云南省保山市腾冲市民族中学2023-2024学年高二下学期开学摸底考试数学试卷(A卷)

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【满分：100分】
一、单项选择题（共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）
1. 函数在点处的切线方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先对函数求导，利用导数的几何意义求出切线的斜率，再根据条件即可求出结果.
【详解】因为，所以，故，
由导数的几何意义知，函数在点处的切线方程为，即.
故选：B.
2. 已知等差数列的前项和为，且，，则当取得最大值时，（ ）
A. 37B. 36C. 18D. 19
【答案】C
【解析】
【分析】利用等差数列的性质与前项和公式推得，，从而得解.
【详解】因为，
，
所以，，从而当时，取得最大值．
故选：C.
3. 在直角坐标平面内，点到直线的距离为3，点到直线的距离为2，则满足条件的直线的条数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】将问题转化为求以点为圆心，以3为半径的圆和以点为圆心，以2为半径的圆的公切线的条数求解.，
【详解】到点距离为3的直线可看作以A为圆心3为半径的圆的切线，
同理到点距离为2的直线可看作以B为圆心2为半径的圆的切线，
故所求直线为两圆的公切线，
又，
故两圆外切，
所以公切线有3条，
故选：C
4. 直线（）截圆所得弦长的最小值是（ ）
A. 2B. C. 4D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】求出直线过的定点、圆的圆心坐标及半径，再利用圆的性质及弦长公式计算即得.
【详解】依题意，直线过定点，圆的圆心，半径，
，即点在圆内，当且仅当直线与直线垂直时，直线截圆所得弦长最短，
所以所求最短弦长为.
故选：C
5. 阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若焦点在轴上的椭圆的离心率为，面积为，则椭圆的标准方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设出椭圆方程，由题意可得，结合离心率以及的关系，可得出答案.
【详解】设椭圆的标准方程为，焦距为，
依题意有，解得，，∴椭圆的标准方程为，
故选：C．
6. 若双曲线（，）的一条渐近线经过点，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出渐近线方程，得到，从而得到离心率.
【详解】由题意得的渐近线方程为，
显然在上，故，
故，
即双曲线的离心率为.
故选：A
7. 等差数列的首项为1，公差不为0，若成等比数列，则前6项的和为（ ）
A. B. C. 3 D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】设等差数列的公差，由成等比数列求出，代入可得答案.
【详解】设等差数列的公差，
∵等差数列的首项为1， 成等比数列，
∴，
∴，且，，
解得，
∴前6项的和为.
故选：A.
8. 如图，在正三棱柱中，若，则点到直线的距离为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】取中点，以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.
【详解】取的中点，则，
以为原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，
所以，
所以在上的投影的长度为，
故点到直线的距离．

故选：B.
二、多项选择题（共4小题，每小题4分，共16分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）
9. 已知直线与圆，则（ ）
A. 直线的倾斜角是
B. 圆的半径是4
C. 直线与圆相交
D. 圆上的点到直线的距离的最大值是7
【答案】BCD
【解析】
【分析】对于A：求出直线的斜率即可得倾斜角；对于B：求出圆的标准式即可；对于CD：求出圆心到直线的距离即可判断.
【详解】直线，即，斜率为，则倾斜角是，错误；
圆，即，圆心为，半径为4，正确；
圆心到直线的距离，则直线与圆相交，故正确；
圆上的点到直线的距离的最大值为，则正确.
故选：BCD.
10. 已知、，则下列命题中正确的是（ ）
A. 平面内满足的动点P的轨迹为椭圆
B. 平面内满足的动点P的轨迹为双曲线的一支
C. 平面内满足的动点P的轨迹为抛物线
D. 平面内满足的动点P的轨迹为圆
【答案】AD
【解析】
【分析】由椭圆定义可直接判定选项A；由双曲线的定义可直接判定选项B；由抛物线的定义可直接判定选项C；设点，列式化简即可判定选项D；
【详解】对于选项A,有、，且,由椭圆定义可知选项A正确;
对于选项B,有、，且,轨迹为射线，不符合双曲线的定义可知选项B错误;
对于选项C,有、，且,轨迹为线段的垂直平分线，不符合抛物线的定义可知选项C错误;
对于选项D,有、，且,设点，则，化简可得，可知选项D正确;
故选：AD
11. 已知复数，，，则（ ）
A. B. 的实部依次成等比数列
C. D. 的虚部依次成等差数列
【答案】ABC
【解析】
【分析】由题意由复数乘除法分别将化简，再由复数加法、共轭复数的概念即可判断A；复数的实部、虚部以及等差数列、等比数列的概念即可判断BD，由复数模的运算即可判断C.
【详解】因为，，所以，所以，故A正确；
因为，，的实部分别为1，3，9，所以，，的实部依次成等比数列，故B正确；
因为，，的虚部分别为，，1，所以，，的虚部依次不成等差数列，故D错误；
，故C正确.
故选：ABC.
12. 已知函数，则下列各选项正确的是（ ）
A. 在区间上单调递增B. 是偶函数
C. 的最小值为1D. 方程无解
【答案】BC
【解析】
【分析】由函数的基本性质可判断ABC，由零点存在性定理可判断D.
【详解】因为，
所以，所以为偶函数，B正确；
当时，，令，
则，故与均为减函数，
所以在区间上单调递减，A错误；
由偶函数对称性可知，在区间上单调递增，
所以，C正确；
令，所以，
由零点存在性定理可知方程有解，D错误.
故选：BC.
三、填空题（共4小题，每小题4分，共16分．）
13. 数列满足：，则_________．
【答案】512
【解析】
【分析】根据题意可得，进而可得，故从第二项开始，数列是以公比为2的等比数列，结合等比数列的求和公式运算求解.
【详解】当时，则；
当时，可得，且，
则，
可得：从第二项开始，数列是以公比为2的等比数列，
综上所述：.
故答案为：512.
14. 如图，已知二面角的平面角大小为，四边形，均是边长为4的正方形，则________．

