江苏省东海县2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题

这是一份江苏省东海县2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
用时：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数与分别表示向量与，则表示向量的复数为（ ）
A.B.C.D.
2.在中，“”是“”的（ ）
A.充要条件B.充分不必要条件
C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件
3.设，，，则（ ）
A.B.
C.D.
4.设为实数，向量，，且，则k的值为（ ）
A.-4B.-1C.-4或1D.-1或4
5.在中，已知，.若最长边的长为，则最短边的长为（ ）
A.B.C.D.2
6.将函数的图象向右平移个单位长度后得到曲线C.若曲线C关于原点对称，则的最小值是（ ）
A.B.C.D.
7.已知，则（ ）
A.-1B.2C.-3D.
8.在中，，，是以为直径的圆上任意一点，则的最大值是（ ）
A.B.C.D.2
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，
9.设，，是三个非零向量，则下列命题正确的有（ ）
A.B.
C.不与垂直D.
10.已知，是关于的方程的两根，其中.若（为虚数单位），则（ ）
A.B.
C.D.
11.在锐角中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足，，则下列说法正确的有（ ）
A.外接圆面积是B.面积的最大值是
C.周长的取值可以是9D.内切圆半径的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.函数的零点为____________.
13.某人在高出海面的山顶P处，测得海面上的航标A在正东方向，俯角为30°，航标B在南偏东60°的方向上，俯角为45°，若航标A、B间的距离为400米，则山的海拔高度为_____________米.
14.已知中，，，D在边上，且，E是边上的中点.若与交于点O，则___________.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知点，，，且点满足.
（1）若点在直线上，求的值；
（2）若，求.
16.（本小题满分15分）
已知锐角，满足，.
（1）求的值；
（2）求的值.
17.（本小题满分15分）
已知满足.
（1）求A；
（2）若为的角平分线，，，求的周长.
18.（本小题满分17分）
已知向量，，设函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）解不等式；
（3）若对，都有成立，求实数的取值范围.
19.（本小题满分17分）
已知中，角A，B，C的对边为a，b，c，D是边上的中点.
（1）若.
（i）求B；
（ii）若，，求的面积；
（2）若，，，试探究存在时m，n，满足的条件.
高一期中数学
（参考答案及评分标准）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1.C 2.A 3.A 4.D 5.B 6.C 7.C 8.A
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.BD 10.AB 11.ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 13.400 14.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤.
15.解：（1）因为点在直线上，故可设点，
所以，，，
由得，，
即
解得；
（2）由已知，
所以，
因为，所以，
解得，
所以，
因此，.
16.解：（1）因为，，所以，
所以，，
因为，
所以
；
（2）因为，
所以
，
又因为，所以.
17.解：（1）在中，由正弦定理：，
所以，
即，
由余弦定理：，
因为，所以；
（2）设边上的高为，
因为为的角平分线，所以，
所以的面积：，
的面积：，
因此，即，
在中，由余弦定理：
，
所以，
而，，所以，
又因为，
即，
解得，
所以的周长为：.
18.解：（1），
即，
所以函数的最小正周期；
（2）由得，
所以，，
即，
所以的解集为.
（3）因为
，
故由得，，
即对成立，
令，由（2）知时，，
则问题转化为对成立，
即对成立，
而，当且仅当时，等号成立，即，
所以.
19.解：（1）（i）在中，因为，
由正弦定理可得，，
所以，
因为得，
所以，故；
（ii）在中，由余弦定理得，即，①
因为是边上的中点，
所以，②
①-②得，
所以的面积为.
（2）（法一）如图1，
在中，由余弦定理得，
即①；
因为是边上的中线，所以，两边平方有②，
将①式代入②得，与同号.
当时，，存在；
当时，，
由②得，
因为，
所以，即③.
当为锐角时，，，，③式为，
令，，知在上单调递减，所以；
当为钝角时，，，，③式为，
令，，知在上单调递增，所以.
所以，当时，，存在；
当为锐角时，，存在；
当为钝角时，，存在.
（法二）当为直角时，即时，；
已知角B和对边b，当B为锐角时（如图2），
点B在优弧上移动，当点B位于点时，（O为圆心，D为边中点），
因为，所以，即，又，
所以在和中，由余弦定理得：
，
故.
当B为钝角时（如图3），
点B在劣弧上移动，当点B位于点时，
（O为圆心，D为边中点），
因为，所以，即，
又，
所以在和中，由余弦定理得：