广东省茂名市信宜市2023-2024学年高二上学期期末数学试题

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注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡指定的位置上．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑；如需改动，擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．
3．非选择题必须用黑色字迹的笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回．
一、单选题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将直线方程化成斜截式即可得直线的斜率.
【详解】解：因为直线方程为，化为斜截式为：，
所以直线的斜率为：.
故选：D.
2. 抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A. 5B. 10C. 15D. 20
【答案】B
【解析】
【分析】
根据抛物线，焦点到准线距离为，直接可得答案.
【详解】由抛物线方程，
得，故抛物线焦点到准线距离为，
故选：B.
【点睛】抛物线方程中，字母的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离，等于焦点到抛物线顶点的距离．牢记它对解题非常有益．
3. 已知两条直线：，：，且，则的值为( )
A. －2B. 1C. －2或1D. 2或－1
【答案】B
【解析】
【分析】两直线平行，倾斜角相等，斜率均不存在或斜率存在且相等，据此即可求解.
【详解】：，：斜率不可能同时不存在，
∴和斜率相等，则或，
∵m＝－2时，和重合，故m＝1.
另解：，故m=1.
故选：B.
4. 信宜市是广东省首个“中国慈孝文化之乡”．为弘扬传统慈孝文化，信宜某小学开展为父母捶背活动，要求同学们在某周的周一至周五任选两天为父母捶背，则该校的同学甲连续两天为父母捶背的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，求出周一至周五任选两天的试验的样本空间，再求出连续两天的事件含有的样本点，进而求出古典概率.
【详解】令周一至周五的5天依次为1，2，3，4，5，
则周一至周五任选两天的样本空间，共10个样本点，
连续两天的事件，共4个样本点，
所以该校的同学甲连续两天为父母捶背的概率为.
故选：C
5. 若，则“”是“方程表示椭圆”的（ ）
A. 充要条件B. 既不充分也不必要条件
C. 充分不必要条件D. 必要不充分条件
【答案】D
【解析】
【分析】根据方程表示椭圆求出实数的取值范围，再利用集合的包含关系判断可得出结论.
【详解】若方程表示椭圆，则，解得或，
因为或，
因此，“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件.
故选：D.
6. 平行六面体中，，则（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由以及条件中系数对应相等可得答案.
【详解】由平行六面体可得，
又，
所以，
则.
故选：B.
7. 若动点P在直线上，动点Q在曲线上，则|PQ|的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设与直线平行的直线的方程为，当直线与曲线相切，且点为切点时，，两点间的距离最小，根据导数的几何意义求出直线的方程，再利用平行线间的距离公式即可求得结果.
【详解】设与直线平行的直线的方程为，
∴当直线与曲线相切，且点为切点时，，两点间的距离最小，
设切点， ，所以，
，，，
点，直线的方程为，
两点间距离的最小值为平行线和间的距离，
两点间距离的最小值为.
故选：.
8. 已知两个等差数列2，6，10，，202及2，8，14，，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为（ ）
A. 1678B. 1666C. 1472D. 1460
【答案】B
【解析】
【分析】求出新数列的公差，确定新数列的项数，利用前项和公式求解即可.
【详解】第一个数列的公差为4，第二个数列的公差为6，
故新数列的公差是4和6的最小公倍数12，
则新数列的公差为12，首项为2，
其通项公式为，
令，得，
故，
则，
故选：B.
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】由向量的加减乘除运算，垂直，平行的的性质逐项运算即可.
【详解】A：，所以，A正确；
B：，所以，B错误；
C：，，所以，C正确；
D：，不存实数，使得，故与不平行，D错误．
故选：AC．
10. △ABC的三个顶点坐标为A(4，0)，B(0，3)，C(6，7)，下列说法中正确的是（ ）
A. 边BC与直线平行
B. 边BC上的高所在的直线的方程为
C. 过点C且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为
D. 过点A且平分△ABC面积的直线与边BC相交于点D(3，5)
【答案】BD
【解析】
【分析】由直线斜率判断A，求出相应的直线方程判断BC，求出边中点坐标判断D．
【详解】直线的斜率为，而直线的斜率为，两直线不平行，A错；
边上高所在直线斜率为，直线方程为，即，B正确；
过且在两坐标轴上的截距相等的直线不过原点时方程为，过原点时方程为，C错；
过点A且平分△ABC面积的直线过边BC中点，坐标为，D正确 ．
故选：BD．
11. 若双曲线的实轴长为6，焦距为10，右焦点为F，则下列结论正确的是（ ）
A. 过点F的最短的弦长为B. 双曲线C的离心率为
C. 双曲线C上的点到点F距离的最小值为2D. 双曲线C的渐近线为
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据题中条件求得双曲线方程，再根据性质逐项分析即可.
