2023-2024学年北京市育才学校高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年北京市育才学校高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.sin5π6的值等于( )
A. 12B. −12C. 32D. − 32
2.若csα>0，且tanα<0，则α是( )
A. 第一象限角B. 第二象限角C. 第三象限角D. 第四象限角
3.下列函数中，既是偶函数又是周期为π的函数为( )
A. y=sinxB. y=csxC. y=sin2xD. y=cs2x
4.要得到函数y=sin(4x−π3)的图象，只需要将函数y=sin4x的图象( )
A. 向左平移π12个单位B. 向右平移π12个单位C. 向左平移π3个单位D. 向右平移π3个单位
5.“φ=0”是“函数y=sin(2x+φ)过坐标原点”的( )
A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
6.在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若csα=2 55，则csβ=( )
A. 2 55B. − 55C. −2 55D. 55
7.若函数y=sin(πx−π6)在[0,m]上单调递增，则m的最大值为( )
A. 13B. 12C. 23D. 1
8.已知函数f(x)=x,|x|≤1,sinπ2x,|x|>1,则下列结论正确的是( )
A. ∀x∈R，f(x+4)=f(x)B. 函数f(x)在[−π2,π2]上单调递增
C. 函数f(x)的一条对称轴方程是x=1D. ∀x∈R，f(−x)=−f(x)
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
9.设向量a，b的长度分别为4和3，夹角为60°，则a⋅b的值为______．
10.扇形的半径为2，圆心角为30°，则圆心角的弧度数为______；扇形的弧长为______．
11.已知角α的终边过点P(4,−3)，则2sinα+csα的值为______．
12.已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则ω= ；φ= ．
13.已知命题p：若α，β为第一象限角，且α>β，则tanα>tanβ.能说明命题p为假命题的一组α，β的值可以是α= ______，β= ______．
14.已知a为常数，θ∈[0,2π)，关于θ的方程sin2θ−csθ+a=0有以下四个结论：
①当a=0时，方程有2个实数根；
②存在实数a，使得方程有4个实数根；
③使得方程有实数根的a的取值范围是[−1,1]；
④如果方程共有n个实数根，记n的取值集合为M，那么1∈M，3∈M．
其中，所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共5小题，共44分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题7分)
已知sinα= 55，α∈(π2,π).求csα，tanα及cs(π2+α)的值．
16.(本小题7分)
已知函数f(x)=cs(2x+π6)．
(1)求f(π6)的值；
(2)求函数f(x)的单调递减区间．
17.(本小题9分)
已知函数f(x)=sin(2x−π6)．
(Ⅰ)求函数f(x)的对称轴方程；
(Ⅱ)求函数f(x)在x∈[0,π2]上的最大值和最小值以及相应的x的值．
18.(本小题10分)
已知函数f(x)=2sin(x2+π6)，x∈R的部分图像如图所示．
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)设点B是图象上的最高点，点A是图象与x轴的交点，BC⊥x轴于C，
(i)求tan∠BAO；
(ii)直接写出BO⋅BC的值．
19.(本小题11分)
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)，且f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，再从条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件．
(1)求函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)的解析式；
(3)若f(x)图象的对称轴只有一条落在区间[0,a]上(a>0)，求a的取值范围．
条件①：f(x)的最小值为−2；
条件②：f(x)图象的一个对称中心为(5π12,0)；
条件③：f(x)的图象经过点(5π6,−1)．
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：sin5π6=sin(π−π6)=sinπ6=12，
故选：A．
原式中的角度变形后，利用诱导公式及特殊角的三角函数值计算即可得到结果．
此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2.【答案】D
【解析】解：根据题意，对于α有，csα>0，且tanα<0，
由四个象限三角函数的符号，可得α是第四象限角，
故选：D．
根据题意，对于α有，csα>0，且tanα<0，由四个象限三角函数的符号，可得α所在的象限，即可得答案．
本题考查三角函数的符号，记忆口诀为一全正，二正弦，三正切，四余弦．
3.【答案】D
【解析】解：对于A，函数y=sinx为奇函数，周期为2π，故A错误；
对于B，函数y=csx为偶函数，周期为2π，故B错误；
对于C，函数y=sin2x为奇函数，周期为2π2=π，故C错误；
对于D，函数y=cs2x为偶函数，周期为2π2=π，故D正确．
故选：D．
根据三角函数的奇偶性和周期公式，逐个判断各个选项即可．
本题主要考查了三角函数的奇偶性和周期性，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：要得到函数y=sin(4x−π3)的图象，只需要将函数y=sin4x的图象向右平移π12个单位，
即：y=sin[4(x−π12)]=sin(4x−π3).
