湖北省荆门市龙泉北校2022-2023学年八年级下学期期中考试数学试卷（含答案）

这是一份湖北省荆门市龙泉北校2022-2023学年八年级下学期期中考试数学试卷（含答案），共24页。
1．（3分）在平面直角坐标系中，点P（4，3）到原点的距离是（ ）
A．3B．4C．5D．7
2．（3分）下列二次根式中，可与合并的是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）下列各组数能构成直角三角形的是（ ）
A．3，4，6B．5，10，12C．4，6，8D．9，40，41
4．（3分）如图，AD＝1，点M表示的实数是（ ）
A．B．﹣C．3D．﹣3
5．（3分）若y＝++4，则（x﹣y）2023等于（ ）
A．1B．7C．﹣7D．﹣1
6．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥BC，AC与BD相交于O，若AB＝5，AD＝3，则BD的长为（ ）
A．2B．C．D．
7．（3分）如图，矩形ABCD中，E在AD上，且EF⊥EC，EF＝EC，DE＝2，矩形的周长为16，则AE的长是（ ）
A．3B．4C．5D．7
8．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（ ）
A．2B．3C．5D．6
9．（3分）如图，△ABC中，AB＝8，AD为∠BAC的外角平分线，且AD⊥CD于点D，E为BC的中点，若DE＝10，则AC的长为（ ）
A．12B．14C．16D．18
10．（3分）如图，△ABC为等腰Rt△，∠ACB＝90°，A，C，E在一条直线上，且四边形BCED为矩形，若∠ADE＝60°，BD＝2，M，N分别为AB，CE的中点，连接MN，则MN的长为（ ）
A．+1B．3C．2D．2
二.耐心填一填：你一定行1（每小题3分，共18分）
11．（3分）最简二次根式与能合并，则x＝
12．（3分）如果二次根式有意义，那么x的取值范围是 ．
13．（3分）如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝8，则EF的长为 ．
14．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过B作BE⊥AD于点E，已知AB＝5，AD＝7，BE＝4，则OE＝ ．
15．（3分）如图▱ABCD中，∠ABC＝60°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF＝2，则AB的长是 ．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，E，F分别是AB和DC上的两个动点，M为BC的中点，则DE+EF+FM的最小值是 ．
三、解答题（8+8+8+8+8+10+10+12＝72）
17．（8分）计算：
（1）；
（2）．
18．（8分）已知：a＝4+，b＝4﹣，求：
（1）a2+b2﹣3b值；
（2）若m为a整数部分，n为b小数部分，求的值．
19．（8分）在△ABC中，E是AC边上一点，线段BE垂直∠BAC的平分线于D点，点M为BC边的中点，连接DM．
（1）求证：DM＝CE；
（2）若AD＝6，BD＝8，DM＝2，求AC的长．
20．（8分）如图，在▱ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AD＝，AB＝4，EF＝3，试求四边形ABCD的面积．
21．（8分）如图，在矩形ABCD中，过对角线AC的中点O作AC的垂线，分别交射线AD和CB于点E，F，连接AF，CE．
（1）探究四边形AFCE的形状，并证明你的结论；
（2）若BC＝3，AB＝4，试求四边形AFCE的面积．
22．（10分）如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD、BE、BC于点P、O、Q，连接BP、EQ．
（1）求证：四边形BPEQ是菱形；
（2）若AB＝6，F为AB的中点，OF+OB＝9，求PQ的长．
23．（10分）如图，在矩形ABCD中，E是BC上一动点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G，AB＝3，AD＝4．
（1）如图1，当∠DAG＝30°时，求BE的长；
