浙江省中考数学总复习第七章数学思想与开放探索问题第41讲课本题改编型问题讲解篇

这是一份浙江省中考数学总复习第七章数学思想与开放探索问题第41讲课本题改编型问题讲解篇，共10页。

类型一 以题改题－情景不变，内容改变
eq \a\vs4\al(例1) 课本的作业题中有这样一道题：把一张顶角为36°的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形，你能办到吗？请画示意图说明剪法．
我们有多少种剪法，图1是其中的一种方法：
定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线．
(1)请你在图2中用两种不同的方法画出顶角为45°的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；(若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种)
(2)△ABC中，∠B＝30°，AD和DE是△ABC的三分线，点D在BC边上，点E在AC边上，且AD＝BD，DE＝CE，设∠C＝x°，试画出示意图，并求出x所有可能的值；
(3)如图3，△ABC中，AC＝2，BC＝3，∠C＝2∠B，请画出△ABC的三分线，并求出三分线的长．
【解后感悟】本题的母题在浙教版教材八上第63页探究活动．问题通过课本题再赋予新的定义，进行了类比探究，丰富问题内含．考查了学生学习的理解能力及动手创新能力，知识方面重点考查三角形内角、外角间的关系及等腰三角形知识，是一道体现能力的题目．
(浙教版教材八上，第86页第16题)
1．已知△ABC中，AB＝AC，点E、F分别是直线BC，AC上的点，直线AE、BF相交于点P，且CF＝k·BE，∠BAC＝α.
(1)若点E、F分别是边BC，CA上的点．
①如图1，k＝1，α＝60°，求∠APF的度数；
②如图2，k＝eq \r(3)，α＝120°，求∠APF的度数；
(2)如图3，若点E在边BC上，点F在CA的延长线上，k＝eq \r(3)，α＝120°，求∠APF的度数．

类型二 以题生题－借助习题，拓展问题
eq \a\vs4\al(例2) (2015·温州)各顶点都在方格纸格点(横竖格子线的交错点)上的多边形称为格点多边形．如何计算它的面积？奥地利数学家皮克(G.Pick，1859～1942)证明了格点多边形的面积公式：S＝a＋eq \f(1,2)b－1，其中a表示多边形内部的格点数，b表示多边形边界上的格点数，S表示多边形的面积．如图，a＝4，b＝6，S＝4＋eq \f(1,2)×6－1＝6.
(1)请在图1中画一个格点正方形，使它内部只含有4个格点，并写出它的面积；
(2)请在图2中画一个格点三角形，使它的面积为eq \f(7,2)，且每条边上除顶点外无其他格点．
【解后感悟】本题的母题在浙教版教材八下第103页课题学习．本题是应用与设计作图，关键是理解皮克公式，根据题意求出a、b的值．
(浙教版教材八下，第132页第11题)
2．(2017·湖州)已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O.
(1)如图1，E，G分别是OB，OC上的点，CE与DG的延长线相交于点F.若DF⊥CE，求证：OE＝OG；
(2)如图2，H是BC上的点，过点H作EH⊥BC，交线段OB于点E，连结DH交CE于点F，交OC于点G.若OE＝OG，
①求证：∠ODG＝∠OCE；
②当AB＝1时，求HC的长．

