2023-2024学年河北省石家庄市赵县八年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年河北省石家庄市赵县八年级（下）期中数学试卷（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列根式是最简二次根式的是( )
A. 0.5B. 17C. − 3D. 8
2.下列各组线段中，能构成直角三角形的是( )
A. 2，3，4B. 3， 4， 5C. 1， 3，2D. 2， 6，8
3.若式子 2x−4在实数范围内有意义，则x的取值范围是( )
A. x≠2B. x≥2C. x≤2D. x≠−2
4.下列计算不正确的是( )
A. 3 5− 5=2 5B. 2× 3= 6
C. 74= 72D. 3+ 6= 3+6= 9=3
5.在下列命题中，正确的是( )
A. 对角线相等的四边形是平行四边形B. 有一个角是直角的四边形是矩形
C. 有一组邻边相等的平行四边形式菱形D. 对角线互相垂直平分的四边形是正方形
6.如图，平行四边形ABCD中，若∠B=2∠A，则∠C的度数为( )
A. 60°
B. 120°
C. 72°
D. 36°
7.如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索AB的长度为5米，若将它往水平方向向前推进3米(即DE=3米)，且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为( )
A. 1米B. 2米C. 2米D. 4米
8.如图，在▱ABCD中，AB⊥AC，若AB=4，AC=6，则BD的长是( )
A. 8
B. 9
C. 10
D. 11
9.实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简 a2− b2− (a−b)2的结果是( )
A. 2aB. 2bC. −2bD. 0
10.如图，在一个长为20m，宽为16m的矩形草地上放着一根长方体木块，已知该木块的较长边和场地宽AD平行，横截面是边长为2m的正方形，一只蚂蚁从点A处爬过木块到达点C处需要走的最短路程是m．( )
A. 8 13B. 4 41C. 2 185D. 2 233
11.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是( )
A. 一直增大B. 一直减小C. 先减小后增大D. 先增大后减少
12.如果正整数a、b、c满足等式a2+b2=c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数.某同学将自探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为( )
A. 47B. 62C. 79D. 98
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.若最简二次根式 2x−1与 x+3能合并，则 3x+6=______．
14.若x= 2+1，则代数式x2−2x+2的值为______．
15.如图所示，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AD和BC于点E、F，AB=2，BC=3，则图中阴影部分的面积为 ．
16.在平面直角坐标系中，已知点A(−1,0)、B(2,2)、C(0,3)，在坐标平面内找一点D，使得以A，B，C，D四点组成的四边形为平行四边形，请写出D点坐标______．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
(1)计算：3 3− 8+ 2− 27；
(2)( 3− 2)( 2+ 3)+6 13−( 3−2)2．
18.(本小题8分)
一个三角形的三边长分别为5 x5，12 20x，54 4x5．
(1)求它的周长(要求结果化简)；
(2)请你给出一个适当的x的值，使它的周长为整数，并求出此时三角形的周长．
19.(本小题8分)
定义：如图，点M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股分割点．
(1)已知M、N把线段AB分割成AM、MN、NB，若AM=2，MN=4，BN=2 3，则点M、N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由．
(2)已知点M、N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边，若AB=12，AM=5，求BN的长．
20.(本小题8分)
如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=BC=2，CD=3，DA=1．
(1)求∠DAB的度数；
(2)求四边形ABCD的面积．
21.(本小题9分)
阅读下面的材料，解答后面所给出的问题：
两个含二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式．例如： a与 a， 2+1与 2−1．
(1)请你写出两个二次根式，使它们互为有理化因式：______．
