福建省福州铜盘中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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（满分：150分；考试时间：120分钟）
一、单选题（本题共10小题，每小题4分，满分40分．每小题只有一个正确的选项）
1. 在平面直角坐标系中，下列四个点在第一象限的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平面直角坐标系中各个象限的坐标的符号特点，即第一象限为，第二象限为，第三象限为，第四象限为， 熟练掌握知识点是解题的关键，根据象限符号特地，逐项判断即可；
【详解】解：、在第三象限，故不符合题意；
、在第四象限，故不符合题意；
、在第二象限，故不符合题意；
、在第一象限，故符合题意；
故选：．
2. 如图，，，垂足为点D，则点C到直线AB的距离是（ ）
A. 线段的长度B. 线段的长度
C. 线段的长度D. 线段的长度
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了点到直线的距离的定义，直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，根据点到直线的距离的定义解答即可．
【详解】解：∵
∴点C到AB的距离是线段CD的长度．
故选：C．
3. 下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查算术平方根，绝对值．
根据求一个数的算术平方根的方法计算并判定A、B、C，根据求一个数的绝对值计算并判定D．
【详解】解：A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、，故此选项符合题意．
故选：D．
4. 下列命题中，是真命题的是（ ）
A. 内错角相等B. 同角的余角相等
C. 相等的角是对顶角D. 互补的角是邻补角
【答案】B
【解析】
【分析】考查了命题与定理以及内错角、同角的余角、对顶角、邻补角的定义和性质等知识，解题的关键是理解内错角、同角的余角、对顶角、邻补角的定义和性质．
根据真命题的定义及内错角、同角的余角、对顶角、邻补角的定义和性质逐项分析即可．
【详解】解：A．内错角不一定相等，故内错角相等是假命题，不符合题意；
B．同角的余角相等，是真命题，符合题意；
C．相等角不一定是对顶角，故相等的角是对顶角是假命题，不符合题意；
D．互补的角不一定是邻补角，故互补的角是邻补角是假命题，不符合题意；
故选：B．
5. 如图，四边形中，点在延长线上，则下列条件中不能判断的是（ ）

A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平行线的判定定理逐一判断即可得答案.
【详解】∵∠5=∠C，
∴AB∥CD，故A选项不符合题意，
∵∠1=∠2，
∴CD∥AB，故B选项不符合题意，
∵∠3=∠4，
∴AD∥BC，故C选项不能判定AB//CD，符合题意，
∵∠1+∠3+∠D=180°，
∴∠ADC+∠A=180°，
∴AB∥CD，故D选项不符合题意.
故选C.
【点睛】本题考查的是平行线的判定，内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；熟知平行线的判定定理是解答此题的关键．
6. 如图，直线与相交于点 O，已知射线将分成了两部分，若，，则的度数是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了角度的计算．明确角度之间的数量关系是解题的关键．
由题意知，，根据计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
∴，
故选：D．
7. 已知，在数轴上的位置如图所示，点在线段上，且点表示的数为无理数，则这个无理数可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据点C在线段AB上，且点C表示的数为无理数，可得-2≤点C表示的数≤1，依此即可求解．
【详解】解：∵点C在线段AB上，且点C表示的数为无理数，
∴-2≤点C表示的数≤1，
∵1＜＜2，是有理数，-π＜3，0＜＜1，
∴这个无理数可以是，
故选：D．
【点睛】本题考查了实数与数轴，无理数，关键是得到-2≤点C表示的数≤1．
8. 已知二元一次方程组则值为（ ）
A. B. C. 1D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】两方程相加，然后可整体求出的值．
【详解】解：两方程相加得：，
则，
故选：C．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，在求二元一次方程组中两个未知数的和或差的时候，有时可以采用把两个方程直接相加或相减的方法，而不必求出两个未知数的具体值．
9. 《九章算术》中记载：“今有上禾三秉，益实六斗，当下禾十秉；下禾五秉，益实一斗，当上禾二秉．问上、下禾实一秉各几何？”其大意是：今有上等稻子三捆，若打出来的谷子再加六斗，则相当于十捆下等稻子打出来的谷子；有下等稻子五捆，若打出来的谷子再加一斗，则相当于两捆上等稻子打出来的谷子．问上等、下等稻子每捆打多少斗谷子？设上等稻子每捆打斗谷子，下等稻子每捆打斗谷子，根据题意可列方程组为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程组．根据上等稻子三捆，打出来的谷子再加六斗，相当于十捆下等稻子打出来的谷子；下等稻子五捆，打出来的谷子再加一斗，相当于两捆上等稻子打出来的谷子．列出方程组即可．
【详解】解：设上等稻子每捆打斗谷子，下等稻子每捆打斗谷子，根据题意，得：
；
故选A．
10. 已知为正整数，且二元一次方程组有整数解，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用加减消元法得到的值，由均为整数可解得的值．
【详解】解：，
∴①②得：，即，
把③代入②得：，
∵为整数，
∴既能被整除也能被整除，
∴，
∴，
故选．
【点睛】本题考查了二元一次方程的解法，正确理解是和的公约数是解题的关键．
二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分．）
11. 已知，请用含有的代数式表示，则______．
【答案】##
【解析】
【分析】把x看作已知数求出y即可．
【详解】解：方程2x+y﹣5＝0，
解得：y＝﹣2x+5，
故答案为：﹣2x+5
【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看作已知数求出y．
12. 如图，射线OA⊥OC，射线OB⊥OD，若∠AOB＝40°，则∠COD＝____°.
