河南省南阳市六校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(含答案)

这是一份河南省南阳市六校2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷(含答案)，共11页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．曲线在点处的切线的斜率为( )
A.-2B.-1C.1D.2
2．已知数列的首项，当时，，若，则m的值可以是( )
A.2022B.2023C.2024D.2025
3．下列求导错误的是( )
A.B.
C.D.
4．具有线性相关关系的变量x，y的样本数据如下：
其回归直线方程为，则回归直线经过( )
A.第一、二、三象限B.第二、三、四象限
C.第一、二、四象限D.第一、三、四象限
5．在数列中，若，则( )
A.1012B.1013C.2023D.2024
6．已知数列满足，，其前项和为，若，则( )
A.8B.9C.10D.11
7．设点到直线的距离为d，则“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
8．已知，在数列的每相邻两项与之间插人个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记新数列的前项和为，则( )
A.150B.151C.170D.171
二、多项选择题
9．下列结论中正确的是( )
A.由样本数据得到的回归直线必过点
B.样本相关系数越大，两个变量的线性相关程度越强，反之，线性相关程度越弱
C.若变量y与之间的相关系数，则y与正相关
D.若样本数据的对应样本点都在直线上，则这组样本数据的相关系数为-1
10．已知是等差数列，是其前项和，则下列结论中正确的是( )
A.若，，则
B.若，则
C.若，，则
D.若和都为递增数列，则
11．已知直线l与曲线和都相切，切点分别为，则( )
A.B.
C.满足条件的直线l有2条D.满足条件的直线l只有1条
三、填空题
12．已知等比数列的前项和为，且，，则_______.
13．已知变量和y之间的关系可以用模型来拟合.设，若根据样本数据计算可得，，且与的线性回归方程为，则_______.(参考数据：，)
14．ChatGPT爆火以来，各种人工智能平台如雨后春笋般层出不穷.某人工智能服务商提供了A，B两种会员服务套餐，购买会员服务的既有个人用户也有公司用户.后台随机调取m名会员的基本信息，统计发现购买B套餐的用户数占总用户数的，购买B套餐的用户中公司用户数是个人用户数的倍，购买A套餐的用户中公司用户数是个人用户数的一半.根据独立性检验，有的把握认为购买的套餐类型与用户类型有关系，则m的最小值为_______.(参考公式及数据见18题)
四、解答题
15．(I)若函数有三个零点1，2，4，求；
(II)若曲线在点处的切线方程为，求实数p和q的值.
16．某运动服饰公司对产品研发的年投资额(单位：十万元)与年销售量y(单位：万件)的数据进行统计，整理后得到如下统计表：
(I)求和y的样本相关系数(精确到0.01)，并推断和y的线性相关程度；(若，则线性相关程度很强；若，则线性相关程度一般；若，则线性相关程度很弱)
(II)求年销售量y关于年投资额的回归直线方程，并据此预测年投资额为60万元时的年销售量.
参考数据：，，.
参考公式：相关系数；
回归直线方程中，.
17．已知数列的前项和为，，且为等差数列.
(I)证明：为等差数列；
(II)若，数列满足，且，求数列的前项和.
18．“村BA”是由贵州省台盘村“六月六”吃新节篮球赛发展而来的赛事，比赛由村民组织，参赛者以村民为主，极具乡村气息.某学校为了研究不同性别的学生对该赛事的了解情况，进行了一次抽样调查，分别随机抽取男生和女生各80名作为样本，设事件“了解村BA”，“学生为女生”，据统计.
(I)根据已知条件，作出列联表，并判断是否有的把握认为该校学生对“村”的了解情况与性别有关；
(II)现从该校不了解“村BA”的学生中，采用分层随机抽样的方法抽取10名学生，再从这10名学生中随机抽取4人，设抽取的4人中男生的人数为X，求X的分布列和数学期望.
附：，.
19．记数列的前项和为，已知，且.
(I)令，求数列的通项公式；
(II)若对于任意的,恒成立，求实数的取值范围.
参考答案
1．答案：B
解析：因为，所以.
2．答案：C
解析：，，，，故数列的周期为3，因为，所以，m可以为2024.
3．答案：D
解析：对于A，，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误.