【答案】
【解析】
【分析】由，两边平方，利用数量积运算性质计算即可.
【详解】因为，
所以
又二面角的平面角大小为，
四边形，均为边长为4正方形，
所以，
，
，
所以，则．
故答案为：
15. 在一平面直角坐标系中，已知点，现沿x轴将坐标平面折成60°的二面角，则折叠后A，B两点间的距离为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】作轴于点，作轴于点，将用表示，再根据数量积的运算律结合向量的模的计算公式计算即可.
【详解】解：如图为折叠后的图形，作轴于点，作轴于点，
则异面直线所成的角为，即的夹角为，
，
，
则
，
即折叠后A，B两点间距离为.
故答案为：.
16. 抛物线y2＝4x的焦点为F，点A(2，1)，M为抛物线上一点，且M不在直线AF上，则△MAF周长的最小值为____．
【答案】3＋
【解析】
【分析】过M作MN垂直于抛物线的准线l，由抛物线的定义得到MF|＋|AM|＝|AM|＋|MN|，然后由A、M、N三点共线时求解.
【详解】如图所示，
过M作MN垂直于抛物线的准线l，垂足为N．易知F(1，0)，
因为△MAF的周长为|AF|＋|MF|＋|AM|，
|AF|＝，|MF|＋|AM|＝|AM|＋|MN|，
所以当A、M、N三点共线时，△MAF的周长最小，
最小值为2＋1＋．
故答案为：3＋
四、解答题（共4小题，其中第17～18题每题各8分，第19～20题每题各10分，共36分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17. 已知等比数列的公比，若，且分别是等差数列的第1，3，5项.
（1）求数列和的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等差、等比数列的知识求得首项和公差、公比，从而求得.
（2）利用错位相减求和法求得.
【小问1详解】
由题意得，，
，，解得（舍去）
则，解得，所以.
则，
设等差数列的公差为，则，
所以
【小问2详解】
.
所以，
两式相减得，
.
18. 如图，在边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是BC的中点，F是DD1的中点，
（1）求证：CF∥平面A1DE；
（2）求平面A1DE与平面A1DA夹角的余弦值．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】（1）以D为原点，分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法能证明CF∥平面A1DE．
（2）求出平面A1DE的法向量和平面A1DA的法向量，利用向量法能求出平面A1DE与平面A1DA夹角的余弦值．
【详解】证明：（1）以D为原点，分别以DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则A（2，0，0），A1（2，0，2），E（1，2，0），D（0，0，0），B1（2，2，2），
则，
设平面A1DE的法向量是
则，取，
∴
所以CF∥平面A1DE．
解：（2）是面A1DA的法向量，
∴
即平面A1DE与平面A1DA夹角的余弦值为．
【点睛】本题考查线面平行的证明，考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
19. 在平面直角坐标系中，点分别在轴，轴上运动，且，动点满足.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）设直线与曲线交于，两点，且，求实数的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据相关点法求轨迹方程,求出结果即可；
（2）将直线方程与椭圆联立，结合韦达定理，表示出，求实数的值即可.
【小问1详解】
设，，，
，，
，即，
，，
动点的轨迹的方程.
【小问2详解】
设，
联立,可得：，
由得，化简得,
又因为，，，
所以，
即，
化简得，满足，
所以.
20. 已知圆C过点，圆心在x轴正半轴上，且与直线相切．
求圆C的标准方程；
已知过点的直线1交圆C于A、B两点，且，求直线1的方程．
【答案】：;或.
【解析】
【分析】由题意设圆心坐标为，利用半径相等列式求得a，进一步求得半径，则圆的方程可求；当直线的斜率不存在时，可得直线方程为，符合题意；当直线的斜率存在时，设出直线方程，结合垂径定理求解．
【详解】由题意设圆心坐标为，
由题意，，解得舍或．
圆的半径为．
则圆C的标准方程为；
若斜率不存在，则直线方程为，
弦心距，半径为，
则，符合题意．
若斜率存在，设直线方程为，即．
弦心距，得，
解得：，直线方程为．
综上所述，直线l的方程为或．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系及其应用，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理.