【详解】依题知，，则，
所以双曲线的方程为，且
对于A，当直线的斜率为零时，该直线截双曲线的弦长为，
故A错误；
对于B，双曲线的离心率，故B正确；
对于C，设双曲线上任意一点，
则，
则，
又的对称轴为，
故当时，，故C正确；
对于D，双曲线方程知，渐近线方程为，
故D正确；
故选：BCD.
12. 材料：在空间直角坐标系中，经过点且法向量的平面的方程为，经过点且方向向量的直线方程为．
阅读上面材料，并解决下列问题：平面的方程为，平面的方程为，直线的方程为，直线的方程为，则（ ）
A. 平面与垂直
B. 平面与所成角的余弦值为
C. 直线与平面平行
D. 直线与是异面直线
【答案】AD
【解析】
【分析】首先确定平面的法向量和直线的方向向量；由可知A正确；利用线面角的向量求法可知B错误；由及直线所过点在平面内，可知，得C错误；由与不平行及直线方程构成的方程组无解可知两直线异面，则D正确.
【详解】由材料可知：平面的法向量，平面的法向量，直线的方向向量，直线的方向向量；
对于A，，，则平面与垂直，A正确；
对于B，，
平面与所成角的余弦值为，B错误；
对于C，，，直线平面或直线平面，
直线过点，又满足，直线平面，C错误；
对于D，与不平行，直线与直线相交或异面，
由得：，此时无解，直线与直线无交点，
直线与直线是异面直线，D正确.
故选：AD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知等比数列满足，，则______．
【答案】12
【解析】
【分析】根据给定条件，利用等比数列性质计算即可.
【详解】等比数列满足，，由，得.
故答案为：12
14. 长方体中，，，点F是底面的中心，则直线与直线所成角的余弦值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用坐标进行计算即可.
【详解】如图所示，建立如下空间直角坐标系，
依题可得，,
则,
所以,
故直线与直线所成角的余弦值为,
故答案为：.
15. 写出与圆和圆都相切的一条直线的方程___________.
【答案】（答案不唯一，或均可以）
【解析】
【分析】先判断两圆位置关系，再分情况依次求解可得.
【详解】圆的圆心为，半径为1；圆的圆心为，半径为4，圆心距为，所以两圆外切，
如图，有三条切线，易得切线的方程为；
因为，且，所以，设，即，则到的距离，解得（舍去）或，所以；
可知和关于对称，联立，解得在上，
在上取点，设其关于的对称点为，则，
解得，则，
所以直线，即，
综上，切线方程为或或.
故答案为：（答案不唯一，或均可以）
16. 已知椭圆的右焦点为F，过F点作圆的一条切线，切点为T，延长FT交椭圆C于点A，若T为线段AF的中点，则椭圆C的离心率为_________．
【答案】##
【解析】
【分析】利用图中的几何关系及椭圆的定义即可求解.
【详解】设椭圆的左焦点为,连接，,
由几何关系可知，则，
即，
由椭圆的定义可知，即且，
整理得，解得，
.
故答案为：.
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知直线与垂直,且经过点.
（1）求的方程;
（2）若与圆相交于两点,求.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，求得直线的斜率为，结合直线的点斜式方程，即可求解；
（2）根据题意，利用直线与圆的弦长公式，即可求解.
【小问1详解】
解：由直线，可得斜率，
因为，所以直线的斜率为，
又因为直线过点，所以直线的方程为，即.
【小问2详解】
解：由圆，可得圆心，半径，
则圆心到直线的距离为，
又由圆的弦长公式，可得弦长.
18. 记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．
（1）求数列的通项公式；
（2）求使成立的n的最小值．
【答案】(1)；(2)7.