化简一个分母含有二次根式的式子时，可以采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法．例如： 2 3− 2= 2( 3+ 2)( 3− 2)( 3+ 2)= 6+23−2= 6+2．
(2)请仿照上述方法化简：3 5− 2．
(3)比较1 3−1与1 5− 3的大小．
22.(本小题10分)
如图，在平行四边形ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，∠BCD的平分线交AD于点F，交BE于点G．
(1)若∠EFG=32°，求∠FEG的度数；
(2)求证：AF=DE．
23.(本小题10分)
如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE/​/AC，且DE=12AC，连接CE、OE，连接AE交OD于点F．
(1)求证：OE=CD；
(2)若菱形ABCD的边长为8，∠ABC=60°，求AE的长．
24.(本小题11分)
如图，我把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”．
(1)性质探究：如图1.已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，求证：AB2+CD2=AD2+BC2．
(2)解决问题：已知AB=5，BC=4，分别以△ABC的边BC和AB向外作等腰Rt△BCQ和等腰Rt△ABP．
①如图2，当∠ACB=90°，连接PQ，求PQ；
②如图3，当∠ACB≠90°，点M、N分别是AC、AP中点连接MN.若MN=2 3，则S△ABC=______．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：A． 0.5= 22，故不是最简二次根式，不符合题意；
B. 17= 77，故不是最简二次根式，不符合题意；
C.− 3，是最简二次根式，符合题意；
D. 8=2 2，故不是最简二次根式，不符合题意；
故选：C．
根据最简二次根式的定义，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，被开方数中不含分母，判断即可．
本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
2.【答案】C
【解析】解：A、22+32≠42，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故不符合题意；
B、( 3)2+( 4)2≠( 5)2，不符合勾股定理的逆定理，不能组构成直角三角形，故不符合题意；
C、12+( 3)2=22，符合勾股定理的逆定理，能构成直角三角形，故符合题意；
D、( 2)2+( 6)2≠82，不符合勾股定理的逆定理，不能构成直角三角形，故不符合题意．
故选：C．
根据勾股定理的逆定理可知，当三角形中三边的关系为：a2+b2=c2时，则三角形为直角三角形．
此题考查的是勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三边满足：a2+b2=c2时，则三角形ABC是直角三角形．解答时，只需看两较小数的平方和是否等于最大数的平方．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查了二次根式有意义的条件，即二次根式中的被开方数是非负数．正确把握二次根式的定义是解题关键．根据二次根式中的被开方数是非负数，即可确定二次根式被开方数中字母的取值范围．据此解答．
【解答】
解：∵ 2x−4在实数范围内有意义，
∴2x−4≥0，
解得：x≥2，
∴x的取值范围是：x≥2．
故选B．
4.【答案】D
【解析】解：A.原式=2 5，所以A选项不符合题意；
B.原式= 2×3= 6，所以B选项不符合题意；
C.原式= 72，所以C选项不符合题意；
D. 3与 6不能合并，所以D选项符合题意．
故选：D．
利用二次根式的加减法对A、D进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断．
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则解决问题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：A、对角线相等的四边形是平行四边形，错误，比如等腰梯形的对角线相等，不是平行四边形，本选项不符合题意．
B、有一个角是直角的四边形是矩形，错误，应该是有三个角是直角的四边形是矩形，本选项不符合题意．
C、有一组邻边相等的平行四边形式菱形，正确，本选项符合题意．
D、对角线互相垂直平分的四边形是正方形，错误，应该是对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，本选项不符合题意．
故选：C．
根据平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定一一判断即可．
本题考查行四边形，矩形，菱形，正方形的判定等知识，解题的关键是记住特殊四边形的判定方法，属于中考常考题型．
6.【答案】A
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB/​/CD，AD//BC，
