2023-2024学年湖北省十四校协作体高一（下）质检数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年湖北省十四校协作体高一（下）质检数学试卷（3月份）（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.复数z=(1+i)21−i，则z的共轭复数在复平面内对应的点在( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.集合A={x|tanx=0}，B={x|csx=0}，则( )
A. A=BB. A⊆BC. A⊇BD. A∩B=⌀
3.△ABC中，D为AB中点，E为线段BC上靠近B的三等分点，CD，AE交于G，BG交AC于F，若BF=λBE+μBD，则λμ=( )
A. 23B. 34C. 43D. 32
4.已知cs(α−β)=3cs(α+β)，则tanα⋅tanβ的值为( )
A. 13B. 23C. 12D. 34
5.△ABC中A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2+c2+ac=b2，sinAsinC= 3−14，则cs(A−C)=( )
A. 32B. 12C. 6+ 24D. 6− 24
6.△ABC中，AB，BC，CA中点分别为D，E，F，且A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三角形内O点满足4(OD)2−c2=4(OE)2−a2=4(OF)2−b2，则S△ABO：S△AOC：S△BOC=( )
A. sinC：sinB：sinAB. csC：csB：csA
C. tanC：tanB：tanAD. sin2C：sin2B：sin2A
7.已知△ABC的三边a，b，c满足 an+bn=cn(n∈N,n>2).则△ABC为( )
A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 不能确定
8.平面内有向量a，b，c满足|a|=|c|=2|b|=2，a⋅b=0，则|a−c|+2|b−c|的最小值为( )
A. 2B. 2 5C. 2 3D. 2 6
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.现有向量a，b，c，满足(a⋅b)⋅c=(a⋅c)⋅b=(b⋅c)⋅a，这三组向量中共线的组数可能有且仅有( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
10.下列说法中正确的有( )
A. csx+csy=m,sinx+siny=n,则cs(x−y)=m2+n2−22
B. csx+csy=m，sinx+siny=n，则tan(x+y)=2m3(m+n)(m−n)n
C. cs(x+y)=m，sin2x−sin2y=n，则sin(x−y)=m2n
D. sin2xsin2y=k,则tan(x+y)tan(x−y)=k+1k−1
11.△ABC的三条高交于一点H，A，B，C所对的边分别为a，b，c，tanB⋅(2HA+HB)+tanC⋅HC=0，下列说法中正确的有( )
A. A=2B
B. S△BHC=2S△AHC
C. 3sin2A+cs2(A+B)=3sin2B+1
D. 若tanB∈[1,2]，则tanC的取值范围为[67,1]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若x∈R，则|2−csx−isinx−i|的最小值为______．
13.已知三角函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|≤π2)，又已知函数y=f(x)满足如下条件：x=−π4为f(x)的一个零点，x=π4为f(x)的一条对称轴，且f(x)在区间(π10,π5)上单调.则ω的最大值为______．
14.f(x)=|2asinx+2bcsx|+|acsx−bsinx|(a,b∈R)的最大值为 5，则复数z=a+bi的模为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
(1)计算：−sin7π30+isin11π15cs2π5+isin3π5；
(2)求值：(1+ 3tan10°)sin130°．
16.(本小题15分)
如图，正方形ABCD中，E、F分别为线段AB、BC上的点，满足AE=BF，连接DE、AF交于点G．
(1)求证：DE⊥AF；
(2)设AE=x,AB=1,DG=λDA+μDF，求μλ的最大值和λu的最大值．
17.(本小题15分)
如图，三角形ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足2a−cb=csCcsB,c=acsB+b2，D，E为线段BC上两点，满足∠DAE=π6．
(1)判断△ABC的形状，并证明；
(2)证明：BD2+EC2+BD⋅EC=DE2；
(3)直接写出S△ADES△ABC的最小值．
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=|sinx|+|csx|．
(1)求函数的值域；
(2)设g(x)=|sinx+csx|−2sinxcsx，若∀x，g(t)≤f(x)+ 2−12恒成立，求t∈(0,2π3)时，t的最大值．
19.(本小题17分)
向量外积(又称叉积)广泛应用于物理与数学领域.定义两个向量a与b的叉积a×b=c，规定c的模长为|c|=|a|⋅|b|⋅sin〈a，b〉，c与a、b所在平面垂直，其方向满足如图1所示规则，且须满足如图所示的排列顺序.已知向量外积满足分配律，且λa×μb=λμ(a×b).