故选：B．
直接利用三角函数关系式的平移变换的应用求出结果．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的平移变换的应用，主要考察学生对函数图象的变换能力，属于基础题型．
5.【答案】A
【解析】解：若φ=0，则函数y=sin(2x+φ)=sin2x，f(0)=0，可知函数图象必定经过坐标原点，
可知“φ=0”是“函数y=sin(2x+φ)过坐标原点”的充分条件；
若函数y=sin(2x+φ)的图象过坐标原点，将(0,0)代入，可得sinφ=0，φ=0+kπ，k∈Z，
可知“φ=0”不是“函数y=sin(2x+φ)过坐标原点的”必要条件．
综上所述，“φ=0”是“函数y=sin(2x+φ)过坐标原点的充分而不必要条件．
故选：A．
根据正弦函数的图象与性质，对两个条件进行正反推理论证，即可得到本题的答案．
本题主要考查正弦函数的图象与性质、充要条件的判断等知识，考查逻辑推理能力，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】解：由条件可知，β=180°−α+k⋅360°，k∈Z，
所以csβ=cs(180°−α+k⋅360°)=−csα=−2 55．
故选：C．
根据角α，β的关系，再结合诱导公式，即可求解．
本题考查了诱导公式，属基础题．
7.【答案】C
【解析】【分析】
由函数直接可得单调递增区间，进而可得参数取值范围．
本题主要考查正弦函数的单调性，考查了函数思想，属于基础题．
【解答】
解：由y=sin(πx−π6)，可得当−π2+2kπ≤πx−π6≤π2+2kπ，k∈Z时函数单调递增，
即x∈[−13+2k,23+2k]，k∈Z，
当k=0时，x∈[−13,23]，
又函数在[0,m]上单调递增，
所以0故选：C．
8.【答案】D
【解析】解：作出函数f(x)的图象，
当x=1时，满足f(12)=12,f(92)=sin9π2=sinπ2=1，则f(92)≠f(12)，
此时∀x∈R，f(x+4)=f(x)不成立，故A项错误；
函数f(x)在[−π2,−1]上是减函数，在(−1,1)上是增函数，在(1,π2]上是减函数，故B项错误；
由图可知，x=1不是函数f(x)的一条对称轴方程，故C项错误；
由图可知函数f(x)是奇函数，即对∀x∈R，f(−x)=−f(x)，故D正确．
故选：D．
作出函数f(x)的图象，再对选项一一判断即可得出答案．
本题考查了一次函数、正弦函数的性质，考查了数形结合思想，作出图象是关键，属于基础题．
9.【答案】6
【解析】解：由已知及向量数量积的定义可知，
a⋅b=|a||b|cs〈a,b〉=4×3×12=6．
故答案为：6．
根据向量数量积的定义，即可求解．
本题考查平面向量数量积定义，属基础题．
10.【答案】π6 π3
【解析】解：30°=π6，所以圆心角的弧度数为π6；扇形的弧长l=αr=π6×2=π3．
故答案为：π6；π3．
根据弧度数公式，以及扇形弧长公式，即可求解．
本题主要考查扇形弧长公式，属于基础题．
11.【答案】−25
【解析】解：角α的终边过点P(4,−3)，r=OP=5，
利用三角函数的定义，求得sinα=−35，csα=45，
所以2sinα+csα=−35×2+45=−25．
故答案为：−25．
根据角α的终边过点P(4,−3)，利用任意角的三角函数的定义，求出sinα，csα的值，然后求出2sinα+csα的值
本题考查三角函数的定义，考查计算能力，掌握三角函数的定义，是本题顺利解答的前提．是基础题．
12.【答案】2；π6
【解析】【分析】
本题主要考查由函数y=Asin(ωx+φ)的部分图象求解析式，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，属于基础题．
由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得结论．
