2023-2024学年江西省南昌十九中高一（下）第一次月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年江西省南昌十九中高一（下）第一次月考数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.在△ABC中，|AC+CB|=|AC−AB|=|AB+BC|，则△ABC是( )
A. 等边三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰直角三角形
2.已知α为第四象限角，则点P(sin(π2−α),cs(−α))位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
3.已知角α的始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点(1,−2)，则sin(α+3π2)−cs(π2−α)+tan(π−α)=( )
A. 10− 55B. 10+ 55C. −10+ 55D. −10+ 55
4.设函数f(x)=|sinx|+1−2sin2x，x∈[−π2,π2]，则函数f(x)的最小值是( )
A. −1B. 0C. 12D. 98
5.数学中处处存在着美，机械学家莱洛沷现的莱洛三角形就给人以对称的美感.莱洛三角形的画法：先画等边三角形ABC，再分别以点A，B，C为圆心，线段AB长为半径画圆弧，便得到莱洛三角形.若线段AB长为2，则莱洛三角形的面积是( )
A. 2π− 3B. π− 3C. 2π−2 3D. 2π+ 3
6.如图所示，函数y=csx|tanx|(0≤x<3π2且x≠π2)的图象是( )
A. B. C. D.
7.已知函数f(x)=3cs(2x−π3)(x∈[0,π])，且f(x1)=f(x2)=65(x1≠x2)，则x1+x2=( )
A. 5π6B. 4π3C. 5π3D. 2π3
8.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)，(ω>0)，在区间(π6,2π3)上单调递增，直线x=π6和x=2π3为函数f(x)的两条对称轴，则f(−5π12)=( )
A. − 32B. −12C. 12D. 32
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数中均满足下面三个条件的是( )
①f(x)为偶函数
②f(x)<1
③f(x)有最大值
A. f(x)=csxB. f(x)=|12sinx|C. f(x)=(12)|x|+1D. f(x)=1−2|x|
10.函数f(x)=sin(ωx+φ)x(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，下列结论中正确的是( )
A. φ=π3
B. 函数f(x)的图象关于点(−π6,0)对称
C. 函数f(x)在[−5π12,π12]上单调递增
D. 将函数f(x)的图象向由右平移π12个单位得到函数g(x)=sin(2x+π4)的图象
11.关于函数f(x)=11+csx，下列说法正确的是( )
A. 函数f(x)定义域为RB. 函数f(x)是偶函数
C. 函数f(x)是周期函数D. 函数f(x)在区间(−π,0)上单调递减
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数f(x)=csx+12|csx|+t−1在[0,2π]上有两个零点，则t的取值范围是______．
13.已知角α满足sinα=−12，则sin2α= ______．
14.已知函数f(x)=|lg2x|,0四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知α为第三象限角，且f(α)=sin(3π2−α)cs(π2−α)tan(−α+π)sin(π2+α)tan(2π−α)．
(1)化简f(α)；
(2)若f(α)=2 65，求cs(π+α)的值．
16.(本小题15分)