【解析】
【分析】(1)由题意首先求得值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；
(2)首先求得前n项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n的最小值.
【详解】(1)由等差数列的性质可得：，则：，
设等差数列的公差为，从而有：，
，
从而：，由于公差不为零，故：，
数列的通项公式为：.
(2)由数列的通项公式可得：，则：，
则不等式即：，整理可得：，
解得：或，又为正整数，故的最小值为.
【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.
19. “猜灯谜”又叫“打灯谜”，是元宵节的一项活动，出现在宋朝．南宋时，首都临安每逢元宵节时制迷，猜谜的人众多．开始时是好事者把谜语写在纸条上，贴在五光十色的彩灯上供人猜．因为谜语既能启迪智慧又饶有兴趣，所以流传过程中深受社会各阶层的欢迎．在一次元宵节猜灯谜活动中，共有20道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了12道，乙同学猜对了8道，丙同学猜对了n道．假设每道灯谜被猜对的可能性都相等．
（1）任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率；
（2）任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求n的值．
【答案】（1）
（2）10
【解析】
【分析】（1）设出相应事件后，利用相互独立事件概率乘法公式进行求解即可；
（2）利用相互独立事件概率乘法公式即可求出n的值.
【小问1详解】
设“甲猜对灯谜”为事件A，“乙猜对灯谜”为事件B，
“任选一道灯谜，恰有一个人猜对”为事件C，
由题意得，，，且事件A、B相互独立，
则
，
所以任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为；
【小问2详解】
设“丙猜对灯谜”为事件D，
“任选一道灯谜，甲、乙、丙三个人都没有猜对”为事件E，
则由题意，
，
解得．
20. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱底面，，E是的中点，作交于点F．
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面的夹角的大小．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）解法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明即可；解法二：首先证明平面，得到，再由，得到平面，从而得到，再由，即可得证；
（2）解法一：利用空间向量法计算可得；解法二：由（1）可得为平面与平面所成角，利用锐角三角函数计算可得.
小问1详解】
解法一：因为底面是正方形，侧棱底面，
以D为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，
依意得，，，，
所以，，
因为，所以，
由已知，且，平面，平面，
所以平面．
解法二：底面是正方形，，
底面，且平面，，
，平面，平面，
平面，平面，，
，E为中点，，
，平面，平面，
平面，平面，，
由已知，且，平面，平面，
所以平面.
【小问2详解】
解法一：依题意得，且，，
设平面的一个法向量为，
则，即取，
因为，，设平面一个法向量为，
则即取，
设平面与平面的夹角为，则，
又，所以，所以平面与平面的夹角为．
解法二：由（1）知平面，，
又，平面，平面，
为平面与平面所成角，
，E为中点，，，
平面，平面，，
直角三角形中，，所以，
所以平面与平面的夹角为
21. 记数列的前项和为，已知.
（1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）证明见解析，
（2）
【解析】
【分析】（1）利用推得，从而利用等比数列的定义即可证明，进而求得；
（2）利用错位相减法结合分组求和法即可求出.
【小问1详解】
因为，
当时，，解得得；
当时，由，得，
两式相减得，即，
则，即，
又，故，所以，
所以是以为首项，2为公比的等比数列，
所以，即，
所以．
【小问2详解】
由（1）得，
所以,
所以，
则，
两式相减，得
，
所以．
22. 已知椭圆的左､右焦点分别为，且.过右焦点的直线与交于两点，的周长为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过原点作一条垂直于的直线交于两点，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意求得即可解决；
（2）分直线斜率不存在，斜率存在两种情况，斜率存在时设，直线，直线，联立椭圆方程求得，，得，令，则不妨设，即可解决.
小问1详解】
由，得，
又的周长为，即，
，
椭圆的标准方程为.
【小问2详解】
设，
当直线的斜率为0时，得；
当直线的斜率不为0时，设直线，直线，
联立直线和椭圆的方程，并消去整理得
，
.
由根与系数的关系得，
所以.
联立直线和椭圆的方程，并消去整理得
，由根与系数的关系得，
，
所以.
令，则
不妨设
，
，
，
，
综上可得，的取值范围为.