上海市青浦区朱家角中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题(无答案)

这是一份上海市青浦区朱家角中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题(无答案)，共4页。
（时间120分钟 满分150分）
2024.4
一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．
1．同时掷两颗骰子，则所得点数相等的概率为______．
2．已知事件与事件相互独立，如果，，那么______．
3．投掷一颗骰子，记事件，，则______．
4．已知实数，在的二项展开式中，项的系数是135，则______．
5．以抛物线的焦点为圆心且与该抛物线的准线相切的圆的标准方程为______．
6．某小组成员的年龄分布茎叶图如图所示，则该小组成员年龄的第25百分位数是______．
（第6题图）
7．双曲线的离心率为3，则其渐近线的方程为______．
8．在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男女教师都有，则不同的选取方式的种数为______．（结果用数值表示）
9．已知随机变量的分布为，且，若，则实数______．
10．今年是农历癸卯兔年，一种以兔子形象命名的牛奶糖深受顾客欢迎．标识质量为的这种袋装奶糖的质量指标是服从正态分布的随机变量．若质量指标介于（含）至（含）之间的产品包装为合格包装，则随意买一包这种袋装奶糖，是合格包装的可能性大小为______%．（结果保留一位小数）
（已知，，，表示标准正态分布的密度函数从到的累计面积）
11．设，若1，5，x，y的平均数为4，则这四个数的中位数的取值范围是______．
12．如图，已知分别是椭圆的左、右焦点，M，N为椭圆上两点，满足，且，则椭圆C的离心率是______．
二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．
13．若直线与直线垂直，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
14．从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）
A．“恰好有一个白球”与“都是红球”
B．“至多有一个白球”与“都是红球”
C．“至多有一个白球”与“都是白球”
D．“至多有一个白球”与“至多有一个红球”
15．在一组样本数据中1、2、3、4出现的频率分别为且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
16．在平面直角坐标系中，点，若点满足，则的最小值为（ ）
A．4B．C．D．
三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤．
17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知一个随机变量的分布为：．
（1）已知，求的值；
（2）记事件：为偶数；事件：．已知，求，，并判断是否相互独立？
18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
已知抛物线的焦点为，直线经过点且与交于点．
（1）若直线的斜率为，求的面积；
（2）若，求线段的中点到轴的距离．
19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）
盒子中有5个乒乓球，其中2个次品，3个正品．现从中随机摸取2个小球．
（1）若采用有放回摸球，用表示摸出的2个小球中次品的个数，求的分布与数学期望；
（2）若采用不放回摸球，记“第二次摸出的小球是正品”为事件，求证：．
20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
在全民抗击新冠疫情期间，某校开展了“停课不停学”活动，一个星期后，某校随机抽取了100名居家学习的高二学生进行问卷调查，得到学生每天学习时间（单位：h）的频率分布直方图如下，若被抽取的这100名学生中，每天学习时间不低于8小时有30人．
（1）求频率分布直方图中实数的值；
（2）每天学习时间在的7名学生中，有4名男生，3名女生，现从中抽2人进行电话访谈，在已知抽取的学生有男生的条件下，求抽取的2人恰好为一男一女的概率；
（3）依据所抽取的样本，从每天学习时间在和的学生中按比例分层抽样抽取8人，再从这8人中选3人进行电话访谈，求抽取的3人中每天学习时间在的人数的分布和数学期望．
21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）
已知双曲线的离心率为．
（1）若，且双曲线经过点，求双曲线的方程；
（2）若，双曲线的左、右焦点分别为，焦点到双曲线的渐近线的距离为，点在第一象限且在双曲线上，若，求的值；
（3）设圆，．若动直线与圆相切，且与双曲线交于时，总有，求双曲线离心率的取值范围．