∴∠A+∠B=180°，∠C+∠B=180°，∠A=∠C，
∵∠B=2∠A，
∴3∠A=180°，
∴∠C=∠A=60°，
故选：A．
根据平行四边形的性质结合已知条件即可求解．
本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查的是勾股定理的应用的有关知识，作CF⊥AB，根据勾股定理求得AF的长，可得BF的长度．
【解答】
解：过点C作CF⊥AB于点F，
根据题意得：AB=AC=5米，CF=DE=3米，
由勾股定理可得AF2+CF2=AC2，
∴AF= AC2−CF2= 52−32=4(米)，
∴BF=AB−AF=5−4=1(米)，
∴此时木马上升的高度为1米．
故选A．
8.【答案】C
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，
∵AB⊥AC，AB=4，AC=6，
∴AO=3，
则BO= 42+32=5，
∴BD=2BO=10．
故选：C．
直接利用平行四边形的性质得出AO的长，再利用勾股定理得出BO的长，进而得出答案．
此题主要考查了平行四边形的性质以及勾股定理，正确得出BO的长是解题关键．
9.【答案】B
【解析】解：由数轴可得：b<0|a|，
∴a−b>0，
则 a2− b2− (a−b)2=|a|−|b|−|a−b|=a+b−(a−b)=a+b−a+b=2b，
故选：B．
利用数轴得出b<0|a|，进而利用二次根式的性质化简求出即可．
本题主要考查了二次根式的性质与化简，掌握二次根式的化简方法是关键．
10.【答案】A
【解析】解：由题意可得，如图所示，
，
∴AB=20+2×2=24(m)，
∴最短路程是：AC= 242+162= 832=8 13(m)，
故选：A．
将长方体木块拉伸，结合两点间距离及勾股定求解即可得到答案．
本题考查勾股定理解决最短距离问题，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．
11.【答案】C
【解析】解：如图，连接AP，
∵∠A=90°，PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF=AP，
由垂线段最短可得AP⊥BC时，AP最短，则线段EF的值最小，
∴动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，则线段EF的值大小变化情况是先减小后增大．
故选C．
连接AP，先判断出四边形AFPE是矩形，根据矩形的对角线相等可得EF=AP，再根据垂线段最短可得AP⊥BC时，线段EF的值最小，即可判断出动点P从点B出发，沿着BC匀速向终点C运动，线段EF的值大小变化情况．
本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出AP⊥BC时，线段EF的值最小是解题的关键．
12.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了勾股数，数式规律问题，满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数．
依据每列数的规律，即可得到a=n+12−1，b=2n+1，c=n+12+1，(n为正整数)，进而得出x+y的值．
【解答】
解：由题可得，3=22−1，4=2×2，5=22+1，
8=32−1，6=2×3，10=32+1，
15=42−1，8=2×4，17=42+1，
24=52−1，10=2×5，26=52+1，
……
∴a=n+12−1，b=2n+1，c=n+12+1，(n为正整数)
∴当c=n+12+1=65时，n=7，
∴x=(7+1)2−1=63，y=2×(7+1)=16，
∴x+y=79，
故选：C．
13.【答案】3 2
【解析】解：由题意得：2x−1=x+3，
解得：x=4，
∴ 3×4+6= 18=3 2．
故答案为：3 2．
根据题意可得 2x−1与 x+3是同类二次根式，并且被开方数相同，进而可得方程，再解即可．
此题主要考查了同类二次根式，关键是掌握把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．
14.【答案】3
【解析】解：x2−2x+2
=x2−2x+1+1
=(x−1)2+1，
当x= 2+1时，
原式=( 2+1−1)2+1
=( 2)2+1
=2+1
=3，
故答案为：3．
利用完全平方公式将原式进行变形，然后代入求值．
本题考查二次根式的化简求值，理解二次根式的性质，掌握完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2是解题关键．
15.【答案】3
【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴OA=OC，AD//BC，
∴∠AEO=∠CFO．
∵∠AOE=∠COF，
∴△AOE≌△COF，则S△AOE=S△COF，
∴S阴影=S△AOE+S△BOF+S△COD=S△COF+S△BOF+S△COD=S△BCD，
∴S△BCD=12BC⋅CD=12×3×2=3，故S阴影=3．
故答案为：3．