【解答】
解：根据函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象，
可得14⋅2πω=5π12−π6，∴ω=2．
再根据五点法作图可得2×π6+φ=π2，∴φ=π6，
故答案为：2；π6．
13.【答案】9π4(答案不唯一) π4(答案不唯一)
【解析】解：取α=π4+2π，β=π4，
则α>β，但tanα=tanβ，不满足tanα>tanβ，
∴命题p为假命题，
∴能说明命题p为假命题的一组α，β的值可以是α=9π4，β=π4．
故答案为：9π4(答案不唯一)；π4(答案不唯一)．
根据题意，举反例，即可得解．
本题考查命题的真假判断，属基础题．
14.【答案】①②④
【解析】【分析】
本题考查的知识要点：同名三角函数的转化，三角函数与一元二次方程的联系，参数和方程的根的关系，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题，易错题．
利用同名三角函数将题上方程转化为关于csθ且含有参数a的一元二次方程进行求解．
【解答】
解：由于关于θ的方程sin2θ−csθ+a=0且θ∈[0,2π)，
化简为cs2θ+csθ−(a+1)=0，
令t=csθ∈[−1,1]，
则t2+t−(a+1)=0，t1+t2=−1，t1⋅t2=−(a+1)，且Δ=4a+5．
对于①：当a=0时，Δ>0，csθ= 5−12，又θ∈[0,2π)，故θ有2个值，故①正确．
对于②：当Δ>0时，若csθ∈(−1,1)，csθ就有两个解，又θ∈[0,2π)，θ可能对应有四个解，故②正确．
对于③：令csθ=t，t∈[−1,1]，则f(t)=−t2−t+a+1要有实数根即：Δ≥0、f(−1)≤0且f(1)≤0；即4a+5≥0、a≤−1、a≤1，即−54≤a≤−1，故③错．
对于④：当Δ<0时，无实数根；当Δ=0，csθ可能有一个解，θ可能有1个或2个值；当Δ>0时，csθ可能有两个不同的值，则θ可能有2个或3个或4个值，故④对．
故答案为：①②④．
15.【答案】解：因为sinα= 55，α∈(π2,π)，sin2α+cs2α=1，
则csα=− 1−sin2α=−2 55．
由商数关系可得：tanα=sinαcsα=−12，
由诱导公式可得：cs(π2+α)=−sinα=− 55，
所以csα=−2 55，tanα=−12，cs(π2+α)=− 55．
【解析】由题意，根据平方关系可以求出csα，由商数关系可以求出tanα，由诱导公式可以求出cs(π2+α)的值．
本题主要考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．
16.【答案】解：(1)因为f(x)=cs(2x+π6)，
所以f(π6)=cs(2×π6+π6)=csπ2=0；
(2)由f(x)=cs(2x+π6)，
令2kπ≤2x+π6≤π+2kπ，k∈Z，解得−π12+kπ≤x≤5π12+kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递减区间为[−π12+kπ,5π12+kπ]，k∈Z．
【解析】(1)直接代入计算可得；
(2)根据余弦函数的性质计算可得．
本题考查余弦函数的单调性，考查运算求解能力，属于基础题．
17.【答案】解：(Ⅰ)令2x−π6=kπ+π2(k∈Z)，
则x=kπ2+π3(k∈Z)，
函数f(x)的对称轴方程为x=kπ2+π3(k∈Z)；
(Ⅱ)x∈[0,π2]⇒2x−π6∈[−π6,5π6]⇒sin(2x−π6)∈[−12,1]，
当2x−π6=−π6，即x=0时，函数f(x)取得最小值−12；
当2x−π6=π2，即x=π3时，函数f(x)取得最大值1．
【解析】(Ⅰ)令2x−π6=kπ+π2(k∈Z)，可求得函数f(x)的对称轴方程；
(Ⅱ)利用正弦函数的性质可求得函数f(x)在x∈[0,π2]上的最大值和最小值以及相应的x的值．