(1)直接写出结果：①a×a=_____；②a×b+b×a=_____；
(2)空间直角坐标系中有向量a=(x1,y1,z1)，b=(x2,y2,z2)，
①若c=a×b，用含x1，y1，z1，x2，y2，z2的坐标表示c；
②若c=(x3,y3,z3)证明：(a×b)×c=b(a⋅c)−a(b⋅c)；
(3)如图2所示，平面直角坐标系xOy中有三角形OAB，A(x1,y1)，B(x2,y2)，试探究S△OAB的表达式．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：∵z=(1+i)21−i=2i1−i=2i(1+i)(1−i)(1+i)=−1+i，
∴z=−1−i．
∴z的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为：(−1,−1)，在第三象限．
故选：C．
利用复数代数形式的乘除运算化简复数z，求出z在复平面内对应的点的坐标得答案．
本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
2.【答案】D
【解析】解：集合A={x|tanx=0}={x|x=kπ,k∈Z}，
B={x|csx=0}={x|x=kπ+π2,k∈Z}，
则A∩B=⌀．
故选：D．
化简集合A、B，再判断A、B的关系．
本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．
3.【答案】B
【解析】解：设CG=xCD，则CD=1xCG，
因为D是AB的中点，
所以CD=12CA+12CB=12CA+12⋅32CE=12CA+34CE，
所以1xCG=12CA+34CE，即CG=x2CA+3x4CE，
因为A，G，E三点共线，所以x2+3x4=1，解得x=45，
所以CG=45CD，
所以BG=BC+CG=BC+45CD=BC+45(BD−BC)=15BC+45BD=35BE+45BD，
又B，G，F三点共线，
所以可设BF=yBG=y(35BE+45BD)=3y5BE+4y5BD，
因为BF=λBE+μBD，所以λ=3y5，μ=4y5，
所以λμ=34．
故选：B．
设CG=xCD，根据向量的线性运算法则，可得CG=x2CA+3x4CE，利用A，G，E三点共线，求得x=45，进而得BG=35BE+45BD，再根据B，G，F三点共线，求解即可．
本题考查平面向量的基本定理，熟练掌握平面向量的线性运算法则，三点共线的条件是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
4.【答案】C
【解析】解：由已知可得csαcsβ+sinαsinβ=3csαcsβ−3sinαsinβ，
则4sinαsinβ=2csαcsβ，
所以tanαtanβ=12．
故选：C．
利用余弦的和差角公式化简即可求解．
本题考查了两角和与差的三角函数公式的应用，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：因为a2+c2+ac=b2，即a2+c2−b2=−ac，所以csB=a2+c2−b22ac=−12，
由A+C=π−B，得cs(A+C)=csAcsC−sinAsinC=−csB=12，
即csAcsC− 3−14=12，可得csAcsC= 3−14+12= 3+14，
因此，cs(A−C)=csAcsC+sinAsinC= 3+14+ 3−14= 32．
故选：A．
利用余弦定理算出csB=−12，结合诱导公式算出cs(A+C)=12，根据两角和的余弦公式算出csAcsC= 3+14，进而算出cs(A−C)的值．
本题主要考查余弦定理、三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数公式等知识，属于中档题．
6.【答案】C
【解析】解：因为4(OD)2−c2=4(OE)2−a2=4(OF)2−b2，
所以4(OD)2−AB2=4(OE)2−BC2=4(OF)2−CA2，
(2OD)2−AB2=(2OE)2−BC2=(2OF)2−CA2，
所以(OB+OA)2−(OB−OA)2=(OC+OB)2−(OC−OB)2=(OA+OC)2−(OA−OC)2∖]，
所以OA⋅OB=OB⋅OC=OC⋅OA，
所以OB⋅(OA−OC)=OC⋅(OB−OA)=OA⋅(OB−OC)=0，
所以OB⋅CA=OC⋅AB=OA⋅CB=0，
所以点O为△ABC的垂心，
连接AO，BO，CO并延长交BC，AC，AB于点M，N，P，
所以S△ABOS△AOC=12AO⋅BM12AO⋅CM=BMCM=AM⋅tanCAM⋅tanB=tanCtanB，
S△ABOS△BOC=12BO⋅AN12BO⋅CN=ANCN=BN⋅tanCBN⋅tanA=tanCtanA，
所以S△ABO：S△AOC：S△BOC=tanC：tanB：tanA．
故选：C．
根据向量运算，化简条件等式，证明点O为△ABC的垂心，连接AO，BO，CO并延长交BC，AC，AB与点M，N，P，由此可求S△ABO：S△AOC：S△BOC．
本题考查平面向量的数量积运算，考查正弦定理及三角形的面积公式，属中档题．
7.【答案】A
【解析】解：∵△ABC的三边a，b，c满足an+bn=cn(n∈N,n>2)，
∴(ac)n+(bc)n=1，0