已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示．
(1)求f(x)的解析式；
(2)方程f(x)=m在[0,7π12]上有且仅有两个不同的实数解，求实数m的取值范围．
17.(本小题15分)
某同学用“五点法”画函数f(x)=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据．
(1)求函数f(x)的解析式，并补全表中数据；
(2)将y=f(x)图象上所有点向左平移θ(θ>0)个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，得到y=g(x)的图象.若g(x)图象的一个对称中心为(5π24,0)，求θ的最小值．
18.(本小题17分)
函数f(x)=sin2(x+2023π2)−csx+t−1．
(1)若函数f(x)的值域是[0,3]的一个子集，求t的取值范围；
(2)求f(x)在区间[0,2π]的单调区间．
19.(本小题17分)
已知函数y=f(x)，其中f(x)=tan(ωx+π3),ω>0．
(1)若ω=2，求函数y=f(x)的最小正周期以及函数图象的对称中心．
(2)若函数y=f(x)在[0,π]上单调递增，求ω的取值范围．
(3)若函数y=f(x)在[a,b](a，b∈R且a答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：根据三角形法则可得：AC+CB=AB，AC−AB=BC，AB+BC=AC，
∵在△ABC中|AC+CB|=|AC−AB|=|AB+BC|，
∴|AB|=|BC|=|AC|，
即△ABC三条边相等，
∴△ABC是等边三角形．
故选：A．
根据向量加减法法则及模的定义判断．
本题考查向量的线性运算，属于中档题．
2.【答案】A
【解析】解：由α为第四象限角，sin(π2−α)=csα>0,cs(−α)=csα>0，
所以点P(sin(π2−α),cs(−α))位于第一象限．
故选：A．
根据给定条件，利用诱导公式，结合三角函数值的符号法则判断即得．
本题主要考查了三角函数的定义在三角函数值符号判断中的应用，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：由题知，sinα=−2 5，csα=1 5，tanα=−2，
所以sin(α+3π2)−cs(π2−α)+tan(π−α)=−csα−sinα−tanα
=−1 5+2 5+2=10+ 55．
故选：B．
先根据三角函数的定义，求出角α的三角函数值，再结合诱导公式求值．
本题主要考查了三角函数的定义及诱导公式的应用，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：x∈[−π2,π2]⇒|sinx|∈[0,1]，
令t=|sinx|，则t∈[0,1]，f(x)=|sinx|+1−2sin2x可转化为g(t)=−2t2+t+1=−2(t−14)2+98，其对称轴方程为t=14，
当t=1(即x=±π2)时，g(t)取得最小值0，即函数f(x)的最小值是0．
故选：B．
令t=|sinx|，则t∈[0,1]，原函数转化为g(t)=−2t2+t+1=−2(t−14)2+98，t∈[0,1]，利用二次函数的性质可求得答案．
本题考查函数的最值及其几何意义，考查转化思想及运算求解能力，属于中档题．
5.【答案】C
【解析】解：由已知得AB=BC=AC=2π3，
则AB=BC=AC=2，故扇形的面积为2π3，
由已知可得，莱洛三角形的面积扇形面积的3倍减去三角形面积的2倍，
∴所求面积为3×2π3−2× 34×22=2π−2 3．
故选：C．
由题意，可先求解出正三角形扇形面积，再利用莱洛三角形与扇形之间的关系转化即可求解．
本题考查了扇形的面积公式和三角形的面积公式的应用，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查正切函数与正弦函数的图象，确定绝对值符号是关键，考查分类讨论思想与识图能力，属于中档题．
根据x的取值情况分类讨论，去掉|tanx|中的绝对值符号，转化为分段函数，再识图即可．
