北京市第一六一中学2023-2024学年高二下学期开学测试数学试题

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2024.2
班级______姓名______学号______.
本试卷共2页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效.
一､选择题：本大题共12道小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求.把正确答案涂写在答题卡上相应的位置.
1. 直线的倾角为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知平行六面体，则下列四式中错误的是（ ）
A.
B.
C.
D.
3. 的展开式中的各项系数和是（ ）
A. B. C. D.
4. 椭圆的焦距为2，则为（ ）
A. 5或13B. 5C. 8或10D. 8
5. 在平面直角坐标系中，抛物线上纵坐标为1的点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为（ ）
A. 2B. 8C. D. 4
6. 下列函数中,在区间上为增函数是
A. B.
C. D.
7. 若双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为
A. 2B. C. D.
8. 从高二年级的5名同学中选派4人作为志愿者分别承担4项不同的公益工作，若其中甲､乙两人只能从事其中的两项工作，其余三人均能从事这4项工作，则不同的选派方案共有（ ）
A. 48种B. 12种C. 18种D. 36种
9. 椭圆的左右焦点分别为，过与长轴垂直的直线与椭圆交于两点，若为等边三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
10. “方程表示双曲线”是“”（ ）
A 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
11. 已知直线与圆，则直线与圆的位置关系是（ ）
A 相离B. 相切C. 相交D. 不能确定
12. 如图，在棱长为1的正方体中，为线段上的点，且，点在线段上，则点到直线距离的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二､填空题：本大题共6小题，共30分.把答案填在答题纸中相应的横线上.
13. 的展开式中的常数项是___________.
14. 已知双曲线，则双曲线的离心率为______；直线与双曲线相交于两点，则______.
15. 已知点在抛物线上，则点到直线的距离和到直线的距离之和的最小值为______.
16. 如图，在正方体中，点是平面内一点，且平面，则的最大值为______.
17. 设命题：已知，，，，满足的所有点都在轴上.能够说明命题是假命题的一个点的坐标为______.
18. 在平面直角坐标系中，动点到两坐标轴的距离之和等于它到定点的距离，记点的轨迹为.给出下面四个结论：①曲线关于原点对称；②曲线关于直线对称；③点在曲线上；④在第一象限内，曲线与轴的非负半轴、轴的非负半轴围成的封闭图形的面积小于.其中所有正确结论的序号是______.
三､解答题：本大题共4题，共60分.把答案填在答题纸中相应的位置上.
19. 已知在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，平面，分别是 的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求平面与平面所成锐二面角的大小．
20. 已知椭圆的离心率，椭圆上任意一点到椭圆的两个焦点的距离之和为4.若直线过点，且与椭圆相交于不同的两点.
（1）求椭圆标准方程；
（2）若线段中点的纵坐标，求直线的方程.
21. 在如图所示的几何体中，四边形为正方形，平面，，，．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）在棱上是否存在一点，使得平面平面？如果存在，求的值；如果不存在，说明理由．
22. 已知椭圆的离心率等于，经过其左焦点且与轴不重合的直线与椭圆交于两点.
（1）求椭圆的方程；
（2）为原点，在轴上是否存在定点，使得点到直线的距离总相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.