安徽省蚌埠市2024届高三下学期第三次教学质量检查数学试题

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本试卷满分150分，考试时间120分钟
注意事项：
1．答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2 己知平面向量，，且，则（ ）
A. 2B. C. D.
3. 已知曲线，则“”是“曲线C的焦点在x轴上”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 在中，角，，的对边分别为，，，已知，则（ ）
A. B. C. D.
5. 记数列的前n项和为，若是等差数列，，则（ ）
A. B. C. 0D. 4
6. 的展开式中，的系数为（ ）
A. 1B. 2C. 4D. 5
7. 在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为，且，则下面四种情形中，对应样本的标准差最小的一组是（ ）
A. B.
C D.
8. 已知抛物线，过其焦点F的直线交C于A，B两点，M为AB中点，过M作准线的垂线，垂足为N，若，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知函数在区间上单调递增，则的值可以是（ ）
A. B. 1C. D.
10. 科学研究表明，物体在空气中冷却的温度变化是有规律的．如果物体的初始温度为，空气温度保持不变，则t分钟后物体的温度（单位：）满足：．若空气温度为，该物体温度从（）下降到，大约所需的时间为，若该物体温度从，下降到，大约所需的时间分别为，则（ ）（参考数据：）
A B. C. D.
11. 已知正方体棱长为4，点N是底面正方形ABCD内及边界上的动点，点M是棱上的动点（包括点），已知，P为MN中点，则下列结论正确的是（ ）
A. 无论M，N在何位置，为异面直线B. 若M是棱中点，则点P的轨迹长度为
C. M，N存在唯一的位置，使平面D. AP与平面所成角的正弦最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 函数定义域为______.
13. 已知曲线和，若C与恰有一个公共点，则实数_________；若C与恰有两个公共点，则实数m的取值范围是_________．
14. 已知角A，B，C满足，其中符号表示不大于x的最大整数，若，则_________．
四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出说明文字、证明过程或演算步骤.
15. 已知双曲线的左顶点是，一条渐近线的方程为．
（1）求双曲线E的离心率；
（2）设直线与双曲线E交于点P，Q，求线段PQ的长．
16. 寒假期间小明每天坚持在“跑步3000米”和“跳绳2000个”中选择一项进行锻炼，在不下雪的时候，他跑步的概率为，跳绳的概率为，在下雪天，他跑步的概率为，跳绳的概率为．若前一天不下雪，则第二天下雪的概率为，若前一天下雪，则第二天仍下雪的概率为．已知寒假第一天不下雪，跑步3000米大约消耗能量330卡路里，跳绳2000个大约消耗能量220卡路里．记寒假第天不下雪的概率为．
（1）求，，的值，并证明是等比数列；
（2）求小明寒假第天通过运动锻炼消耗能量的期望．
17. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，侧面是以为底的等腰三角形，，E在上，．

（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值．
18. 已知函数．
（1）当时，证明：；
（2）若，求实数a的取值范围．
19. 对于无穷数列，我们称（规定）为无穷数列的指数型母函数．无穷数列1，1，…，1，…的指数型母函数记为，它具有性质．
（1）证明：；
（2）记．证明：（其中i为虚数单位）；
（3）以函数为指数型母函数生成数列，．其中称为伯努利数．证明：．且．