天津市和平区2023-2024学年高三下学期第二次质量调查数学试卷

这是一份天津市和平区2023-2024学年高三下学期第二次质量调查数学试卷，共11页。

温馨提示：本试卷包括第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．
考试时间120分钟，祝同学们考试顺利！
第Ⅰ卷（选择题 共45分）
注意事项：
1．答第1卷前，考生务必将自己的姓名、准考号涂写在答题卡上．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答在试卷上的无效．
3．本卷共9小题，每小题5分，共45分．
参考公式：
·球体的体积公式，其中表示球的半径．
·如果事件A、B互斥，则．
·如果事件A、B相互独立，则．
·任意两个事件与，若，则．
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知为虚数单位，复数，则的共轭复数（ ）
A．B．C．D．
2．若，下列选项中，使“”成立的一个必要不充分条件为（ ）
A．B．C．D．
3．为响应党的二十大报告提出的“深化全民阅读”的号召，某学校开展读书活动，组织同学从推荐的课外读物中进行选读．活动要求甲、乙两位同学从5种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）
A．30种B．60种C．120种D．240种
4．已知函数定义域为，且函数与均为偶函数，当时，是减函数，设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数的部分图象如下图所示，则以下说法中，正确的为（ ）
（第5题）
A．
B．
C．不等式的解集为
D．函数的图象的对称中心为
6．如图，一块边长为10cm的正方形铁片上有四块阴影部分，将这些阴影部分裁下去，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则这个正四棱锥的内切球（球与正四棱锥各面均有且只有一个公共点）的体积为（ ）
（第6题）
A．B．C．D．
7．过直线上的点作圆的两条切线，当直线关于直线对称时，点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
8．已知抛物线的焦点为点，双曲线的右焦点为点，线段与在第一象限的交点为点，若的焦距为6，且在点处的切线平行于的一条渐近线，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
9．平面四边形中，，，，，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
第Ⅱ卷（非选择题 共105分）
注意事项：
1．用黑色钢笔或签字笔直接答在答题卡上，答在本试卷上的无效．
2．本卷共11题，共105分．
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分）
10．设集合，，，则___________．
11．在的二项展开式中，常数项为___________．（请用数字作答）．
12．过点作曲线的切线，则切点的坐标为___________．
13．为铭记历史、缅怀先烈，增强爱国主义情怀，某学校开展共青团知识竞赛活动．在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三名同学回答一道有关团史的问题，每个人回答正确与否互不影响，已知甲回答正确的概率为，甲、丙两人都回答正确的概率是，乙、丙两人都回答正确的概率是．若规定三名同学都回答这个问题，则甲、乙、丙三名同学中至少有1人回答正确的概率为______；若规定三名同学抢答这个问题，已知甲、乙、丙抢到答题机会的概率分别为，则这个问题回答正确的概率为___________．
14．已知数列满足，则数列的通项公式为___________，若数列的前项和为，记，则数列的最大项为第___________项．
15．已知函数，若关于的方程有2个不相等的实数根，则实数的取值范围是___________．
三、解答题（本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．（本小题满分14分）
在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）求的值．
17．（本小题满分15分）
如图，三棱台中，为等边三角形，，平面，点M，N，D分别为AB，AC，BC的中点，．
（第17题）
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）求点到平面的距离．
18．（本小题满分15分）
已知为等差数列的前项和，，．
（Ⅰ）若为数列的前项和，求；
（Ⅱ）等差数列满足，数列满足．
（ⅰ）求数列与数列的通项公式；
（ⅱ）求．
19．（本小题满分15分）
在平面直角坐标系中，椭圆的右焦点为点，椭圆上顶点为点，右顶点为点，且满足．
（Ⅰ）求椭圆的离心率；
（Ⅱ）是否存在过原点的直线，使得直线与椭圆在第三象限的交点为点，且与直线AF交于点，满足，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由．
20．（本小题满分16分）
已知函数．
（Ⅰ）当时，讨论函数的单调性；
（Ⅱ）若不等式恒成立，求的取值范围；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的条件下，设，，且．
求证：当，且时，不等式成立．
和平区2023—2024学年度第二学期高三年级第二次质量调查
数学学科试卷参考答案及评分标准
一、选择题（9×5分=45分）
二、填空题（6×5分=30分）
10．．11．12．13．；
14．；315．．
三、解答题（共75分）
16．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）因为，由正弦定理有，
因为，所以，即，则．
（Ⅱ）因为，，，
所以，由余弦定理，即，解得．
（Ⅲ）由正弦定理有，有．
因为，所以，又，
则，，
．
17．（本小题满分15分）
解：因为侧棱底面，为等边三角形，所以过点作，则以为点A为坐标原点，，，的方向分别为轴，轴，轴的正方向，建立如下图所示的空间直角坐标系，
（第17题）
设长为，因为，，，
所以，则有，．
所以，，，，，，．
（Ⅰ）证明：因为，，设平面的法向量为，
则，令，则，又因为．
，所以，又因为平面，所以平面．
（Ⅱ）因为为中点，所以，则，
有，又，设直线与平面所成角为，
，
则直线与平面所成角的正弦值为．
（Ⅲ）因为，平面的法向量为，
所以，点D到平面的距离为．
18．（本小题满分15分）
解：（Ⅰ）设数列公差为，由公式，，
有，求得，即，所以．
设，前项和为，．
当时，．
当时，．
所以
（Ⅱ）（ⅰ）设数列公差为，由（Ⅰ）得，又，
即，解得，所以．
（ⅱ），
设，
，①
，②
①式－②式得，
．
所以，．
设，
所以，．
．
所以，．
19．（本小题满分15分）
解：（Ⅰ）依题意，，解得，
又因为，所以．
（Ⅱ）设直线的方程为，椭圆的方程为，，设点，联立方程组，整理得，
解得，①，
直线AF方程为，设点，
，联立方程组，解得，②，
又因为，
设，则有，
即，所以，所以．
所以，则有，
代入①②有，解得，
由题意得，所以，因此存在直线满足题中条件．
（第19题）
20．（本小题满分16分）
解：（Ⅰ）当时，函数，函数定义域为，，
令，解得，
所以，在上单调递增，在上单调递减．
（Ⅱ）由已知有恒成立，设，即，
则函数定义域为，
，令，解得，
所以，在上单调递增，在上单调递减．
所以，，即所以．
（Ⅲ）证明：由，，，
因为等价于．
一方面，要证明，
由（Ⅱ）可知当时，有，即，
因为，所以，
因此，当时，．
所以，当时，时成立，即成立．
另一方面，要证明，
由（Ⅰ）可知函数在上单调递增，
因此，当时，，即时，有．
因此，即．
因为，所以，即，
因此，当时，，
得．
当时，．
因为所以，所以．
所以，当时，且时，成立．
综上所述，当，且时，当时，成立．
1
2
3
4
5
6
7
8
9
C
A
B
C
C
B
A
D
D