【答案】40
【解析】
【分析】根据OA⊥OC，OB⊥OD，可得∠AOC=90°，∠BOD=90°，然后得到∠AOB与∠BOC互余，
∠COD与∠BOC互余，根据同角的余角相等，继而可求解即可．
【详解】解：∵OA⊥OC，OB⊥OD，
∴∠AOC=90°，∠BOD=90°，
∴∠AOB与∠BOC互余，
∠COD与∠BOC互余，
∴∠AOB=∠COD =40°，
故答案40°．
【点睛】本题考查了余角的知识，关键发现∠AOB、∠COD都是∠BOC余角，根据同角的余角相等解答.
13. 已知 ，则_____．
【答案】4
【解析】
【分析】本题考查的是非负数的性质，掌握几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0是解题的关键．根据非负数的性质求出a、b的值，代入所求的式子计算即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
解得，
∴．
故答案为：4．
14. 如图，是由平移得到，且点B、E、C、F在同一直线上，若，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据平移的性质，得，从而推导得，再根据线段和差的性质分析，即可得到答案．
【详解】∵是由通过平移得到
∴
∵，
∴
∴
∵
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了平移、线段和差的知识；解题的关键是熟练掌握平移的性质．
15. 若，且a，b是两个连续整数，则的值为_______．
【答案】1
【解析】
【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的前提．
根据算术平方根的定义估算无理数的大小，确定a、b的值，再代入计算即可．
【详解】解：，而，
，
，
又，a、b是两个连续整数，
，
．
故答案为：1．
16. 在平面直角坐标系中，若干个等腰直角三角形按如图所示的规律摆放．点P从原点O出发，沿着“O→→→→，…”的路线运动（每秒一条直角边），已知坐标为，，…，设第n秒运动到点（n为正整数），则点的坐标是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了点坐标的规律，理解题意、发现规律并灵活运用规律是解题的关键．
根据图形写出至的坐标，然后归纳规律，最后按照规律即可解答．
【详解】解：由图可知：，
观察发现：所有偶数点都在x轴上，且横坐标与序数相同，则．
故答案为：．
三、解答题（本题共9小题，共86分．）
17. 计算：
（1）；
（2）已知，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）原式第一项利用算术平方根定义计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，第三项利用立方根定义计算，合并即可得到结果；
（2）已知方程变形后，开方即可求出解．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
方程变形得：，
开方得：．
【点睛】本题考查实数的运算，以及平方根，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18. 解方程组：
【答案】
【解析】
【分析】根据代入消元法即可求解．
【详解】由①得③
将③代入②得
将代入③得：
原方程组得解为．
【点睛】此题主要考查二元一次方程组的求解，解题的关键是熟知其解法．
19. 如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点都在网格点上，其中C点的坐标为（1，2）．
（1）直接写出点B的坐标为___；
（2）求△ABC的面积；
（3）将△ABC向左平移1个单位，再向上平移2个单位，画出平移后的 ，并写出三个顶点的坐标．
【答案】（1）
（2）5 （3）图象见解析，，，.
【解析】
【分析】（1）利用坐标系可得答案；
（2）利用矩形面积减去周围三个三角形的面积即可；
（3）确定A、B、C三点平移后的位置，再连接即可.
【小问1详解】
点的坐标为；
【小问2详解】
的面积为；
【小问3详解】
如图所示：即为所求；，，.
【点睛】本题考查了图形在方格中的平移，以及求三角形的面积，求解三角形面积方法：
1、“补”的方法，将其补为一个矩形，计算矩形的面积后减去周边三个三角形面积即可；
2、“割”的方法，将三角形沿着竖直线或水平线分割后求解三角形面积；
3、底高.
20. 如图，已知，，，试说明直线AD与BC垂直（请在下面的解答过程的空格内填空或在括号内填写理由）．
理由：C，（已知）
，（ ）
．（ ）
又，（已知）
=180°．（等量代换）
，（ ）
．（ ）
，（已知）
，
．
【答案】GD；AC；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；AD；EF；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；AD；BC
【解析】
【分析】结合图形，根据平行线的判定和性质逐一进行填空即可．
【详解】解：，已知
，同位角相等，两直线平行
两直线平行，内错角相等
又，（已知）
（等量代换）
，同旁内角互补，两直线平行）
（两直线平行，同位角相等）
，（已知）
，
，
．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，垂线的定义，解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．
21. 如图，已知三角形，于点D.
