eq \r(3)－2eq \r(2))米
C．(11－2eq \r(3))米 D．(11eq \r(3)－4)米
第1题图
2．(2015·潍坊)观光塔是潍坊市的标志性建筑，为测量其高度，如图，一人先在附近一楼房的底端A点处观测观光塔顶端C处的仰角是60°，然后爬到该楼房顶端B点处观测观光塔底部D处的俯角是30°，已知楼房高AB约是45m，根据以上观测数据可求观光塔的高CD是 m.
第2题图
3．如图，在山坡上植树，已知山坡的倾斜角α是20°，小明种植的两棵树间的坡面距离AB是6米，要求相邻两棵树间的水平距离AC在5.3～5.7米范围内，问小明种植的这两棵树是否符合这个要求？(参考数据：sin20°≈0.34，cs20°≈0.94，tan20°≈0.36)

第3题图
4．如图，一艘渔船位于小岛M的北偏东45°方向、距离小岛180海里的A处，渔船从A处沿正南方向航行一段距离后，到达位于小岛南偏东60°方向的B处．
(1)求渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最小距离(结果用根号表示)；
(2)若渔船以20海里/小时的速度从B沿BM方向行驶，求渔船从B到达小岛M的航行时间(结果精确到0.1小时)．(参考数据：eq \r(2)≈1.41，eq \r(3)≈1.73，eq \r(6)≈2.45)


第4题图
5．(2017·海南)为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是：水坝加高2米(即CD＝2米)，背水坡DE的坡度i＝1∶1(即DB∶EB＝1∶1)，如图所示，已知AE＝4米，∠EAC＝130°，求水坝原来的高度BC.
(参考数据：sin50°≈0.77，cs50°≈0.64，tan50°≈1.2)

第5题图

6．(2015·绍兴)如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°.
(1)求∠BPQ的度数；
(2)求该电线杆PQ的高度(结果精确到1m)．(备用数据：eq \r(3)≈1.7，eq \r(2)≈1.4)

第6题图

7．(2015·云南)为解决江北学校学生上学过河难的问题，乡政府决定修建一座桥，建桥过程中需测量河的宽度(即两平行河岸AB与MN之间的距离)．在测量时，选定河对岸MN上的点C处为桥的一端，在河岸点A处，测得∠CAB＝30°，沿河岸AB前行30米后到达B处，在B处测得∠CBA＝60°，请你根据以上测量数据求出河的宽度．(参考数据：eq \r(2)≈1.41，eq \r(3)≈1.73，结果保留整数)

第7题图

8．如图1是一张折叠椅子，图2是其侧面示意图，已知椅子折叠时长1.2米，椅子展开后最大张角∠CBD＝37°，且BD＝BC，AB∶BG∶GC＝1∶2∶3，座面EF与地面平行，当展开角最大时，请解答下列问题：
(1)求∠CGF的度数；
(2)求座面EF与地面之间的距离．(可用计算器计算，结果保留两个有效数字，参考数据：sin71.5°≈0.948，cs71.5°≈0.317，tan71.5°≈2.989)

第8题图
9.(2017·达州)如图，信号塔PQ坐落在坡度i＝1∶2的山坡上，其正前方直立着一警示牌．当太阳光线与水平线成60°角时，测得信号塔PQ落在斜坡上的影子QN长为2eq \r(5)米，落在警示牌上的影子MN长为3米，求信号塔PQ的高．(结果不取近似值)

第9题图

10．(2016·漳州)如图是将一正方体货物沿坡面AB装进汽车货厢的平面示意图．已知长方体货厢的高度BC为eq \r(5)米，tanA＝eq \f(1,3)，现把图中的货物继续往前平移，当货物顶点D与C重合时，仍可把货物放平装进货厢，求BD的长．(结果保留根号)