类型三 借景编题－利用材料，设置问题
eq \a\vs4\al(例3) 如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m，已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y＝－eq \f(1,9)(x－6)2＋4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是________________________________________________________________________．
【解后感悟】本题的母题在浙教版教材九上第17页探究活动．此题主要考查了二次函数的应用，利用顶点式求出函数解析式是解题关键．
(浙教版教材九下，第10页第5题)
3．(2015·衢州)如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条60cm长的绑绳EF，tanα＝eq \f(5,2)，则“人字梯”的顶端离地面的高度AD是( )
A．144cm B．180cm C．240cm D．360cm
类型四 多题联题－利用习题，组合编题
eq \a\vs4\al(例4) 已知甲、乙两地相距90km，A，B两人沿同一公路从甲地出发到乙地，A骑摩托车，B骑电动车，图中DE，OC分别表示A，B离开甲地的路程s(km)与时间t(h)的函数关系的图象，根据图象解答下列问题．
(1)A比B后出发几个小时？B的速度是多少？
(2)在B出发后几小时，两人相遇？
【解后感悟】本题的母题在浙教版教材八上第166页第2题和第165页例2.本题考查利用一次函数的图象解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，准确识图并获取信息是解题的关键．
(浙教版教材九上，第149页第5题和第136页第6题)
4．锐角△ABC中，BC＝6，S△ABC＝12，两动点M、N分别在边AB、AC上滑动，且MN∥BC，以MN为边向下作正方形MPQN，设其边长为x，正方形MPQN与△ABC公共部分的面积为y(y ＞0)，当x ＝ ，公共部分面积y最大，y最大值 ＝ .
类型五 以题换题－结构不变，情景改变
eq \a\vs4\al(例5) (2016·绍兴)课本中有一个例题：有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？
这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m时，透光面积最大值约为1.05m2.
我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为6m，利用图3，解答下列问题：
(1)若AB为1m，求此时窗户的透光面积？
(2)与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．
【解后感悟】本题的母题在浙教版教材九上第24页例1.此题主要通过例题的方法去解决新问题，正确表示出函数解析式是解题关键．
(浙教版教材九下，第23页第5题；浙教版教材九上，第148页第2题)
5．如图是一只球沿着斜面向下运动的截面图，球的半径为0.24m，接触点为B，BC＝6m，斜面坡角为α＝20°，求球最高点A离地面的距离AH. (精确到0.1m)
(参考数据：sin20°≈0.34，cs20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin70°≈0.94，cs70°≈0.34，tan70°≈2.75)
【课本改变题】教材母题－－浙教版教材八下，第127页第4题
提出问题：
(1)如图1，在正方形ABCD中，点E，H分别在BC，AB上，若AE⊥DH于点O，求证：AE＝DH；
类比探究：
(2)如图2，在正方形ABCD中，点H，E，G，F分别在AB，BC，CD，DA上，若EF⊥HG于点O，探究线段EF与HG的数量关系，并说明理由；
综合运用：
在(2)问条件下，HF∥GE，如图3所示，已知BE＝EC＝2，EO＝2FO，求图中阴影部分的面积．
【方法与对策】本题通过课本题逐步深化，借助课本题模型联系前后知识和方法设置问题，绍兴市中考对该课本题也改编过．本题考查了三角形的综合知识．用到全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等综合性较强，难度较大．这是中考课本题改编题的常用题型．
【求最值时，忽视自变量的取值范围】
某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．
(1)不妨设该种品牌玩具的销售单价为x元(x＞40)，请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得的利润w元，并把结果填写在表格中：
(2)在(1)问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元；
(3)在(1)问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？
第41讲 课本题改编型问题
【例题精析】
例1 (1)如图2作图． (2)如图3 ①、②作△ABC.①当AD＝AE时，∵2x＋x＝30＋30，∴x＝20.②当AD＝DE时，∵30＋30＋2x＋x＝180，∴x＝40. (3)如图4，CD、AE就是所求的三分线．设∠B＝α，则∠DCB＝∠DCA＝∠EAC＝α，∠ADE＝∠AED＝2α，此时△AEC∽△BDC，△ACD∽△ABC，设AE＝AD＝x，BD＝CD＝y，∵△AEC∽△BDC，∴x∶y＝2∶3，∵△ACD∽△ABC，∴2∶x＝(x＋y)∶2，所以联立得方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x∶y＝2∶3，,2∶x＝（x＋y）∶2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(2,5)\r(10)，,y＝\f(3,5)\r(10)，))即三分线长分别是eq \f(2,5)eq \r(10)和eq \f(3,5)eq \r(10).

例2 (1)画法不唯一，如答图1或2. (2)画法不唯一，如答图3或4.
例3 由题意可得出：y＝a(x＋6)2＋4，将(－12，0)代入得出，0＝a(－12＋6)2＋4，解得：a＝－eq \f(1,9)，∴选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是：y＝－eq \f(1,9)(x＋6)2＋4.故答案为：y＝－eq \f(1,9)(x＋6)2＋4.
例4 (1)由图可知，A比B后出发1小时；B的速度：60÷3＝20(km/h)；(2)由图可知点D(1，0)，C(3，60)，E(3，90)，设OC的解析式为s＝kt，则3k＝60，解得k＝20，所以s＝20t，设DE的解析式为s＝mt＋n，则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＋n＝0，,3m＋n＝90，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝45，,n＝－45，))所以s＝45t－45，由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(s＝20t，,s＝45t－45，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(t＝\f(9,5)，,s＝36，))所以，B出发eq \f(9,5)小时后两人相遇．
例5 (1)由已知可得：AD＝eq \f(6－1－1－1－\f(1,2),2)＝eq \f(5,4)m，则S＝1×eq \f(5,4)＝eq \f(5,4)m2， (2)设AB＝xm，则AD＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3－\f(7,4)x))m，∵3－eq \f(7,4)x>0，∴0