2023-2024学年福建省三明一中高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

这是一份2023-2024学年福建省三明一中高一（下）月考数学试卷（3月份）（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.已知a，b∈R，a+3i=−1+bi(i为虚数单位)，则( )
A. a=1，b=−3B. a=1，b=3
C. a=−1，b=−3D. a=−1，b=3
2.已知平面向量a=(3,1)，b=(x,−3)，且a⊥b，则x=( )
A. −3B. −1C. 1D. 3
3.已知a,b为不共线的非零向量，AB=a+5b，BC=−2a+8b，CD=3a−3b，则( )
A. A，B，C三点共线B. A，B、D三点共线
C. B，C，D三点共线D. A，C，D三点共线
4.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若b=2a⋅csC，则△ABC的形状为( )
A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 锐角三角形D. 钝角三角形
5.已知|a|=2 3|b|，a与b的夹角为π6，则a在b上的投影向量为( )
A. 3bB. − 3bC. 3bD. −3b
6.如图，在△ABC中，满足条件AD=DB,AE=13EC，若DE=λBA+μBC，则1λ+1μ=( )
A. 8
B. 4
C. 2
D. 12
7.圣⋅索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美.为了估算圣⋅索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高约为36m，在它们之间的地面上的点M(B,M,D三点共线)处测得建筑物顶A、教堂顶C的仰角分别是45°和60°，在建筑物顶A处测得教堂顶C的仰角为15°，则可估算圣⋅索菲亚教堂的高度CD约为( )
A. 54mB. 47mC. 50mD. 44m
8.如图，已知圆O的半径为2，弦长AB=2，C为圆O上一动点，则AC⋅BC的取值范围为( )
A. [0,4]
B. [5−4 3,5+4 3]
C. [6−4 3,6+4 3]
D. [7−4 3,7+4 3]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若{e1,e2}是平面内的一组基底，则下列四组向量不能作为平面向量的基底的是( )
A. {e1−e2,e2−e1}B. {2e1−e2,e1−12e2}
C. {2e2−3e1,6e1−4e2}D. {e1+e2,e1+3e2}
10.已知z1，z2是复数，下列说法正确的是( )
A. |z1|2=z12B. 若z1z2=0，则z1=0或z2=0
C. z1+z2−=z1−+z2−D. 若|z1|=|z2|，则z1=±z2
11.已知D为△ABC所在平面内的一点，则下列结论正确的是( )
A. 若AD=13AB+12AC，则S△BCDS△ABD=16
B. 若(AB|AB|+AC|AC|)⋅BC=0，则△ABC为等边三角形
C. 若DA⋅DB=DB⋅DC=DC⋅DA，则D为△ABC的垂心
D. 若AD=λ(AB|AB|sinB+AC|AC|sinC)(λ∈R)，则点D的轨迹经过△ABC的重心
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a,b为非零向量，若|a+b|=|a−b|，则a⋅b= ______．
13.在△ABC中，已知∠A=60°，BC=3，AB= 6，则∠C=______．
14.阿基米德螺线广泛存在于自然界中，具有重要作用.如图，在平面直角坐标系xOy中，螺线与坐标轴依次交于点A1(−1,0)，A2(0,−2)，A3(3,0)，A4(0,4)，A5(−5,0)，A6(0,−6)，A7(7,0)，A8(0,8)，并按这样的规律继续下去.给出下列四个结论：
①对于任意正整数n，|AnAn+4|=4；
②存在正整数n，|AnAn+1|为整数；
③存在正整数n，三角形AnAn+1An+2的面积为2023；
④对于任意正整数n，三角形AnAn+1An+2为锐角三角形．
其中所有正确结论的序号是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知复数z1=−1+3i,z2=1+2i,1z=1z1+1z2．
(1)求z；
(2)在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是OA,OB，其中O是原点，求∠AOB的大小．
16.(本小题15分)
设a,b是不共线的单位向量，且a与b的夹角的余弦值为13．
(1)求(a+2b)⋅(a−b),|a+b|；
(2)若ka+b与a+3b的夹角为锐角，求实数k的取值范围．