第10题图
参考答案
专题提升十 以直角三角形为背景的测量问题
【母题呈现】
(1)∵O′C⊥OA于点C，OA＝OB＝24，O′C＝12，∴sin∠CAO′＝eq \f(O′C,O′A)＝eq \f(O′C,OA)＝eq \f(12,24)＝eq \f(1,2).∴∠CAO′＝30°.
(2)如图，过点B作BD⊥AO交AO的延长线于点D.∵sin∠BOD＝eq \f(BD,OB)，∴BD＝OB·sin∠BOD.∵∠AOB＝120°，∴∠BOD＝60°.∴BD＝OB·sin∠BOD＝24×eq \f(\r(3),2)＝12eq \r(3).∴显示屏的顶部B′比原来升高了(36－12eq \r(3))cm. (3)显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°.理由如下：如图，电脑显示屏O′B′绕点O′按顺时针方向旋转α度至O′E处，O′F∥OA.∵电脑显示屏O′B′与水平线的夹角仍保持120°，∴∠EO′F＝120°.∴∠FO′A＝∠CAO′＝30°.∵∠AO′B′＝120°.∴∠EO′B′＝∠FO′A＝30°，即α＝30°.∴显示屏O′B′应绕点O′按顺时针方向旋转30°.
【对点训练】1.D 2.135
3．AB＝6米，∠A＝20°，∴AC＝AB·cs∠A≈6×0.94＝5.64米，∴符合要求．
4．(1)90eq \r(2)海里； (2)MB＝60eq \r(6)海里，∴60eq \r(6)÷20≈7.4(小时)，∴渔船从B到达小岛M的航行时间约为7.4小时．
5．设BC＝x米，在Rt△ABC中，∠CAB＝180°－∠EAC＝50°，AB＝eq \f(BC,tan50°)≈eq \f(BC,1.2)＝eq \f(5BC,6)＝eq \f(5,6)x米，在Rt△EBD中，∵i＝DB∶EB＝1∶1，∴BD＝BE，∴CD＋BC＝AE＋AB，即2＋x＝4＋eq \f(5,6)x，解得x＝12，即BC＝12米，答：水坝原来的高度为12米．
6．如图，延长PQ交直线AB于点C，(1)∵在B点测得端点P点的仰角是60°，即∠PBC＝60°，∴∠BPQ＝90°－∠PBC＝90°－60°＝30°. (2)设PQ＝x，则QB＝QP＝x，在△BCQ中，BC＝x·cs30°＝eq \f(\r(3),2)x，QC＝eq \f(1,2)x，在△ACP中，CA＝CP，∴6＋eq \f(\r(3),2)x＝eq \f(1,2)x＋x，解得x＝2eq \r(3)＋6.∴PQ＝2eq \r(3)＋6≈9，即该电线杆PQ的高度约为9m.
第6题图
如图，过点C作CD⊥AB于点D，设CD＝x，∵在直角△ACD中，∠CAD＝30°，∴AD＝eq \f(CD,tan30°)＝eq \r(3)x.同理，在直角△BCD中，BD＝eq \f(CD,tan60°)＝eq \f(\r(3),3)x，又∵AB＝30，∴AD＋BD＝30，即eq \r(3)x＋eq \f(\r(3),3)x＝30.解得x≈13.答：河的宽度为13米．
第7题图
8．(1)∠CGF＝71.5° (2)0.57m
如图，作MF⊥PQ于F，QE⊥MN于E，则四边形EMFQ是矩形．在Rt△QEN中，设EN＝x，则EQ＝2x，∵QN2＝EN2＋QE2，∴20＝5x2，∵x＞0，∴x＝2，∴EN＝2，EQ＝MF＝4，∵MN＝3，∴FQ＝EM＝1，在Rt△PFM中，PF＝FM·tan60°＝4eq \r(3)，∴PQ＝PF＋FQ＝(4eq \r(3)＋1)米．

第9题图 第10题图
10．如图，点D与点C重合时，B′C＝BD，∠B′CB＝∠CBD＝∠A，∵tanA＝eq \f(1,3)，∴tan∠BCB′＝eq \f(BB′,B′C)＝eq \f(1,3)，∴设B′B＝x米，则B′C＝3x米，在Rt△B′CB中，B′B2＋B′C2＝BC2，即：x2＋(3x)2＝(eq \r(5))2，x＝eq \f(\r(2),2)(负值舍去)，∴BD＝B′C＝eq \f(3\r(2),2)米．