【解答】
解：∵y=csx|tanx|=sinx,0≤x<π2−sinx,π2∴函数y=csx|tanx|(0≤x≤3π2且x≠π2)的图象是C．
故选：C．
7.【答案】B
【解析】解：f(x)=3cs(2x−π3)(x∈[0,π])，且f(x1)=f(x2)=65(x1≠x2)，
则3cs(2x1−π3)=65，即cs(2x1−π3)=25，
同理可得，cs(2x2−π3)=25，
又x1，x2∈[0,π]，则2x1−π3∈[−π3,5π3]，2x2−π3∈[−π3,5π3]，
∵0<25<12，∴2x1−π3+2x2−π3=2×π，解得x1+x2=4π3．
故选：B．
根据题意，由条件代入计算可得cs(2x1−π3)=25，cs(2x2−π3)=25，再由x∈[0,π]，代入计算，即可得到结果．
本题主要考查余弦函数的图象，属于基础题．
8.【答案】D
【解析】解：∵函数f(x)=sin(ωx+φ)，(ω>0)，在区间(π6,2π3)上单调递增，
ωx+φ∈(ωπ6+φ,2ωπ3+φ)，
直线x=π6和x=2π3为函数f(x)的两条对称轴，
∴ωπ6+φ=2kπ−π2，2ωπ3+φ=2kπ+π2，k∈Z，且12×2πω=2π3−π6．
解得ω=2且φ=−5π6．
可得f(x)=sin(2x−5π6)，
则f(−5π12)=sin(−5π3)=sinπ3= 32．
故选：D．
由题意，利用正弦函数的图象和性质，先求出函数的解析式，从而得出结论．
本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．
9.【答案】BCD
【解析】解：根据题意：选项A中，−1≤f(x)≤1，不满足②；
选项B中，满足①②③；
选项C中，满足①②③；
选项D中，有最大值，为偶函数，但f(x)≤0，满足②；故选项BC正确．
故选：BCD．
结合函数的性质检验各选项即可判断．
本题主要考查了函数性质在函数解析式判断中的应用，属于基础题．
10.【答案】ABC
【解析】解：由题意可得T4=7π12−π3=π4，故T=π，则ω=2ππ=2，
f(7π12)=sin(2×7π12+φ)=−1，即7π6+φ=−π2+2kπ(k∈Z)，
解得φ=−5π3+2kπ，又|φ|<π2，即φ=−5π3+2π=π3，故A正确；
即f(x)=sin(2x+π3)，当x=−π6时，有2x+π3=0，
故f(x)的图象关于点(−π6,0)对称，故B正确；
当x∈[−5π12,π12]时，2x+π3∈[−π2,π2]，故C正确；
将函数f(x)的图象向由右平移π12个单位得到
sin(2x−2×π12+π3)=sin(2x+π6)，
故D错误．
故选：ABC．
借助图象周期求出ω、再由定点结合范围求出φ，得出解析式后结合正弦型函数性质可得A、B、C，结合函数图象的平移可得D．
本题考查三角函数的图象和性质，图象变换，属中档题．
11.【答案】BCD
【解析】解：由于csπ=−1，1+csπ=0，所以f(x)的定义域不是R，A选项错误．
由1+csx≠0得csx≠−1，所以x≠2kπ+π，k∈Z，
所以f(x)的定义域是{x|x≠2kπ+π,k∈Z}，f(x)的定义域关于原点对称，f(−x)=11+cs(−x)=11+csx=f(x)，所以f(x)是偶函数，B选项正确；
．f(x+2π)=11+cs(x+2π)=11+csx=f(x)，所以f(x)是周期函数，C选项正确．
当x≠2kπ+π，k∈Z时，1+csx>0恒成立，y=1+csx在(−π,0)上单调递增，所以f(x)=11+csx在区间(−π,0)上单调递减，D选项正确．
故选：BCD．
根据函数的定义域、奇偶性、周期性、单调性对选项进行分析，从而确定正确答案．
本题主要考查了函数奇偶性，周期性及单调性的判断，属于基础题．
12.【答案】[−12,12)∪{1}
【解析】解：f(x)=csx+12|csx|+t−1，x∈[0,2π]的零点个数
就是y=csx+12|csx|=32csx,x∈[0,π2]∪[3π2,2π]−12csx,x∈(π2,3π2)与y=−t+1的交点个数．
作出y=csx+12|csx|的图象，
由图象可知−t+1=0或12<−t+1≤32，解得t=1或−12≤t<12．
