山西省晋中市太谷中学校2023-2024学年高二下学期开学模拟考数学试卷

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1. 设集合，，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出或，再由集合的交、并、补进行运算即可.
【详解】由题可知或，所以，
因为，所以.
故选：A
2. 已知，那么命题的一个充分不必要条件是 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据充分、必要条件的定义对每个选择进行分析即可求解．
【详解】，根据充分条件、必要条件的定义可知：
对于A，是p的充要条件；
对于B，是p既不充分也不必要条件；
对于C，是p的必要不充分条件；
对于D，是p的充分不必要条件．
故选：D
3. 已知幂函数是上偶函数，且函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据幂函数的定义与奇偶性求出的值，可得出函数的解析式，再利用二次函数的单调性可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围.
【详解】因为幂函数是上的偶函数，
则，解得或，
当时，，该函数是定义域为的奇函数，不合乎题意；
当时，，该函数是定义域为的偶函数，合乎题意.
所以，，则，其对称轴方程为，
因为在区间上单调递增，则，解得.
故选：B．
4. 若函数在具有单调性，则a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据导数与函数的单调性的关系进行求解即可.
【详解】由，
当函数在单调递增时，
恒成立，得，设，
当时，单调递增，
当时，单调递减，所以，
因此有，
当函数在单调递减时，
恒成立，得，设，
当时，单调递增，
当时，单调递减，所以，
显然无论取何实数，不等式不能恒成立，
综上所述，a的取值范围是，
故选：C
5. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A.
B. 直线是的一条对称轴
C. 的最小正周期是
D. 将的图象右移个单位后得到的图象关于原点对称
【答案】B
【解析】
【分析】根据二倍角的余弦公式和辅助角公式可得，结合正弦函数的对称轴、最小正周期和图象的平移变换，以及三角函数的奇偶性依次判断选项即可.
【详解】A：
.
故A错误；
B：由选项A知，
，
所以是函数的一条对称轴，故B正确；
C：函数的最小正周期为，故C错误；
D：函数的图象向右平移个单位，得，
函数图象关于y轴对称，故D错误.
故选：B.
6. 将函数图象向左平移后，得到的图象，若函数在上单调递减，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角函数的图象变换及单调性计算即可.
【详解】向左平移，
得，
当时，，
因为在上单调递减，
所以，解得，
又，故.
故选：D
7. 设a，b，c分别是中内角A，B，C的对边，且，则（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】由余弦定理变形后，正弦定理化边为角，再由诱导公式，同角关系式变形可得.
【详解】由得，所以，
由正弦定理得，
，
所以2.
故选：B.
8. 在中，，，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，建立平面直角坐标系，设，求得，再设，转化为三角函数的最值问题，即可求解.
【详解】在中，，，，
以为坐标原点，所在的直线分别为轴和轴，建立平面直角坐标系，
如图所示，
则，设，
因为，所以，
又由，
所以，
设，
则，其中，
当时，取得最小值；
当时，取得最小值，
所以的取值范围为.
故选：D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 对于函数，下列说法正确的是（ ）
A. 在处取得极大值；
B. 有两个不同的零点；
C.
D.
【答案】AC
【解析】
【分析】A选项，对函数求导，可以判断出单调区间，即可求得极值；
B选项，令函数，求得零点；C选项，根据A选项得到的单调性来比较大小即可；D选项，根据单调性可知，代入即可比较大小.
【详解】的定义域为，且.令，得在上单调递增，在上单调递减，因此在处取得极大值正确.
令，解得，故函数有且仅有一个零点，错误.
由在上单调递减，得，则正确.
因为，即，所以，则错误.
故选：AC.
10. 设函数在上存在导函数，对于任意的实数，都有，当时，，，且，若，则实数的可能取值为（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】ABC
【解析】
【分析】构造函数，进而可判断的奇偶性和单调性，即可求解.
【详解】设，则，
由于，所以为偶函数，
且当时，，所以在单调递减，在单调递增，且，
故由可得，所以，
故选：ABC
11. 在中，内角所对的边分别为，下列与有关的结论，正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则是等腰直角三角形
C. 若是锐角三角形，则
D. 若，，分别表示，的面积，则
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据正弦定理，求得，可判定A正确；根据正弦定理化简，进而可判定B错误；
根据题意，得到，结合在为单调递减函数，可判定C正确，
设的中点为，的中点为，根据向量的运算，得到，结合三角形的面积公式，可判定D正确.