观察图形，阴影部分显然不规则，想想怎么将它们进行拼组，组成规则图形；首先结合矩形的性质可得OA=OC，∠AEO=∠CFO，试着证明△AOE≌△COF，进而可得△AOE与△COF的面积相等；接下来即可将阴影部分的面积转化为△BCD的面积．
本题考查了矩形的性质以及三角形的面积公式的运用，解题的关键是把阴影图形的面积补为一个直角三角形的面积．
16.【答案】(3,5)，(−3,1)，(1,−1)
【解析】解：①当AB为边且AB、AC为邻边时：如图1，
因为点A(−1,0)、B(2,2)，
所以点A先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得点B，
相应的点C先向右平移3个单位，再向上平移2个单位得点D，
∵C(0,3)，
∴D(3,5)；
②当AB为边且AB、AD为邻边时：如图2，
因为点B(2,2)、C(0,3)，
所以点B先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得点C，
相应的点A先向左平移2个单位，再向上平移1个单位得点D，
∵A(−1,0)，
∴D(−3,1)；
③当AB为对角线时：如图
因为点B(2,2)、C(0,3)，
所以点C先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得点B，
相应的点A先向右平移2个单位，再向下平移1个单位得点D，
∵A(−1,0)，
∴D(1,−1)；
故答案为：(3,5)，(−3,1)，(1,−1)．
需要分类讨论：以AB为边的平行四边形和以AB为对角线的平行四边形．
本题考查平行四边形的判定及点的平移问题，解题关键是准确作出对应图形，利用数形结合思想解决．
17.【答案】解：(1)原式=3 3−2 2+ 2−3 3
=− 2；
(2)原式=3−1+2 3−(3−4 3+4)
=3−1+2 3−3+4 3−4
=6 3−5．
【解析】(1)先化为最简二次根式，再合并同类二次根式；
(2)先展开，再去括号合并同类二次根式．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关运算的法则．
18.【答案】解：(1)∵一个三角形的三边长分别为5 x5，12 20x，54 4x5，
∴这个三角形的周长是：
5 x5+12 20x+54 4x5
= 5x+ 5x+ 5x2
=52 5x；
(2)当x=20时，这个三角形的周长是：52 5×20=52×10=25(答案不唯一)．
【解析】(1)把三角形的三边长相加，即为三角形的周长．运用二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并；
(2)根据(1)中的结果，选择一个符合题意的x的值即可解答本题．
本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是掌握二次根式的性质与运算法则．
19.【答案】解：(1)点M、N是线段AB的勾股分割点．
理由：∵AM=2，MN=4，BN=2 3，
∴AM2+BN2=22+(2 3)2=16，MN2=42=16，
∴AM2+NB2=MN2，
∴以AM、MN、NB为边的三角形是一个直角三角形．
∴点M、N是线段AB的勾股分割点．．
(2)设BN=x(x>0)，AB=12，AM=5，
则MN=AB−AM−BN=12−5−x=7−x，
①当MN为最大线段时，依题意MN2=AM2+NB2，
即(7−x)2=x2+25，解得x=127；
②当BN为最大线段时，依题意BN2=AM2+MN2．
即x2=25+(7−x)2，解得x=377．
综上所述BN的长为127或377．
【解析】本题考查勾股定理的逆定理，新定义，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，注意不能漏解．
(1)根据勾股定理逆定理即可判断．
(2)设BN=x(x>0)，则MN=AB−AM−BN=7−x，分两种情形①当MN为最大线段时，依题意MN2=AM2+NB2；②当BN为最大线段时，依题意BN2=AM2+MN2；分别列出方程即可解决问题．
20.【答案】解：(1)连结AC，
∵∠B=90°，AB=BC=2，
∴AC=2 2，∠BAC=45°，
∵AD=1，CD=3，
∴AD2+AC2=12+(2 2)2=9，CD2=9，
∴AD2+AC2=CD2，
∴△ADC是直角三角形，
∴∠DAC=90°，
∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=135°．
(2)在Rt△ABC中，S△ABC=12⋅BC⋅AB=12×2×2=2，
在Rt△ADC中，S△ADC=12⋅AD⋅AC=12×1×2 2= 2．
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ADC=2+ 2．
【解析】本题考查了等腰三角形的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理．解题的关键是连接AC，并证明△ACD是直角三角形．
(1)连接AC，由于∠B=90°，AB=BC=2，利用勾股定理可求AC，并可求∠BAC=45°，而CD=3，DA=1，易得AC2+DA2=CD2，可证△ACD是直角三角形，于是有∠CAD=90°，从而易求∠BAD；
(2)利用四边形ABCD的面积为△ABC和△ADC面积之和进行计算即可．
