山东省淄博市2024届高三下学期一模考试数学试题

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1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座号等填写在答题卡和试卷指定位置上
2.回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5 分，共40分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.
1. 抛物线 的焦点坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据抛物线焦点坐标公式即可.
【详解】，即，则其焦点坐标为，
故选：A.
2. 某圆锥的侧面积为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的底面半径长为（ ）
A. 2B. 4C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设圆锥的母线长为，底面半径为，由题意得到求解.
【详解】设圆锥的母线长为，底面半径为，即侧面展开图的半径为，侧面展开图的弧长为.
又圆锥的底面周长为，所以，即圆锥的母线长.
所以圆锥的侧面积为，
解得
故选：C.
3. 记为等差数列的前项和，若，则（ ）
A. 20B. 16C. 14D. 12
【答案】D
【解析】
【分析】由等差数列的性质求得，然后依次求得，公差，最后求得．
【详解】∵是等差数列，
∴，，所以，
∴公差，
∴，
∴，
故选：D．
4. 已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A. 函数的最小正周期
B. 函数的图象关于点中心对称
C. 函数的图象关于直线对称
D. 函数在区间上单调递增
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用正弦函数的性质逐项判断即得.
【详解】对于A，函数最小正周期，A错误；
对于B，由，得函数f(x)的图象不关于点对称，B错误；
对于C，由，得函数f(x)的图象不关于直线对称，C错误；
对于D，当时，，而正弦函数在上单调递增，
因此函数在区间上单调递增，D正确.
故选：D
5. 小明设置六位数字的手机密码时，计划将自然常数…的前6位数字2，7，1，8，2，8进行某种排列得到密码.若排列时要求相同数字不相邻，且相同数字之间有一个数字，则小明可以设置的不同密码种数为（ ）
A. 24B. 16C. 12D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】分两个2之间是8和不是8两大类讨论即可.
【详解】若两个2之间是8，则有282817；282871；728281；128287；172828；712828；
828217；828271；782821；182827；178282；718282，共12种
若两个2之间是1或7，则有272818；818272；212878； 878212，共4种；
则总共有16种，
故选：B.
6. 在平面直角坐标系xOy中，已知向量 与 关于x轴对称，向量 若满足 的点A的轨迹为E，则（ ）
A. E是一条垂直于x轴的直线B. E是一个半径为1的圆
C. E是两条平行直线D. E 是椭圆
【答案】B
【解析】
【分析】设，由题有，，代入化简即可得出答案.
【详解】设，由题有，，
所以，，
所以，即，
所以点的集合是以为圆心，1为半径的圆.
其轨迹为半径为1的圆，
故选：B．
7. 若，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】合理换元，求出关键数值，结合诱导公式处理即可.
【详解】令，，得，则，
即，整理得，且，
那么，则.
故选：C.
8. 已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，P，Q是它们的两个公共点，且P，Q关于原点对称， 若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则 的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设出椭圆的长半轴长，双曲线的实半轴长为，然后根据焦点三角形顶角的余弦定理求解出的关系式，最后通过“1”的妙用求解出最小值.
【详解】如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，
则根据椭圆及双曲线的定义得：，
，设，
根据椭圆与双曲线的对称性知四边形为平行四边形，则，
则在中，由余弦定理得，，
化简得，即，
则
，
当且仅当，即时等号成立，
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用余弦定理得到，最后对原式变形再利用基本不等式即可求出其最小值.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列命题为真命题的是（ ）
A. 若样本数据的方差为2，则数据的方差为17
B. 一组数据8，9，10，11，12的第80百分位数是11.5
C. 用决定系数比较两个模型的拟合效果时，若越大，则相应模型的拟合效果越好
D. 以模型 去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，求得线性回归方程为，则c，k的值分别是和2
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据方差的性质即可判断A；根据百分位数计算公式即可判断B；根据决定系数的概念即可判断C；根据非线性回归方程的求法并结合对数运算性质即可判断D.
【详解】对A：若样本数据的方差为2，则数据的方差为，故A错误；
对B：，则其第80百分位数是，故B正确；
对C，根据决定系数的含义知越大，则相应模型的拟合效果越好，故C正确；
对D，以模型去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设，
则，由题线性回归方程为，则，故的值分别是和2，故D正确.
故选：BCD.
10. 已知非零复数，，其共轭复数分别为 则下列选项正确的是（ ）
A.
B.
C. 若，则 的最小值为2
D.
【答案】BD
【解析】
【分析】设，对A根据复数的乘法运算即可判断，对B根据共轭复数的概念和复数的加减即可判断；对C根据复数表示的几何意义即可判断；对D，根据复数的除法运算和复数模的计算即可判断.
