福建省福州市六校2023-2024学年高一下学期期中联考数学试题(无答案)

这是一份福建省福州市六校2023-2024学年高一下学期期中联考数学试题(无答案)，共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（满分：150分，完卷时间：120分钟）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设复数，则（ ）
A．2B．0C．D．
2．已知，为不共线向量，，，，则（ ）
A．，，三点共线B．，，三点共线
C．，，三点共线D．，，三点共线
3．在中，，，，则（ ）
A．B．或C．D．或
4．在矩形中，，，为线段的中点，为线段上靠近的四等分点，则的值为（ ）
A．4B．8C．D．5
5．已知圆锥的底面半径为3，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
6．的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则的值是（ ）
A．6B．8C．4D．2
7．中国是瓷器的故乡，“瓷器”一词最早见之于许慎的《说文解字》中，某瓷器如图1所示，该瓷器可以近似看作由上半部分圆柱和下半部分两个圆台组合而成，其直观图如图2所示，已知圆柱的高为，底面直径，，，中间圆台的高为，下面圆台的高为，若忽略该瓷器的厚度，则该瓷器的侧面积约为（ ）
A．B．C．D．
8．瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的公式：，其中是自然对数的底数，是虚数单位，该公式被称为欧拉公式．根据欧拉公式，下列选项正确的是（ ）
A．复数为实数
B．对应的点位于第二象限
C．若，在复平面内分别对应点，，则面积的最大值为
D．
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．下列有关复数的说法中（其中为虚数单位），正确的是（ ）
A．
B．复数的共轭复数的虚部为2
C．若是关于的方程的一个根，则
D．若复数满足，则的最大值为2
10．如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序数对叫做向量在坐标系中的坐标，记．在上述坐标系中，若，，则（ ）
A．B．
C．D．与夹角的余弦值为
11．给出下列命题，其中正确的选项有（ ）
A．若，，向量与向量的夹角为，则在上的投影向量为
B．已知，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是
C．若，则是的垂心
D．在中，向量与满足，且，则为等边三角形
12．在中，角，，的对边分别为，，，下列四个命题中，正确的有（ ）
A．当，，时，满足条件的三角形共有1个
B．若是钝角三角形，则
C．若，则
D．若，，则面积的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量，满足，且，，则与的夹角为______．
14．如图所示的是用斜二测画法画出的的直观图（图中虚线分别与轴，轴平行），则原图形的面积是______．
15．海上某货轮在处看灯塔在货轮北偏东，距离为海里处；在处看灯塔，在货轮的北偏西，距离为海里处；货轮由处向正北航行到处时看灯塔在北偏东，则灯塔与处之间的距离为______海里．
16．赵爽是我国汉代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》作注解时，给出了“赵爽弦图”：四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大的正方形．如图所示，正方形的边长为，正方形边长为1，则的值为______；______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）已知向量，，．
（1）若，求的值；
（2）若，求的值．
18．（12分）如图所示，正方体的棱长为2，连接，，，，，得到一个三棱锥．求：
（1）三棱锥的表面积与正方体表面积的比值；
（2）三棱锥的外接球的表面积和体积．
19．（12分）如图，在中，已知为线段上一点，．
（1）若，求实数，的值；
（2）若，，，且与的夹角为，求的值．
20．（12分）在中，角，，所对的边分别为，，，已知．
（1）求角的大小；
（2）若，且的外接圆半径为，求边上的高．
21．（12分）某种植园准备将如图扇形空地分隔成三部分建成花卉观赏区，分别种植玫瑰花、郁金香和菊花；已知扇形的半径为70米，圆心角为，动点在扇形的弧上，点在上，且．
（1）当米时，求的长和郁金香区的面积；
（2）综合考虑到成本和美观原因，要使郁金香种植区的面积尽可能的大；设，求面积的最大值．
22．（12分）如图，在中，已知，，，边上的中点为，点是边上的动点（不含端点），，相交于点．
（1）求；
（2）当点为中点时，求：的余弦值；
（3）求：的最小值；当取得最小值时设，求的值．