【详解】对于A中，因为，设外接圆的半径为,可得，
又由，所以A正确；
对于B中，因为，由正弦定理得，即，
因，可得或，即或，
所以是等腰三角形或直角三角形，所以B不正确；
对于C中，由是锐角三角形，可得，即，
因为是锐角三角形，可得，
又因为在为单调递减函数，所以，所以C正确；
对于D中，如图所示，设的中点为，的中点为，
因为，即，
可得，即，所以点是上靠近的三等分点，
所以点到的距离等于到的，
又由到的距离为点到的距离的倍，
所以到的距离等于点到距离的，
由三角形的面积公式，可得，即，所以D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 设，是两个不共线的向量，已知，，，若，，三点共线，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】由，可得，结合，不共线，列方程组求解即可.
【详解】由，，三点共线，可得，
又，，
则，又，不共线，
则，解得．
故答案为：．
13. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则的最大值为________．
【答案】##
【解析】
【分析】写出的表达式，利用余弦定理和基本不等式即可求出最大值.
【详解】由题意，

, 所以消去 得
，
由, 得 ，当且仅当时等号成立，
∴，
∴原式
故答案为：.
14. 在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足，记的面积为，外接圆的面积为，则______.
【答案】
【解析】
【分析】先根据两角和与差正弦公式化简，再利用正弦定理求面积比值.
【详解】因为，
所以.
设外接圆的半径为R，
则.
故答案为：
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知函数，（其中）．
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若对于任意，都有成立，求的取值范围．
【答案】（1）单调增区间为和，单调减区间为
（2）
【解析】
【分析】（1）先求导数，利用导数与函数的单调性即可求得结果；
（2）利用导数求解函数的最值，结合不等式的恒成立问题可得答案.
【小问1详解】
若，则，
，
令，可得或，令，可得，
所以单调增区间为和，单调减区间为.
【小问2详解】
因为对于任意，都有成立，
所以对于任意，都有成立,
即对于任意，；
因为，所以对于任意，.
设，其中，则，
因为，所以，所以，
因此在单调递增，所以，
所以，即，故的取值范围为.
16. 在中，角所对边分别为，，，已知，，．
（1）求的面积；
（2）函数，求函数的最大值，并写出相应的的值.
【答案】（1）3 （2）最大值为，相应的
【解析】
【分析】（1）由正弦定理得到，进而求出；
（2）在（1）的基础上，结合三角恒等变换得到，由求出时取得最大值，得到答案.
【小问1详解】
因为，由正弦定理得，
因为，所以，
因，所以，
故；
【小问2详解】
由（1）知，，
故
，
因为，所以，
故当，即时，取得最大值，
最大值为，相应的.
17. 已知函数.
（1）求的最小值及取得最小值时的取值集合；
（2）若的图象向右平移个单位后得到的函数恰好为偶函数，求的最小值．
【答案】（1）最小值为－2，此时
（2）．
【解析】
【分析】（1）对三角函数合一后进行最小值得分析即可；
（2）利用偶函数求出的值，再求出最小值即可.
【小问1详解】
因为，
所以当即时，取得最小值－2，
所以的最小值为－2，此时x的取值集合为；
【小问2详解】
设的图象向右平移个单位后得到函数，
则，
因为偶函数，所以，
即， 展开可得，
所以恒成立，所以，
所以，
又因为，所以．
18. 已知函数.
（1）求在上的单调递增区间；
（2）若当时，关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换先化简函数解析式，结合三角函数的性质计算即可；
（2）利用三角函数的性质求即可.
【小问1详解】
易知原式可化为
.
由，得，
所以的单调递增区间为，
取及则在上的单调递增区间为；
【小问2详解】
由题设知，
当时，，
则，即，
所以.
19. 已知函数.
（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求出这条切线的方程；
（2）讨论函数的单调性.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）求导，根据导函数几何意义和平行关系得到方程，求出，从而得到，求出切线方程；
（2）求定义域，求导，对导函数因式分解，分，和三种情况，讨论得到函数的单调性.
【小问1详解】
，
由已知，
∴得
又
∴曲线在点处的切线方程为
化简得：
【小问2详解】
定义域为R，
，令得或
①当即时，
令得或，令得，
故在单调递减，在，上单调递增；
②当即时，恒成立，
故在R上单调递增；
③当即时，
令得或，令得，
在上单调递减，在，上单调递增；
综上，当时，在单调递减，在，上单调递增；
当时，在R上单调递增；
当时，在上单调递减，在，上单调递增；