【详解】设，
对A，，，
当至少一个为0时，，当均不等于0，，故A错误；
对B，，则，
而，故，故B正确；
对C，若，即，即，
即，则在复平面上表示的是以为圆心，半径的圆，
的几何意义表示为点到点的距离，显然，
则点在圆外，则圆心到定点的距离，
则点与圆上点距离的最小值为，故C错误；
对D，，，
，
而，故，故D正确；
故选：BD.
11. 把底面为椭圆且母线与底面都垂直的柱体称为“椭圆柱”.如图，椭圆柱(中椭圆长轴，短轴，为下底面椭圆的左右焦点，为上底面椭圆的右焦点，， P为线段上的动点，E 为线段上的动点，MN 为过点的下底面的一条动弦(不与AB重合)，则下列选项正确的是（ ）
A. 当平面时，为的中点
B. 三棱锥外接球的表面积为
C. 若点Q是下底面椭圆上的动点，是点Q在上底面的射影，且，与下底面所成的角分别为，则的最大值为
D. 三棱锥体积的最大值为8
【答案】ACD
【解析】
【分析】当平面时，可得，确定点位置判断选项A；几何法求三棱锥外接球的半径，计算表面积判断选项B；令，得，由求最大值判断选项C；由，要使三棱锥体积最大，只需的面积和到平面距离之和都最大，求结果判断选项D.
【详解】由题设，长轴长，短轴长，
则，
得分别是中点，而柱体中为矩形，连接，
由，，∴四边形为平行四边形，，
当平面时，平面，平面平面，
则，有，
中，是中点，则为的中点，A选项正确；
，，，则中，，，
外接圆半径为，
，则平面，
三棱锥外接球的半径为，
所以外接球的表面积为，B选项错误；
点Q是下底面椭圆上的动点，是点Q在上底面的射影，且，与下底面所成的角分别为，
令，则，又，
则，，，
，由椭圆性质知，
则当或时，的最大值为，C选项正确；
由，要使三棱锥体积最大，
只需的面积和到平面距离之和都最大，
，令，且，则，
，
当时，有最大值，
在下底面内以为原点，构建如上图的直角坐标系，且，则椭圆方程为，
设，联立椭圆得，，
，，
令，，
由对勾函数性质可知在上递增，，
综上，三棱锥体积的最大值为，D选项正确.
故选：ACD
【点睛】方法点睛：
本题是解析几何与立体几何的综合问题，解析几何部分要用好椭圆的定义、方程和性质，确定图形中各点的位置，利用韦达定理解决弦长；椭圆中立体几何部分要用好几何体的结构特征，利用线面平行的性质得线线平行，几何法解决外接球问题，几何法求线面角.
三、填空题：本题共3 小题，每小题5分，共 15分.
12. 已知等比数列共有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则公比q=__________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据给定条件，借助等比数列定义求解即得.
【详解】依题意，，即，
而，所以.
故答案为：2
13. 已知定义在上的函数，为的导函数，定义域也是 R，`满足，则 _______.
【答案】
【解析】
【分析】求导得到，赋值累加即可.
【详解】对两边同时求导得
，
即，
则，，
则.
故答案为：.
14. 设方程，的根分别为p，q，函数 ，令 则a，b，c的大小关系为___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用反函数性质求出，再计算判断即得.
【详解】由，得，由，得，
依题意，直线与函数图象交点的横坐标分别为，
而函数互为反函数，它们的图象关于直线对称，又直线垂直于直线，
因此直线与函数图象的交点关于直线对称，即点在直线上，
则，，于是，
，而，
所以，即.
故答案为：
【点睛】结论点睛：同底指数函数与对数函数互为反函数，它们的图象关于直线对称.
四、解答题：本题共5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 如图，在△ABC中，的角平分线交 BC于P点，.
（1）若，求△ABC的面积;
（2）若，求BP的长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理和三角形面积公式即可求出答案；
（2）首先利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出，再根据三角恒变换求出，最后再根据正弦定理即可.
【小问1详解】
中，设角A、B、C的对边分别为、、，
在中由余弦定理得，
即①
因，即，
整理得②
①②解得，
所以.
【小问2详解】
因为，
所以在中由余弦定理可得，
所以
解得，
由正弦定理得，
即，解得，
所以，
中由正弦定理得，则，
解得，
所以.
16. 如图，多面体ABCDEF是由一个正四棱锥与一个三棱锥拼接而成，正四棱锥A-BCDE的所有棱长均为.
（1）在棱DE上找一点G，使得面面AFG，并给出证明;
（2）当时，求点F到面ADE的距离;
（3）若，求直线DF与面ABC所成角的正弦值.