（2）如图2，当点E是BC的中点时，求线段GC的长；
（3）如图3，点E在运动过程中，当△CFE的周长最小时，直接写出BE的长．
24．（12分）平面直角坐标系中，矩形AOBC的顶点C的坐标为（m，n），m、n满足m﹣8＝+．
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）如图1，连接AB、OC交于点D，过点D作DM⊥DB交x轴于点M，求点M的坐标；
（3）如图2，E、F分别为OB、BC上的动点，以AE、EF为边作矩形AEFQ，连接EQ、CQ，当EQ＝2CQ时，求点Q的纵坐标．
参考答案与试题解析
一.慧眼识珠，挑选唯一正确答案，你一定很棒（每小题3分，共30分）
1．（3分）在平面直角坐标系中，点P（4，3）到原点的距离是（ ）
A．3B．4C．5D．7
【解答】解：∵点P的坐标是（4，3），
∴点P到原点的距离是：．
故选：C．
2．（3分）下列二次根式中，可与合并的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A选项，原式＝5，不能与合并，故该选项不符合题意；
B选项，原式＝2，能与合并，故该选项符合题意；
C选项，是最简二次根式，不能与合并，故该选项不符合题意；
D选项，是最简二次根式，不能与合并，故该选项不符合题意；
故选：B．
3．（3分）下列各组数能构成直角三角形的是（ ）
A．3，4，6B．5，10，12C．4，6，8D．9，40，41
【解答】解：A、∵32+42＝25，62＝36，
∴32+42≠62，
∴不能构成直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵52+102＝125，122＝144，
∴52+102≠122，
∴不能构成直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵62+42＝52，82＝64，
∴62+42≠82，
∴不能构成直角三角形，
故C不符合题意；
D、∵92+402＝1681，412＝1681，
∴92+402＝412，
∴能构成直角三角形，
故D符合题意；
故选：D．
4．（3分）如图，AD＝1，点M表示的实数是（ ）
A．B．﹣C．3D．﹣3
【解答】解：如图所示：∵AD＝1，AB＝3，∠CBA＝90°，
∴BC＝1，
由勾股定理得：AC＝＝，
∴AM＝AC＝．
\故选：A．
5．（3分）若y＝++4，则（x﹣y）2023等于（ ）
A．1B．7C．﹣7D．﹣1
【解答】解：y＝++4，
∴x﹣3≥0且6﹣2x≥0，
∴x≥3且x≤3，
∴x＝3，
∴y＝++4＝4，
∴（x+y）2023＝（3﹣4）2023＝﹣1，
故选：D．
6．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，AC⊥BC，AC与BD相交于O，若AB＝5，AD＝3，则BD的长为（ ）
A．2B．C．D．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC＝AD＝3，AD∥CB，
∵AC⊥BC，
∴，
∴AO＝CO＝2，
∴，
∴，
故选：A．
7．（3分）如图，矩形ABCD中，E在AD上，且EF⊥EC，EF＝EC，DE＝2，矩形的周长为16，则AE的长是（ ）
A．3B．4C．5D．7
【解答】解：∵矩形ABCD中，EF⊥EC，
∴∠DEC+∠DCE＝90°，∠DEC+∠AEF＝90°
∴∠AEF＝∠DCE，
又∵EF＝EC，
∴△AEF≌△DCE，
∴AE＝CD，
∵矩形的周长为16，即2CD+2AD＝16，
∴CD+AD＝8，
∴AD﹣2+AD＝8，
AD＝5，
∴AE＝AD﹣DE＝5﹣2＝3．
故选：A．
8．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4．点E在边AB上，点F在边CD上，点G、H在对角线AC上．若四边形EGFH是菱形，则AE的长是（ ）
A．2B．3C．5D．6
【解答】解；连接EF交AC于O，
∵四边形EGFH是菱形，
∴EF⊥AC，OE＝OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠D＝90°，AB∥CD，
∴∠ACD＝∠CAB，
在△CFO与△AOE中，
，
∴△CFO≌△AEO（AAS），
∴AO＝CO，