21.【答案】 5+2与 5−2(答案不唯一)
【解析】解：(1) 5+2与 5−2互为有理化因式，
故答案为： 5+2与 5−2(答案不唯一)；
(2)3 5− 2
=3( 5+ 2)( 5− 2)( 5+ 2)
= 5+ 2；
(3)1 3−1= 3+12，1 5− 3= 5+ 32，
∵ 3+12< 5+ 32，
∴1 3−1<1 5− 3．
(1)根据有理化因式的概念写出乘积不含二次根式的两个式子即可；
(2)分子，分母同时乘以分母的有理化因式即可；
(3)分母有理化后再比较．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的分母有理化．
22.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC+∠BCD=180°，
又∵BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，
∴∠GBC+∠GCB=12(∠ABC+∠BCD)=12×180°=90°，
∴∠EGF=90°，
又∵∠EFG=32°，
∴∠FEG=90°−32°=58°；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD//BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
同理可得：DF=CD，
∴AE=DF，即AF+EF=DE+EF，
∴AF=DE．
【解析】(1)根据平行四边形的性质以及角平分线的定义，即可得到∠EGF=90°，再根据三角形内角和定理，即可得到∠FEG的度数；
(2)根据平行四边形的性质可得：AB=CD，AD//BC，根据平行线性质和角平分线的定义求出∠ABE=∠AEB，推出AB=AE，同理求出DF=CD，即可证明AE=DF．
本题考查了平行四边形性质，等腰三角形的判定等知识的运用，能综合运用平行四边形的性质进行推理是解此题的关键．
23.【答案】解：(1)在菱形ABCD中，OC=12AC，AC⊥BD．
又∵DE=12AC，
∴DE=OC．
∵DE/​/AC，
∴四边形OCED是平行四边形．
∵∠COD=90°，
∴平行四边形OCED是矩形．
∴OE=CD．
(2)在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=8，AO=4．
∴在矩形OCED中，CE=OD= AD2−AO2=4 3．
又∵矩形DOCE中，∠OCE=90°，
∴在Rt△ACE中，AE= AC2+CE2= 82+(4 3)2=4 7．
【解析】(1)先求出四边形OCED是平行四边形，再根据菱形的对角线互相垂直求出∠COD=90°，证明OCED是矩形，可得OE=CD；
(2)根据菱形的性质以及勾股定理，得出AC与CE的长，再根据勾股定理得出AE的长度即可．
本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，熟记矩形的判定方法与菱形的性质是解题的关键．
24.【答案】74
【解析】{答案}解：(1)证明：如图1中，
∵AC⊥BD，
∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°，
由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2，
AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，
∴AB2+CD2=AD2+BC2；
(2)①连接PC、AQ交于点D，如图2，
∵△ABP和△CBQ都是等腰直角三角形，
∴PB=AB，CB=BQ，∠ABP=∠CBQ=90°，
∴∠PBC=∠ABQ，
∴△PBC≌△ABQ(SAS)，
∴∠BPC=∠BAQ，
又∵∠BPC+∠CPA+∠BAP=90°，
即∠BAQ+∠CPA+∠BAP=90°，
∴∠PDA=90°，
∴PC⊥AQ，
利用(1)中的结论：AP2+CQ2=AC2+PQ2
即(5 2)2+(4 2)2=32+PQ2；
∴PQ= 73．
②连接PC、AQ交于点D，如图3，
同①可证△PBC≌△ABQ(SAS)，AQ=PC且AQ⊥PC，
∵M、N分别是AC、AP中点，
∴MN=12PC，
∵MN=2 3，
∴AQ=PC=4 3．
延长QB作AE⊥QE，
则有AE2+BE2=25，AE2+QE2=48，
∵EQ=4+BE，
∴(4+BE)2−BE2=23，
解得BE=78，
∴S△ABC=12×BC×BE=12×4×78=74．
故答案为：74．
(1)利用勾股定理即可得出结论；
(2)①根据SAS可证明△PBC≌△ABQ，得∠BPC=∠BAQ，得∠PDA=90°，可求出PQ的长；
②连接PC、AQ交于点D，同①可证△PBC≌△ABQ，则AQ=PC且AQ⊥PC，由MN=2 3，可知AQ=PC=4 3.延长QB作AE⊥QE，求出BE的长，则答案可求出．
此题是四边形综合题，主要考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、中位线定理、垂直的定义、勾股定理的应用，正确理解垂美四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．