【答案】（1）当点为中点时，证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）当点为中点时，面面，利用面面垂直的判定即可证明；
（2）首先证明面，再利用等体积法即可；
（3）建立合适的空间直角坐标系，利用线面角的空间向量求法即可.
【小问1详解】
当点为中点时，面面，
证明如下：因为四棱锥是正四棱锥，所以.
在正方形中，，所以，
在正方形中，，因为，所以，
因为面，
所以面，
因为面，所以面面.
【小问2详解】
连接，交于点，连接，，则，
又因为四棱锥是正四棱锥，所以面，
所以四边形为矩形，
，又，面，面，
又，
设点到面的距离为，即，
，所以，点到面的距离为.
【小问3详解】
因为四棱锥是正四棱锥，所以，，两两垂直，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的法向量为，则有
取，则，故，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为.
17. 已知函数
（1）讨论函数在区间上的单调性;
（2）证明函数在区间上有且仅有两个零点.
【答案】（1）单调递增；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，再判断导函数值的正负即得.
（2）利用导数，结合零点存在性定理推理论证即可.
【小问1详解】
函数，当时，，
所以在上的单调递增.
【小问2详解】
由（1）知，，当时，，函数在上单调递增，
，，因此函数在上有唯一零点；
当时，令，求导得，在上单调递增，
，则存在，使得，
当时，，函数，即单调递减，
当时，，函数，即单调递增，
又，，则存在，使得，
当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，
而，，因此函数上有唯一零点，
所以函数在区间上有且仅有两个零点.
18. 为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查.统计其中400名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表.
（1）若把年龄在的锻炼者称为青年，年龄在的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低，不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据小概率值的独立性检验判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联；
（2）从每周体育锻炼5次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为，求ξ的分布列与期望；
（3）已知小明每周的星期六、星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在跑步、篮球、羽毛球3种运动项目中选择一种，已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如果星期六选择跑步、篮球、羽毛球，则星期天选择跑步的概率分别为 ，求小明星期天选择跑步的概率.
参考公式：
附：
【答案】（1）有关 （2）分布列见解析；期望为
（3）
【解析】
【分析】（1）求出卡方值并与临界值比较即可得到结论；
（2）根据步骤列出分布列，利用数学期望公式即可得到答案；
（3）利用全概率公式即可得到答案.
【小问1详解】
α
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6635
7.879
10.828
零假设：体育锻炼频率高低与年龄无关，
由题得列联表如下：
，
根据小概率值的独立性检验推断不成立，
即认为体育锻炼频率的高低与年龄有关，此推断犯错误的概率不大于0.01.
【小问2详解】
由数表知，利用分层抽样的方法抽取的8人中，年龄在内的人数分别为1，2，
依题意，的所有可能取值分别为为0，1，2，
所以，
，
，
所以的分布列：：
所以的数学期望为.
【小问3详解】
记小明在某一周星期六选择跑步、篮球、羽毛球，分别为事件A，B，C，
青年
中年
合计
体育锻炼频率低
125
95
220
体育锻炼频率高
75
105
180
合计
200
200
400
0
1
2
星期天选择跑步为事件，则，
，
所以
所以小明星期天选择跑步的概率为.
【点睛】关键点点睛：本题第3问的解决关键是熟练掌握全概率公式，从而得解.
19. 在平面直角坐标系xOy中，点.点是平面内的动点.若以PF 为直径的圆与圆 相切，记点 P 的轨迹为曲线C.
（1）求C的方程;
（2）设点，直线 AM ，AN 分别与曲线C交于点S，T (S，T 异于 A)，过点A作，垂足为 H，求的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设，根据代入坐标化简得到轨迹方程；
（2）设直线，将其与双曲线方程联立得到韦达定理式，求出的纵坐标，从而有，代入韦达定理式化简得，从而得到直线所过定点，得到点轨迹方程，从而得到最大值.
【小问1详解】
设，则的中点，
根据题意得，
即，
整理得，
化简整理，得点的轨迹方程.
【小问2详解】
设，
由对称性可知直线的斜率存在，所以可设直线，
联立直线与曲线的方程，得，
消元整理，得，
则，①
②
所以，令，得点纵坐标，
同理可得点纵坐标，故，
将代入上式整理，得，
将②代入得，
若，则直线，恒过不合题意；
若，则，恒过，
因为直线恒过，且与始终有两个交点，又，
，垂足为，所以点轨迹是以为直径的圆（不含点），
设中点为，则圆心，半径为1，所以，
当且仅当点在线段上时，取最大值.
【点睛】关键点点点睛：本题第二问的关键是采用设线法联立双曲线方程得到韦达定理式，再代入化简求出直线恒过，则得到点轨迹，最后求出最值,