本题考查三角函数的最值的求法，掌握正弦函数的性质是解决问题的关键，属于基础题．
18.【答案】解：(1)因为f(x)=2sin(x2+π6)，
所以f(x)的最小正周期为T=2π12=4π，
单调递增区间满足：2kπ−π2≤x2+π6≤2kπ+π2,k∈Z，
解得4kπ−4π3≤x≤4kπ+2π3,k∈Z，
故单调递增区间为[4kπ−4π3,4kπ+2π3],k∈Z；
(2)(i)A，B两点横坐标的差为34T=3π，
又f(x)=2sin(x2+π6)的最大值为2，
故tan∠BAO=23π．
(ii)BO⋅BC=4，
设B(x0,2)，
则C(x0,0)，O(0,0)，
所以BO=(−x0,−2),BC=(0,−2)，
所以BO⋅BC=4．
【解析】(1)根据公式得到周期，单调增区间满足2kπ−π2≤x2+π6≤2kπ+π2,k∈Z，解得答案．
(2)(i)A，B两点横坐标的差为34T=3π，f(x)=2sin(x2+π6)的最大值为2，得到正切值．
(ii)设B(x0,2)，BO=(−x0,−2),BC=(0,−2)，得到BO⋅BC−．
本题考查了平面向量数量积的定义和运算律，重点考查了三角函数的性质，属中档题．
19.【答案】解：(1)因为f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，
所以T2=π2，所以T=π．
函数f(x)的最小正周期π．
(2)由于函数f(x)图象上两相邻对称轴之间的距离为π2，
所以f(x)的最小正周期T=2×π2=π，ω=2πT=2.此时f(x)=Asin(2x+φ)．
(1)选条件①②；因为f(x)min=−A=−2，所以A=2．
因为f(x)图象的一个对称中心为(5π12,0)，所以2×5π12+φ=kπ(k∈Z)，
因为|φ|<π2，所以φ=π6，此时k=1，所以f(x)=2sin(2x+π6)；
选条件①③：因为f(x)min=−A=−2，所以A=2．
因为函数f(x)的图象过点(5π6,−1)，则f(5π6)=−1，即2sin(5π3+φ)=−1，sin(5π3+φ)=−12，
因为|φ|<π2，即−π2<φ<π2，∴7π6<5π3+φ<13π6，
所以φ+5π3=11π6，解得φ=π6．
所以f(x)=2sin(2x+π6)；
选条件②③：因为函数f(x)的一个对称中心为(5π12,0)，
所以2×5π12+φ=kπ(k∈Z)，所以φ=kπ−5π6(k∈Z)．
因为|φ|<π2，所以φ=π6，此时k=1，所以f(x)=Asin(2x+π6)．
因为函数f(x)的图象过点(5π6,−1)，所以f(5π6)=−1，即Asin(5π3+π6)=−1，Asin11π6=−1，即−12A=−1，所以A=2．
所以f(x)=2sin(2x+π6)；
(3)因为x∈[0,a]，所以2x+π6∈[π6,2a+π6]，
因为f(x)图象的对称轴只有一条落在区间[0,a]上，所以π2≤2a+π6<3π2，得π6≤a<2π3，
所以a的取值范围为[π6,2π3)．
【解析】(1)f(x)图象的相邻两条对称轴之间的距离为π2，所以T2=π2，求出函数f(x)的最小正周期．
(2)根据最小正周期确定ω的值，选择①②，求出A的值，由条件②可得出关于φ的等式结合φ的取值范围，可求得φ的值，由此可求得函数f(x)的解析式；
选择①③，求出A的值，由已知条件可得出sin(5π3+φ)=−12，求出5π3+φ的取值范围，可求得φ的值，由此可求得函数f(x)的解析式；
选择②③，由条件②可得出关于φ的等式结合φ的取值范围，可求得φ的值，将点(5π6,−1)的坐标代入函数f(x)的解析式，求出A的值，可得出函数f(x)的解析式；
(3)由x∈[0,a]可求得2x+π6的取值范围，结合题意可得出关于实数a的不等式，由此可解得实数a的取值范围．
本题考查三角函数图象与性质，考查转化与化归思想、整体思想及运算求解能力，属于中档题．