∵AC＝＝4，
∴AO＝AC＝2，
∵∠CAB＝∠CAB，∠AOE＝∠B＝90°，
∴△AOE∽△ABC，
∴，
∴，
∴AE＝5．
方法二：应连接EF得EF⊥AC 易证EF垂直平分AC 连接CE，得CE＝AE，
设CE＝AE＝x，EB＝8﹣x，BC＝4，利用勾股定理求得x＝5即可．
故选：C．
9．（3分）如图，△ABC中，AB＝8，AD为∠BAC的外角平分线，且AD⊥CD于点D，E为BC的中点，若DE＝10，则AC的长为（ ）
A．12B．14C．16D．18
【解答】解：延长BA、CD交于点F，
在△ADF和△ADC中，
，
∴△ADF≌△ADC（ASA），
∴CD＝DF，AC＝AF，
∵CD＝DF，CE＝EB，
∴BF＝2DE＝20，
∴AF＝BF﹣AB＝20﹣8＝12，
∴AC＝AF＝12，
故选：A．
10．（3分）如图，△ABC为等腰Rt△，∠ACB＝90°，A，C，E在一条直线上，且四边形BCED为矩形，若∠ADE＝60°，BD＝2，M，N分别为AB，CE的中点，连接MN，则MN的长为（ ）
A．+1B．3C．2D．2
【解答】解：如图，延长AE至G，使NG＝AN，连接BG，
∵AM＝MB，AN＝NG，
∴MN＝BG，MN∥BG，
∵N为CE的中点，
∴CN＝NE，
∴AE＝GC，
在△DAE和△BGC中，
，
∴△DAE≌△BGC（SAS），
∴AD＝BG，
∴AD＝2MN；
设AC＝BC＝DE＝x，
∵四边形BCED为矩形，
∴CE＝BD＝2，
∴AE＝x+2，
在Rt△ADE中，∠ADE＝60°，
∴∠DAE＝30°，
∴AD＝2DE＝2x，
由勾股定理得：AE＝＝，
则x＝x+2，
解得：x＝+1，
∴AD＝2x＝2+2，
∴MN＝AD＝+1．
故选：A．
二.耐心填一填：你一定行1（每小题3分，共18分）
11．（3分）最简二次根式与能合并，则x＝ 1
【解答】解：∵最简二次根式与能合并，
∴与是同类二次根式，
∴3﹣x＝3x﹣1，解得x＝1，
故答案为：1．
12．（3分）如果二次根式有意义，那么x的取值范围是 x≥4 ．
【解答】解：依题意有x﹣4≥0，
解得：x≥4．
故答案为：x≥4．
13．（3分）如图所示，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝8，则EF的长为 1.5 ．
【解答】解：∵DE为△ABC的中位线，∴AD＝BD，
∵∠AFB＝90°，
∴DF＝AB＝2.5，
∵DE为△ABC的中位线，
∴DE＝BC＝4，
∴EF＝DE﹣DF＝1.5，
故答案为：1.5．
14．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过B作BE⊥AD于点E，已知AB＝5，AD＝7，BE＝4，则OE＝ 2 ．
【解答】解：∵BE⊥AD，AB＝5，BE＝4，
∴在Rt△ABE中，由勾股定理得AE＝3，
∵AD＝7，
∴ED＝AD﹣AE＝4，
∴在Rt△DBE中，由勾股定理得BD＝＝4，
∵在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
∴O为BD的中点，
∴OE＝BD＝2，
故答案为：2．
15．（3分）如图▱ABCD中，∠ABC＝60°，E、F分别在CD和BC的延长线上，AE∥BD，EF⊥BC，EF＝2，则AB的长是 2 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，AB＝CD．
∵AE∥BD，
∴四边形ABDE是平行四边形．
∴AB＝DE＝CD，
∴D为CE中点．
∵EF⊥BC，
∴∠EFC＝90°．
∵AB∥CD，
∴∠DCF＝∠ABC＝60°．
∴∠CEF＝30°．
∵EF＝2，
∴tan30°＝＝＝，
∵CF＝2，
∴AB＝CF＝2．
故答案为：2．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，E，F分别是AB和DC上的两个动点，M为BC的中点，则DE+EF+FM的最小值是 17 ．
【解答】解：作点D的对称点D'，作点M关于CD的对称点M'，连接D'M'，D'E，FM'，
则DE+EF+FM＝D'E+EF+FM'，
∴当D'，E，F，M'在同一条直线上时，所求的DE+EF+FM最小，最小值即为D'M'的长．
过点M'作AD的垂线，交AD的延长线于点H，
∴HM'＝AB＝8，