故答案为：[−12,12)∪{1}．
转化为y=csx+12|csx|与y=−t+1的交点个数问题，画出图象，数形结合求出t的取值范围．
本题考查三角函数的图象和性质，考查函数与方程根的关系，属于中档题．
13.【答案】± 32
【解析】解：因为sinα=−12，所以α为第三或第四象限角，
所以csα=± 1−sin2α=± 1−(−12)2=± 32，
所以sin2α=2sinαcsα=± 32．
故答案为：± 32．
利用同角三角函数的平方关系可求得csα的值，利用二倍角的正弦公式可求得sin2α的值．
本题考查了三角函数的求值问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
14.【答案】(20,32)
【解析】解：作出函数f(x)=|lg2x|,0因为f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)，x1所以，由图象知，x1∈(0,1)，x2∈(1,2)，x3∈(2,4)，x4∈(8,9)，
所以由|lg2x1|=|lg2x2|得−lg2x1=lg2x2，所以x1x2=1，
又y=sin(π4x)的图象关于直线x=6对称，则x3+x4=2×6=12，
所以x3x4=x3(12−x3)=−x32+12x3，x3∈(2,4)
由于y=−x32+12x3在x3∈(2,4)上单调递增，所以20故答案为：(20,32)．
作出函数y=f(x)的图象，利用|lg2x1|=|lg2x2|进行去绝对值得出x1x2的值，由曲线y=sinπx4的对称轴得出x3+x4=12，从而得x3x4=x3(12−x3)，再利用二次函数可得出x3x4的范围，从而得出答案．
本题考查了分段函数的图象与性质应用问题，也考查了分类讨论思想，是中档题．
15.【答案】解：(1)由已知得f(α)=−csα⋅sinα⋅tan(−α)csα⋅tan(−α)=−sinα；
(2)由已知得sinα=−2 65，因为α为第三象限角，
故csα=− 1−sin2α=−15，
故cs(π+α)=−csα=15．
【解析】(1)利用诱导公式直接化简即可；
(2)根据平方关系求出csα，再利用诱导公式求解．
本题考查利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式求值的问题，属于基础题．
16.【答案】解：(1)由图可知A=2，最小正周期T=4(7π12−π3)=π，即2πω=π，则ω=2，
则f(x)=2sin(2x+φ)，又图象过(7π12,−2)，
∴2sin(2×7π12+φ)=−2，∴7π6+φ=3π2+2kπ,k∈Z，
∴φ=π3+2kπ,k∈Z，又|φ|<π2，∴φ=π3，
∴所求的函数解析式为f(x)=2sin(2x+π3)；
(2)f(x)=2sin(2x+π3)，x∈[0,7π12]，
∵x∈[0,7π12]，∴2x+π3∈[π3,3π2]，∴−2≤f(x)≤2，
f(0)=2sinπ3= 3，f(7π12)=−2，f(π12)=2，
作出直线y=m与f(x)=2sin(2x+π3)，x∈[0,7π12]的图象，如图，

由图可知，当 3≤m<2时，直线y=m与f(x)=2sin(2x+π3)，x∈[0,7π12]的图象有两个不同的交点，
即方程f(x)=m在[0,7π12]上有且仅有两个不同的实数解，
所以m的取值范围为[ 3,2)．
【解析】(1)由图可知A=2，由最小正周期T=4(7π12−π3)=π求得ω，根据图象过(7π12,−2)求出φ；
(2)作出直线y=m与f(x)=2sin(2x+π3)，x∈[0,7π12]的图象，利用数形结合求解．
本题考查了三角函数的图象和性质，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由表格数据知：A=5，f(x)最小正周期T=2(5π6−π3)=π，∴ω=2πT=2；∵f(π3)=5sin(2π3+φ)=5，∴2π3+φ=π2+2kπ(k∈Z)，
解得：φ=−π6+2kπ(k∈Z)；
又|φ|<π2，∴φ=−π6，则f(x)=5sin(2x−π6)；