17.(本小题15分)
已知四边形ABCD的外接圆面积为7π3，且BD= 7,CD=2,∠BAD为钝角，
(1)求∠BCD和BC；
(2)若sin∠ABD= 217，求四边形ABCD的面积．
18.(本小题17分)
如图，在△ABC中，AB=4，AC=3，∠BAC=90°，点D在线段BC上(异于B，C两点)，延长AD到P，使得AP=9，设AP=mAB+nAC(m,n∈R)．
(1)若CD=185，求m+n的值；
(2)求m+n的取值范围．
19.(本小题17分)
利用平面向量的坐标表示，可以把平面向量的概念推广为坐标为复数的“复向量”，即可将有序复数对(z1,z2)(其中z1，z2∈C)视为一个向量，记作α=(z1,z2)，类比平面向量的相关运算法则，对于复向量α=(z1,z2),β=(z3,z4),z1、z2、z3、z4、λ∈C，我们有如下运算法则：
①α±β=(z1±z3,z2±z4)；
②λα=(λz1,λz2)；
③α⋅β=z1z3−+z2z4−；
④|α|= α⋅α
(1)设α=(1−i,i),β=(3,4)，i为虚数单位，求α+β，β⋅α，|β|；
(2)设α、β是两个复向量，
①已知对于任意两个平面向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)，(其中x1，x2，y1，y2∈R)，|a⋅b|≤|a||b|成立，证明：对于复向量α,β，|α⋅β|≤|α||β|也成立；
②当|α⋅β|=|α||β|时，称复向量α与β平行.若复向量α=(1+i,1−2i)与β=(i,z)平行(其中i为虚数单位，z∈C)，求复数z．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：a，b∈R，a+3i=−1+bi，
所以a=−1，b=3．
故选：D．
借助复数相等求解作答．
本题主要考查复数相等的条件，属于基础题．
2.【答案】C
【解析】解：根据题意，a⊥b⇒a⋅b=0，
将向量坐标代入可得，3x+1×(−3)=0，
解可得，x=1，
故选：C．
根据题意，a⊥b⇒a⋅b=0，将向量坐标代入可得关系式，解可得答案．
本题向量数量积的应用，判断向量垂直，简单题，仔细计算即可．
3.【答案】B
【解析】解：∵AB=a+5b，BC=−2a+8b，
∴不存在λ，使AB=λBC，
故A，B，C三点不共线，
故选项A错误；
∵BD=BC+CD=a+5b，
∴AB=BD，
∴A，B、D三点共线，
故选项B正确；
∵BC=−2a+8b，CD=3a−3b，
∴不存在λ，使CD=λBC，
故B，C，D三点不共线，
故选项C错误；
∵AC=AB+BC=−a+13b，CD=3a−3b，
∴不存在λ，使AC=λCD，
故A，D，C三点不共线，
故选项D错误；
故选：B．
利用平面向量的线性运算及平面向量共线定理对四个选项依次判断即可．
本题考查了向量共线定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】解：由题设，结合正弦定理有sinB=2sinAcsC，
而B=π−(A+C)，
∴sin(A+C)=sinAcsC+csAsinC=2sinAcsC，即sin(A−C)=0，
又0−53，
综上所述，k>−53且k≠13，即实数k的取值范围为(−53,13)∪(13,+∞)．
【解析】(1)根据平面向量数量积的定义与运算性质，结合向量的模的公式加以计算，可得答案；
(2)根据平面向量数量积的性质与向量共线的条件列式，解之可得实数k的取值范围．
本题主要考查平面向量数量积的定义与运算性质、向量模的公式与向量共线的条件等知识，考查了计算能力，属于基础题．
17.【答案】解：(1)设四边形ABCD的外接圆半径为R，
由题意有：πR2=7π3，解得R= 213，
在△BCD中，由正弦定理可得：BDsin∠BCD=2R=2 213，
又BD= 7，所以sin∠BCD= 32，
又∠BAD为钝角，故∠BCD为锐角，
所以∠BCD=π3；
又cs∠BCD=BC2+CD2−BD22BC⋅CD，
即12=BC2+4−74BC，解得BC=3；
(2)在△ABD中，由正弦定理可得：ADsin∠ABD=2R，
即AD 217=2 213，解得AD=2，
又∠BAD为钝角，故∠ABD为锐角，
cs∠ABD= 1−sin2∠ABD=2 77，
又cs∠ABD=AB2+BD2−AD22AB⋅BD，
即2 77=AB2+7−42 7AB，解得AB=3或AB=1，
当AB=3时，cs∠BAD=9+4−712>0，∠BAD为锐角，不合题意；
当AB=1时，cs∠BAD=1+4−741)，
因为AP=mAB+nAC，
所以λAD=mAB+nAC，即AD=mλAB+nλAC，
又B，C，D三点共线，
所以mλ+nλ=1，即m+n=λ，
因为点D是直角△ABC斜边BC上异于B，C的点，
所以当AD⊥BC时，AD取最小值为AC⋅ADBC=125，
当D点与B点重合时，AD取最大值为4，
故125≤AD