福建省武平县第一中学2023-2024学年高一下学期第一次（3月）月考数学试题(含答案)

这是一份福建省武平县第一中学2023-2024学年高一下学期第一次（3月）月考数学试题(含答案)，共8页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2.对于向量、，“”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
3.设、是不共线的两个非零向量，则下列四组向量不能作为基底的是（ ）
A．和B．与
C．与D．与
4.已知向量，，则
A. 52B. C. D. 3
5. 如图，在中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则（ ）
A B.
C. D.
6. 岳阳楼与湖北武汉黄鹤楼，江西南昌滕王阁并称为“江南三大名楼”，是“中国十大历史文化名楼”之一，世称“天下第一楼”．其地处岳阳古城西门城墙之上，紧靠洞庭湖畔，下瞰洞庭，前望君山．始建于东汉建安二十年(215年)，历代屡加重修，现存建筑沿袭清光绪六年(1880年)重建时的形制与格局．因北宋滕宗谅重修岳阳楼，邀好友范仲淹作《岳阳楼记》使得岳阳楼著称于世．自古有“洞庭天下水，岳阳天下楼”之美誉．小李为测量岳阳楼的高度选取了与底部水平的直线AC，如图，测得∠DAC＝30°，∠DBC＝45°，AB＝14米，则岳阳楼的高度CD约为(eq \r(2)≈1.414，eq \r(3)≈1.732)( )

A．18米 B．19米 C．20米 D．21米
7. 在中，，，，则的面积是（ ）
A．B．C．或D．或
8. 如图，是等腰直角斜边的三等分点，则等于（ ）

A．B．C．D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.已知任意的非零平面向量，，，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，下列结论中正确的选项有（ ）
A.在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形
B.若,则一定是等腰三角形
C.若,则一定是等边三角形
D. 若,则一定为直角三角形
11. 任何一个复数z＝a＋b（其中a、b∈R，为虚数单位）都可以表示成：的形式，通常称之为复数z的三角形式．法国数学家棣莫弗发现：，我们称这个结论为棣莫弗定理．根据以上信息，下列说法正确的是（ ）
A．当时， B．
C． D．在复平面内对应的点的坐标在第三象限
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若 ，则 ________．
13.设向量，且，则向量在向量方向上的投影向量是_______.
14. 托勒密(Ptlemy)是古希腊天文学家、地理学家、数学家，托勒密定理就是由其名字命名，该定理指出：圆的内接凸四边形两组对边乘积的和等于两条对角线的乘积．已知凸四边形ABCD的四个顶点在同一个圆的圆周上，AC，BD是其两条对角线，AB＝AD，∠BAD＝120°，AC＝6，则四边形ABCD的面积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）
(1).已知p，q为实数，若在复数范围内，1－i是关于x的方程x2＋px＋q＝0的一个根.求p＋q的值 .
(2).若复数为纯虚数，求的值．
（15分）
已知向量．
(1).求的坐标与；
(2).求向量与的夹角的余弦值；
(3).若与夹角为钝角,求的取值范围.

17.（15分）已知的内角,,的对边分别为，，，且．
(1).求；
(2).若，求的取值范围．
（17分）
在中,是边的中点,与交于点
(1).求；
(2).求.
（17分）
某大学科研团队在如下图所示的长方形区域内（包含边界）进行粒子撞击实验，科研人员在A、O两处同时释放甲、乙两颗粒子.甲粒子在A处按方向做匀速直线运动，乙粒子在O处按方向做匀速直线运动，两颗粒子碰撞之处记为点P，且粒子相互碰撞或触碰边界后爆炸消失.已知长度为6分米，O为中点.
(1).已知向量与的夹角为，且足够长.若两颗粒子成功发生碰撞，求两颗粒子运动路程之和的最大值；
(2).设向与向量的夹角为（），向量与向量的夹角为，甲粒子的运动速度是乙粒子运动速度的2倍.请问的长度至少为多少分米，才能确保对任意的，总可以通过调整甲粒子的释放角度，使两颗粒子能成功发生碰撞？
武平一中2023-2024学年第二学期高一年级第一次月考试卷
数学答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1-3．BBC，4.D 解：由题意得，.故选：D.
5-7A BC，8.D 解：由题意及图形：设三角形的直角边为3，则斜边为，又由于为三等分点，
所以，又，
在中有余弦定理得：，
在中，利用余弦定理得：，
在中利用同角间的三角函数关系可知：．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. BD. 10.ACD 11. AC 解：对A，由题意可知，当时，，所以，A正确；对B，，所以B错误；
对C，，，所以C正确；
对D，由，所以在复平面内对应的点的坐标在第四象限，D错误．故选：AC．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 13.
解：∵向量，且，，
，
14. 解:设,则,四边形的面积=
由托勒密定理得,⸫四边形的面积=
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）(1).p=-2，q=2， p＋q=0 .
(2).（2）
为纯虚数，，
或（舍去），即
16.（1），…………………………………………………………………………2分
…………………………………………………………………………3分
………………………………………………………………5分
（2）， …………………………………………………………………………6分
………………………………………………………7分
．……………………………………10分
………………………15分
17.(1).由正弦定理可变形为
，
，即，又 ；
(2).由正弦定理，，
又，，
所以， 即取值范围是.
18.(1).………………3分
法一：,则，
方法二：………………5分
由正弦定理得………………7分
；………………9分
(2).方法一：过点D作DH⟂AB,则H为BE中点，DH//CE，
方法二：以点E为原点建立如图直角坐标,
，，
又
方法三:设,,………………13分
.………………17分
19.(1).设两颗粒子在点相撞，在中，
由余弦定理得，即，
，，
即，，当且仅当时，等号成立，
所以两颗粒子运动路程和的最大值为；
(2).过作，垂足为，设，则，
由余弦定理可得，
，，，
，
当即时，即取得最大值，
易知恒成立，
，
的长度至少为分米，才能确保对任意的，总可以通过调整乙粒子的释放角度，使两颗粒子成功碰撞.