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湖南省邵阳市邵东市创新高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题
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这是一份湖南省邵阳市邵东市创新高级中学2023-2024学年高一下学期期中考试数学试题，文件包含高一数学期中考试试卷docx、高一数学期中考试参考答案docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共8页， 欢迎下载使用。
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：第六章平面向量及其应用、第七章复数、第八章立体几何初步部分（人教A版2019）。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在复平面内，点表示复数，则的虚部是（ ）
A．3B．C．D．
2．已知，，若，则（ ）
A．1B．C．D．
3．在中，已知，BC=1，，则AC=（ ）
A．1B．C．D．
4．的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为（ ）
A．B．1C．8D．
5．若向量 eq \(BA,\s\up6(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5，6))， eq \(CA,\s\up6(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，3))，则 eq \(BC,\s\up6(→))＝( )
A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，－3))B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(7，9))
C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，3))D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－6，－10))
6．已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为，则该正四棱台的体积为（ ）
A．B．C．D．
7．已知，，，是平面内四个互不相同的点，为不共线向量，，，，则
A．，，三点共线B．，，三点共线
C．，，三点共线D．，，三点共线
8．中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为37m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，鹳雀楼顶部M的仰角分别为和，在A处测得楼顶部M的仰角为，则鹳雀楼的高度约为（ ）
A．64mB．52mC．74mD．91m
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列命题为真命题的是（ ）
A．复数的虚部为
B．若为虚数单位，则
C．在复数集中，方程有两个解，依次为
D．已知是虚数单位，若，则实数1
10．下列各组向量中，可以作为基底的是( )
A．e1＝(0，0)，e2＝(1，－2) B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，7)
C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10) D．e1＝(2，3)，e2＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(3,4)))
11．在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫，于1996年被收入世界文化遗产名录．现测量一个的屋顶，得到圆锥（其中为顶点，为底面圆心），母线的长为10m，底面半径OA长为6m．下面说法正确的是（ ）
A．圆锥SO的高为8m B．圆锥SO的侧面积为
C．圆锥SO的外接球的表面积为 D．圆锥SO外接球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，其中13题第一空2分，第二空3分，共15分.
12．已知平面向量，，若，则
13．相看两不厌，只有敬亭山.李白曾七次登顶拜访的敬亭山位于安徽省宣城市北郊，其上有一座太白独坐楼（如图（1）），如图（2），在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c,a＝2，b＝3，∠ACB＝60°，则c＝________，△ABC的面积＝________.
14．已知正方形ABCD的边长为2，点P满足 eq \(AP,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)( eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→)))，则 eq \(PB,\s\up6(→))· eq \(PD,\s\up6(→))＝________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，b＝a＋1，c＝a＋2.
且2sin C＝3sin A，
（1）求a的长度；
（2）求△ABC的面积；
16．（15分）已知复数．
(1)求；
(2)若，求；
(3)若，且是纯虚数，求．
17.（15分）已知向量，满足，，．
(1)求与的夹角；
(2)若，求的模长．
18．（17分）已在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin A∶sin B∶sin C＝2∶1∶ eq \r(2)，
b＝ eq \r(2).
(1)求a的值；
(2)求cs C的值；
(3)求sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2C－\f(π,6)))的值．
19．（17分）定义三边长分别为a，b，c，则称三元无序数组为三角形数．记D为三角形数的全集，即．
（1）证明：“”是“”的充分不必要条件；
（2）若锐角内接于圆O，且，设．
①若，求；
②证明：．
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4．测试范围：第六章平面向量及其应用、第七章复数、第八章立体几何初步部分（人教A版2019）。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在复平面内，点表示复数，则的虚部是（ ）
A．3B．C．D．
2．已知，，若，则（ ）
A．1B．C．D．
3．在中，已知，BC=1，，则AC=（ ）
A．1B．C．D．
4．的直观图如图所示，其中轴，轴，且，则的面积为（ ）
A．B．1C．8D．
5．若向量 eq \(BA,\s\up6(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5，6))， eq \(CA,\s\up6(→))＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，3))，则 eq \(BC,\s\up6(→))＝( )
A． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－3，－3))B． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(7，9))
C． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，3))D． eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－6，－10))
6．已知正四棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为，则该正四棱台的体积为（ ）
A．B．C．D．
7．已知，，，是平面内四个互不相同的点，为不共线向量，，，，则
A．，，三点共线B．，，三点共线
C．，，三点共线D．，，三点共线
8．中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为37m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，鹳雀楼顶部M的仰角分别为和，在A处测得楼顶部M的仰角为，则鹳雀楼的高度约为（ ）
A．64mB．52mC．74mD．91m
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．下列命题为真命题的是（ ）
A．复数的虚部为
B．若为虚数单位，则
C．在复数集中，方程有两个解，依次为
D．已知是虚数单位，若，则实数1
10．下列各组向量中，可以作为基底的是( )
A．e1＝(0，0)，e2＝(1，－2) B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，7)
C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10) D．e1＝(2，3)，e2＝ eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(3,4)))
11．在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫，于1996年被收入世界文化遗产名录．现测量一个的屋顶，得到圆锥（其中为顶点，为底面圆心），母线的长为10m，底面半径OA长为6m．下面说法正确的是（ ）
A．圆锥SO的高为8m B．圆锥SO的侧面积为
C．圆锥SO的外接球的表面积为 D．圆锥SO外接球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，其中13题第一空2分，第二空3分，共15分.
12．已知平面向量，，若，则
13．相看两不厌，只有敬亭山.李白曾七次登顶拜访的敬亭山位于安徽省宣城市北郊，其上有一座太白独坐楼（如图（1）），如图（2），在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c,a＝2，b＝3，∠ACB＝60°，则c＝________，△ABC的面积＝________.
14．已知正方形ABCD的边长为2，点P满足 eq \(AP,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)( eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AC,\s\up6(→)))，则 eq \(PB,\s\up6(→))· eq \(PD,\s\up6(→))＝________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，b＝a＋1，c＝a＋2.
且2sin C＝3sin A，
（1）求a的长度；
（2）求△ABC的面积；
16．（15分）已知复数．
(1)求；
(2)若，求；
(3)若，且是纯虚数，求．
17.（15分）已知向量，满足，，．
(1)求与的夹角；
(2)若，求的模长．
18．（17分）已在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sin A∶sin B∶sin C＝2∶1∶ eq \r(2)，
b＝ eq \r(2).
(1)求a的值；
(2)求cs C的值；
(3)求sin eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2C－\f(π,6)))的值．
19．（17分）定义三边长分别为a，b，c，则称三元无序数组为三角形数．记D为三角形数的全集，即．
（1）证明：“”是“”的充分不必要条件；
（2）若锐角内接于圆O，且，设．
①若，求；
②证明：．
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