4．答案：A
解析：由表中的数据知x，y正相关.所以，又，，即点在回归直线上，且在第二象限，
所以回归直线经过第一、二、三象限.
5．答案：B
解析：因为，所以，所以，所以是常数列，所以，又，所以.
6．答案：C
解析：因为，所以，所以数列是以2为公比的等比数列，又因为，所以，所以，即，所以.由题意可得，解得.
7．答案：A
解析：设直线与曲线相切于点，则可得，得，所以点到直线的距离最小，且最小值为，又因为，所以曲线上到直线的距离为的点有两个，其中一个为，故选A.
8．答案：C
解析：由题意知，之间插入1个1，，之间插人2个1，，之间插人4个1，，之间插入8个1，，之间插入16个1，，之间插入32个1，，之间插入64个1，由于，，故数列的前100项含有的前7项和93个1，故.
9．答案：ACD
解析：对于A，回归直线必过点，故A正确；
对于B，越接近1，两个变量的线性相关程度越强，越接近0，线性相关程度越弱，故B错误；
对于C，若变量y与之间的相关系数，则y与正相关，故C正确；
对于D，样本数据的对应样本点都在直线上，说明是负相关且为线性函数，所以这组样本数据的相关系数为-1，故D正确.
10．答案：BC
解析：对于A，，则，故A错误；对于B，，故B正确；
对于C，，所以，又因为，所以，所以，故C正确；对于D，因为为递增数列，所以其公差，因为为递增数列，所以，所以对任意的，，但的正负不确定，故D错误.
11．答案：AC
解析：由题可知直线l与曲线相切于点，又，所以直线l的斜率，则在点A处的切线方程为，即，直线l与曲线相切于点，，可得在点B处的切线方程为，即.因为直线l与两条曲线都相切，所以两条切线相同，则且，则，即，可得，解得，故A正确，B错误；把代入，得，数形结合可得的值有两个，故C正确，D错误.
12．答案：32
解析：设等比数列的公比为q，则，解得，由，得，解得，所以.
13．答案：0.3
解析：由题意知，解得，所以，由，得，所以，则.
14．答案：170
解析：由题意可得用户类型与购买的套餐类型列联表如下：
，解得，又因为m必须是10的倍数，所以m的最小值为170.
15．答案：(I)
(II)
解析：(I)由题意知，
所以.
(II)，题意知即解得
16．答案：(I)变量和y的线性相关程度很强
(II)研发的年投资额为60万元时，预测产品的年销售星为75.5万件解析
解析：(I)由题可知，，
，
，
变量和y的线性相关程度很强.
(II)，
.
关于的回归直线方程为.
当时，，
研发的年投资额为60万元时，预测产品的年销售星为75.5万件.
17．答案：(I)见解析
(II)
解析：(I)因为为等差数列，设其公差为，所以，
又因为，所以.
当时，，
又因为适合上式，所以.
所以，所以为等差数列.
(II)因为，由(I)知，得，所以.
所以，
当时，，
因为满足上式，所以.
所以.
18．答案：(I)有的把握认为该校学生对“村BA”的了解情况与性别有关
(II)分布列见解析，
解析：(I)因为，，
所以对“村BA”了解的女生人数为，了解“村BA”的学生人数为，
结合男生和女生各80名，作出列联表为：
，
因此，有的把握认为该校学生对“村BA”的了解情况与性别有关.
(II)由(I)知，采用分层随机抽样的方法抽取10名学生，
其中男生人数为，女生人数为.
随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，4.
，，，，.
故随机变量X的分布列如下：
则.
19．答案：(I)
(II)
解析：(I)令，则①，
令，则②，
②-①，得，
又因为，所以可得，
代入①式，得，所以.
(II)，其中，
，所以.
由，可得恒成立.
设，则，
当，即时，，，
当，即时，，，
所以，故，所以，
即实数的取值范围为.
－2
－4
－6
－8
y
17.4
13
8.2
5
1
2
3
4
5
35
40
50
55
70
0.050
0.010
0.005
0.001
k
3.841
6.635
7.879
10.828
A
B
总计
个人用户
公司用户
总计
m
了解
不了解
总计
男生
30
50
80
女生
5
75
80
总计
35
125
160
X
0
1
2
3
4
P