福建省福州市闽侯县第一中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷(含答案)

这是一份福建省福州市闽侯县第一中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试卷(含答案)，共14页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．函数的零点是( )
A.B.C.2D.4
2．下列说法错误的是( )
A.B.、是单位向量，则
C.两个相同的向量的模相等D.单位向量均相等
3．已知向量，，若，则( )
A.-1B.6C.-6D.2
4．( )
A.B.C.D.
5．在中，若，，，则( )
A.25B.5C.4D.
6．若，，则( )
A.B.C.D.
7．函数的值域为( )
A.B.C.D.
8．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的形状为( )
A.直角三角形B.等腰非等边三角形
C.等边三角形D.钝角三角形
二、多项选择题
9．下列化简正确的是( )
A.
B.
C.
D.
10．设，是两个非零向量，则下列描述错误的有( )
A.若，则存在实数，使得.
B.若，则.
C.若，则，反向.
D.若，则，一定同向
11．函数，则下列选项正确的是( )
A.的最小正周期为
B.的一个对称中心为
C.的最大值为
D.的一条对称轴为
12．已知函数，则( )
A.函数有两个不同的零点
B.函数在上单调递增
C.当时，若在上的最大值为8，则
D.当时，若在上的最大值为8，则
三、填空题
13．设点，，.若，则mn的值为________.
14．求值：__________.
15．已知，，与的夹角为，，则与的夹角为___________.
四、双空题
16．已知，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，的角平分线交于点D.若，则__________，的取值范围是___________.
五、解答题
17．已知向量，，.
(1)求
(2)若，求实数k的值.
18．如图，在中，，.设，.
(1)用，表示，；
(2)若P为内部一点，且.求证：M，P，N三点共线.
19．化简求值
(1)已知，，求的值
(2)已知，，且，.求
20．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且.
(1)求角B的值；
(2)若，且的面积为，求BC边上的中线AM的长.
21．已知函数，.
(1)当时，求函数的单调递增区间；
(2)将函数的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数为.若关于x的方程在区间上有两个不相等的实根，求实数m的取值范围.
22．已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数.
(1)记向量的相伴函数为，若当且时，求的值；
(2)已知，，为的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得，若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由.
参考答案
1．答案：C
解析：由得，，
所以函数的零点是2，
故选：C.
2．答案：D
解析：A.向量向量的模相等，所以，故A正确；
B.单位向量的模为1，所以，故B正确；
C.相同向量的模相等，故C正确；
D.模相等，方向相同的向量是相等向量，单位向量的模相等，向量的方向不一定相同，故D错误.
故选：D.
3．答案：B
解析：向量，，则，
由，得，解得.
故选：B.
4．答案：A
解析：
.
故选：A.
5．答案：B
解析：在中，若，，，
由余弦定理得.
故选：B.
6．答案：C
解析：，故，又，，
，
故选：C.
7．答案：C
解析：，
因为，所以.即值域为，
故选：C.
8．答案：A
解析：由题意得：，即，
故，
因为，所以，
故，即
因为，所以，
即，故，
故，故，
所以为直角三角形.
故选：A.
9．答案：AC
解析：A选项，，即，
化简得：，A正确；
B选项，，B错误；
C选项，，C正确；
D选项，，D错误.
故选：AC.
10．答案：ACD
解析：对于选项A：当，由向量加法的意义知，方向相反且，
则存在实数，使得，故选项A错误；
对于选项B：当，则以，为邻边的平行四边形为矩形，且和是这个矩形的两条对角线长，
则，故选项B正确；
对于选项C：当，由向量加法的意义知，方向相同，故选项C错误；
对于选项D：当时，则，同向或反向，故选项D错误；
综上所述：选项ACD错误，
故选：ACD.
11．答案：ACD
解析：
对于A：的最小正周期为，故选项A正确；
对于B：令，可得，所以不是的对称中心，故选项B不正确；
对于C：当时，取得最大值为，故选项C正确；
对于D：令，可得，所以是函数的对称轴，故选项D正确；
故选：ACD.
12．答案：ACD
解析：因为二次函数对应的一元二次方程的判别式
，
所以函数有两个不同的零点，A正确；
因为二次函数图象的对称轴为，且图象开口向上，
所以在上单调递增，B不正确；
令，则.
当时，，故在上先减后增，
又，故最大值为，
解得(负值舍去).
同理当时，，在上的最大值为，
解得(负值舍去).
故C，D正确.
故选：ACD.
13．答案：15
解析：，，；
；
；
解得；
.
故答案为：15.
14．答案：
解析：解：
故答案为：.
15．答案：
解析：由得：
即：
又
即：
本题正确结果：.
16．答案：①.2
②.
解析：由正弦定理得：，又，；
为的角平分线，设，则；
，即，
；
由余弦定理知：，
，；
(当且仅当时取等号)，，即，
又，，，
即的取值范围为.故答案为：；.
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为，，,
所以
(2)，，
因，
所以，
解得.
18．答案：(1)，
(2)证明见解析
解析：(1)由题图，，
.
(2)由，
又，所以，故M，P，N三点共线.
19．答案：(1)
(2)
解析：(1)由得，
因为，所以，，
故.
(2)因为，，所以，
所以，
所以
因为，所以.
20．答案：(1)
(2)
解析：(1)因为
由正弦定理得
所以，或
又因为，则，故
故答案为：
(2)由(1)知，又，所以，，则，所以.
又，所以，
在中，，
由余弦定理得，
所以.
故答案为：.
21．答案：(1)和
(2)或.
解析：(1)
，
令，
得，
又因为，
所以的单调递增区间为和.
(2)将的图象向左平移个单位后，得，
又因为，则，
的函数值从0递增到1，又从1递减回0.
令，则，
依题意得在上仅有一个实根.
令，因为，
则需或，
解得或.
22．答案：(1)
(2)存在点
解析：(1)向量的伴随函数为，
则，所以，
又，所以，所以，
故；
(2)，
相伴特征向量为，
故，则，
，
设，，，
故，，
，故，
即，，
，，
故，又，
当且仅当时，和同时等于，等式成立，
故在图像上存在点，使得.