∵M为BC的中点，AD＝BC＝6，
∴MC＝CM'＝DH＝3，AD'＝AD＝6，
∴HD'＝15，
∴D'M'＝＝＝17．
∴DE+EF+FM的最小值是17．
故答案为：17．
三、解答题（8+8+8+8+8+10+10+12＝72）
17．（8分）计算：
（1）；
（2）．
【解答】解：（1）
＝
＝；
（2）
＝﹣
＝﹣2．
18．（8分）已知：a＝4+，b＝4﹣，求：
（1）a2+b2﹣3b值；
（2）若m为a整数部分，n为b小数部分，求的值．
【解答】解：（1）∵a＝4+，b＝4﹣，
∴a2+b2﹣3b＝（4+）2+（4﹣）2﹣3（4﹣）＝16+8+5+16﹣8+5﹣12+3＝30+3；
（2）∵4＜5＜9，
∴2＜＜3，
∴6＜4+＜7，﹣3＜﹣＜﹣2，
∴1＜4﹣＜2，
∴m＝6，n＝4﹣﹣1＝3﹣，
∴＝＝＝＝3﹣．
19．（8分）在△ABC中，E是AC边上一点，线段BE垂直∠BAC的平分线于D点，点M为BC边的中点，连接DM．
（1）求证：DM＝CE；
（2）若AD＝6，BD＝8，DM＝2，求AC的长．
【解答】（1）证明：在△ADB和△ADE中，
，
∴△ADB≌△ADE（ASA）
∴AE＝AB，BD＝DE，
∵BD＝DE，BM＝MC，
∴DM＝CE；
（2）解：在Rt△ADB中，AB＝＝10，
∴AE＝10，
由（1）得，CE＝2DM＝4，
∴AC＝CE+AE＝14．
20．（8分）如图，在▱ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．
（1）求证：四边形AECF是平行四边形；
（2）若AD＝，AB＝4，EF＝3，试求四边形ABCD的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠CDF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，∠AEB＝∠CFD＝90°，
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF，
又∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形；
（2）解：由（1）可知，△ABE≌△CDF，
∴BE＝DF，
∴BE﹣EF＝DF﹣EF，
即BF＝DE，
设BF＝DE＝x，则BE＝BF+EF＝x+3，BD＝2x+3，
∵AE⊥BD，
∴∠AED＝∠AEB＝90°，
在Rt△ADE和Rt△ABE中，由勾股定理得：AE2＝AD2﹣DE2，AE2＝AB2﹣BE2，
∴AD2﹣DE2＝AB2﹣BE2，
即（）2﹣x2＝（4）2﹣（x+3）2，
解得：x＝1，
∴BD＝2x+3＝2+3＝5，AE＝＝4，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴S平行四边形ABCD＝2S△ABD＝2×BD•AE＝BD•AE＝5×4＝20．
21．（8分）如图，在矩形ABCD中，过对角线AC的中点O作AC的垂线，分别交射线AD和CB于点E，F，连接AF，CE．
（1）探究四边形AFCE的形状，并证明你的结论；
（2）若BC＝3，AB＝4，试求四边形AFCE的面积．
【解答】解：（1）四边形AFCE是菱形，
理由如下：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠EAO＝∠FCO，
∵AC的中点是O，
∴OA＝OC，
在△EOA和△FOC中，
，
∴△EOA≌△FOC（ASA），
∴OE＝OF，
∵OE＝OF，AO＝CO，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴四边形AFCE是菱形；
（2）∵四边形AFCE是菱形，
∴AF＝FC，
∵AF2＝AB2+BF2，
∴AF2＝16+（AF﹣3）2，
∴AF＝，
∴AF＝CF＝，
∴四边形AFCE的面积＝×4＝．
22．（10分）如图，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD、BE、BC于点P、O、Q，连接BP、EQ．
（1）求证：四边形BPEQ是菱形；
（2）若AB＝6，F为AB的中点，OF+OB＝9，求PQ的长．
【解答】（1）证明：∵PQ垂直平分BE，
∴PB＝PE，OB＝OE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠PEO＝∠QBO，