补全表格如下：
(2)由题意得：g(x)=f(2x+θ)=5sin(4x−π6+2θ)，∵(5π24,0)是g(x)的一个对称中心，∴5π6−π6+2θ=kπ(k∈Z)，解得：θ=kπ2−π3(k∈Z)；
又θ>0，∴θmin=π6．
【解析】(1)由表格数据可得A和最小正周期T，由此可得ω；利用f(π3)=5可求得φ，从而得到f(x)解析式；根据五点作图法可补全表格数据；
(2)根据三角函数平移和伸缩变换原则可得g(x)解析式，利用代入检验法，根据对称中心坐标可构造方程求得θ，进而得到θ最小值．
本题考查的知识要点：正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
18.【答案】解：(1)由题可得f(x)=cs2x−csx+t−1，
令csx=m，则y=m2−m+t−1=(m−12)2+t−54，其中−1≤m≤1，
所以，y∈[t−54,t+1]，
所以，函数f(x)的值域为[t−54,t+1]，
因为函数f(x)的值域为[0,3]的一个子集，则t−54≥0t+1≤3，解得54≤t≤2，
因此，实数t的取值范围是[54,2]．
(2)因为二次函数y=m2−m+t−1在(−1,12)上单调递减，在(12,1)上单调递增，
①当m∈(−1,12)时，即csx∈(−1,12)，由x∈[0,2π]可得x∈(π3,5π3)，
而又因为函数y=csx在(π3,π)上单调递减，在(π,5π3)上单调递增，
由复合函数法可知，函数f(x)在(π3,π)上单调递增，在(π,5π3)上单调递减；
②当m∈(12,1)时，即csx∈(12,1)，则有x∈(0,π3)∪(5π3,2π)，
又因为函数y=csx在(0,π3)上单调递减，在(5π3,2π)上单调递增，
由复合函数法可知，函数f(x)在(0,π3)上单调递减，在(5π3,2π)上单调递增．
综上所述，函数f(x)的单调递减区间为(0,π3)、(π,5π3)，单调递增区间为(π3,π)、(5π3,2π)．
【解析】(1)由已知可得f(x)=cs2x−csx+t−1，令csx=m，则y=m2−m+t−1，其中−1≤m≤1，利用二次函数的基本性质可求得函数f(x)的值域，根据题意可得出关于实数t的不等式组，解之即可；
(2)利用复合函数法可求得函数f(x)在[0,2π]的单调递增区间和递减区间．
本题考查了三角函数的诱导公式，同角三角函数的基本关系，配方求二次函数值域的方法，复合函数的单调区间的求法，子集的定义，考查了计算能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)当ω=2时，f(x)=tan(2x+π3)，
∴f(x)=tan(2x+π3)的最小正周期为π2．
令2x+π3=kπ2,k∈Z，得x=kπ4−π6,k∈Z，
故f(x)的图象的对称中心为(kπ4−π6,0),k∈Z；
(2)∵x∈[0,π]，∴ωx+π3∈[π3,ωπ+π3]，
∴若函数y=f(x)在[0,π]上单调递增，
则ωπ+π3<π2，求得ω<16，
即ω的取值范围为(0,16)；
(3)方程f(x)= 3在[a,b]上至少存在2023个根，
即当x∈[a,b]时，tan(ωx+π3)= 3至少有2023个根，
即当x∈[a,b]时，ωx+π3=kπ+π3,k∈Z至少有2023个根，
即当x∈[a,b]时，x=kπω,k∈Z至少有2023个根，
故b−a至少包含2022个最小正周期，且在所有满足上述条件的[a,b]中，b−a的最小值不小于2023，
即b−a≥2022×πω≥2023，
解得0<ω≤2022π2023
∴ω∈(0,20222023π]．
【解析】(1)由题意利用正切函数的周期性和对称性，得出结论；
(2)由题意利用正切函数的单调性，求得ω的范围；
(3)由题意利用正切函数的周期性和零点，正切函数的图象，求得ω的范围．
本题主要考查正切函数的图象和性质，属于中档题．ωx+φ
0
π2
π
3π2
2π
x
π3
5π6
Asin(ωx+φ)
0
5
−5
0
ωx+φ
0
π2
π
3π2
2π
x
π12
π3
7π12
5π6
13π12
Asin(ωx+φ)
0
5
0
−5
0