在△BOQ与△EOP中，
，
∴△BOQ≌△EOP（ASA），
∴PE＝QB，
又∵AD∥BC，
∴四边形BPEQ是平行四边形，
又∵QB＝QE，
∴四边形BPEQ是菱形；
（2）解：∵O，F分别为PQ，AB的中点，
∴AE+BE＝2OF+2OB＝18，
设AE＝x，则BE＝18﹣x，
在Rt△ABE中，62+x2＝（18﹣x）2，
解得x＝8，
BE＝18﹣x＝10，
∴OB＝BE＝5，
设PE＝y，则AP＝8﹣y，BP＝PE＝y，
在Rt△ABP中，62+（8﹣y）2＝y2，解得y＝，
在Rt△BOP中，PO＝＝，
∴PQ＝2PO＝．
23．（10分）如图，在矩形ABCD中，E是BC上一动点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G，AB＝3，AD＝4．
（1）如图1，当∠DAG＝30°时，求BE的长；
（2）如图2，当点E是BC的中点时，求线段GC的长；
（3）如图3，点E在运动过程中，当△CFE的周长最小时，直接写出BE的长．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，
∵∠DAG＝30°，
∴∠BAG＝60°
由折叠知，∠BAE＝∠BAG＝30°，
在Rt△BAE中，∠BAE＝30°，AB＝3，
∴BE＝
（2）如图，连接GE，
∵E是BC的中点，
∴BE＝EC，
∵△ABE沿AE折叠后得到△AFE，
∴BE＝EF，
∴EF＝EC，
∵在矩形ABCD中，
∴∠C＝90°，
∴∠EFG＝90°，
∵在Rt△GFE和Rt△GCE中，，
∴Rt△GFE≌Rt△GCE（HL），
∴GF＝GC；
设GC＝x，则AG＝3+x，DG＝3﹣x，
在Rt△ADG中，42+（3﹣x）2＝（3+x）2，
解得x＝．
（3）如图1，
由折叠知，∠AFE＝∠B＝90°，EF＝BE，
∴EF+CE＝BE+CE＝BC＝AD＝4，
∴当CF最小时，△CEF的周长最小，
而当CF⊥EF时，CF最小，
即：∠CFE＝90°，
∵∠AFE＝90°，
∴∠AFE+∠CFE＝180°，
∴点A，F，C在同一条直线上时，CF最小，
由折叠知，AF＝AB＝3，
在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝AD＝4，
∴AC＝5，
∴CF＝AC﹣AF＝2，
在Rt△CEF中，EF2+CF2＝CE2，
∴BE2+CF2＝（4﹣BE）2，
∴BE2+22＝（4﹣BE）2，
∴BE＝．
24．（12分）平面直角坐标系中，矩形AOBC的顶点C的坐标为（m，n），m、n满足m﹣8＝+．
（1）m＝ 8 ，n＝ 4 ；
（2）如图1，连接AB、OC交于点D，过点D作DM⊥DB交x轴于点M，求点M的坐标；
（3）如图2，E、F分别为OB、BC上的动点，以AE、EF为边作矩形AEFQ，连接EQ、CQ，当EQ＝2CQ时，求点Q的纵坐标．
【解答】解：（1）由有意义得：n﹣4≥0，
∴n≥4，
由有意义得：4﹣n≥0，
∴n≤4，
∴n＝4，
把n＝4代入m﹣8＝得：m＝8，
故答案为：4；8；
（2）连接AM，
在矩形ABCD中，DM⊥DB，
∴DM垂直平分AB，
∴AM＝BM，
设M点坐标为（m，0），则AM＝8﹣m，
在Rt△AOM中，m2+42＝（8﹣m）2，
解得：m＝3，
∴M（3，0）；
（3）如图，过点Q作QM⊥BC，交BC的延长线于M，连接AF，
∵四边形AEFQ是矩形，
∴AF＝EQ，PF＝PA＝，PE＝PQ＝，∠QAE＝∠AEF＝∠EFQ＝90°，AQ＝EF，
∴PF＝，
∵四边形AOBC是矩形，
∴∠ACB＝∠OBC＝∠AOB＝90°，
又∵PF＝PA，
∴PC＝PF＝，
∴PC＝，
∴PC＝PE＝PQ，
∴∠PEC＝∠PCE，∠PCQ＝∠PQC，
又∵∠PEC+∠ECQ+∠PQC+∠PCQ＝180°，
∴∠PEC+∠PCE+∠PCQ+∠PQC＝180°，
∴∠PCE+∠PCQ＝90°，
即∠ECQ＝90°，
∵EQ＝2CQ，
∴∠CEQ＝30°，
在Rt△AOE中，∠OAE＝30°，AO＝4，
∴OE＝AO•tan30°＝4×，
由△AOE≌△FMQ得，FM＝AO＝4，
∴BE＝BO﹣OE＝8﹣，
在Rt△BEF中，∠BEF＝30°，
∴BF＝，
∴BM＝BF+FM＝4+，
∴点Q的纵坐标为．