（1）根据题意画出图形：过点作交于点，过点作于点.
（2）在（1）的条件下，若，求的度数.
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据题中要求画图即可；
（2）先证得，再根据平行线的性质求得即可．
【小问1详解】
解：图形如图所示；
【小问2详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴
∵
∴
∴，
∵，
∴
故的度数为.
【点睛】本题考查了基本作图、平行线的判定与性质、垂直定义，解答关键是正确作出图形，熟练掌握平行线的性质．
22. 已知关于x，y的二元一次方程组的解适合方程，求n的值．
【答案】n=-4
【解析】
【分析】方程组消元后，与已知方程联立求出与值，即可确定出的值．
【详解】解：方程组消元得：，
联立得：，
解得：，
把x=-15，y=21代入方程组，
则．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
23. 在平面直角坐标系中，对于点，若点的坐标为，其中为常数，则称点是点的“倍相关点”．
例如，点的 “3倍相关点”的横坐标为：，纵坐标为：，所以点的 “3倍相关点”的坐标为．
（1）已知点的“倍相关点”是点，求的值；
（2）已知点的“倍相关点”是点，且点在轴上，求点到轴的距离．
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】本题考查了坐标与图形性质，“相关点”的定义，解题的关键是理解题意，理解“相关点”的运算．
（1）根据相关点的定义即可求解；
（2）先再根据点在轴上，得到其横坐标为0，即可求出的值，再根据相关点的定义求出点的纵坐标，进而求解；
【小问1详解】
解：点的横坐标为：，
点N的纵坐标为：，
∴；
小问2详解】
解：∵点在轴上，
∴点的横坐标为0，
∵点是点的“倍相关点”，
∴，解得：，
∴点的纵坐标为：，
∴点的纵坐标为：，
∴点到轴的距离为．
24. 已知：用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆一次运完，且恰好每辆车都装满货物．
（1）1辆A型车和B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
（2）请你帮该物流公司设计方案；
（3）若A型车租金每辆100元/次，B型车每辆租金120元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费．
【答案】（1）一辆A型车装满货物可运货吨，一辆B型车装满货物可运货吨；
（2）方案一：租A型车辆，B型车辆；方案二：租A型车辆，B型车辆；方案三：租A型车辆，B型车辆
（3）方案一：租A型车辆，型车辆，最省钱，最少租车费为元
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、二元一次方程的整数解；熟练根据题意列出相对应的方程是解题的关键．
（1）根据题意列二元一次方程组求解即可；
（2）根据题意列出二元一次方程，求其正整数解即可；
（3）根据（2）的方案分别计算租车费，然后比较大小即可得出答案．
【小问1详解】
解：设一辆A型车装满货物可运货吨，一辆型车装满货物可运货吨；
由题意可得：，
解得：
答：一辆A型车装满货物可运货吨，一辆B型车装满货物可运货吨；
【小问2详解】
解：由题意得：，
∵、b均为正整数，
∴或或
∴该物流公司共有以下三种租车方案；
方案一：租A型车辆，B型车辆；
方案二：租A型车辆，B型车辆；
方案三：租A型车辆，B型车辆；
【小问3详解】
解：方案一费用：（元）
方案二费用：（元）
方案三费用：（元）
∵
∴方案一：租A型车辆，型车辆，最省钱，最少租车费为元．
25. 如图，在平面直角坐标系中，已知，其中满足：

（1）直接写出点的坐标分别为：___________ ，___________ ；
（2）点为直线上的一点，且满足，求点的坐标；
（3）已知点，连接得到将平移得到点与点对应，点与点对应，点与点对应，且点的横、纵坐标满足关系式：，点的横、纵坐标满足关系式：，求点的坐标注：表示点的横坐标，表示点的纵坐标
【答案】（1）
（2）或
（3）
【解析】
【分析】（1）根据非负数的性质列出，求得，即可得到、两点坐标；
（2）根据坐标与图形的性质求出，分点在线段上、点在射线上两种情况，根据三角形的面积公式计算即可；
（3）设，根据题意列出方程组，解方程组求出、，得到点的坐标、点的坐标，结合、的坐标，得出平移规律，然后根据平移规律即可求得点的坐标．
【小问1详解】
，其中满足：，
，
，
．
故答案为：；
【小问2详解】
，
，
，
，
若点在线段上，

，
点为的中点，
；
若点在射线上，
则，
解得：，
，
，
．
综上所述，点的坐标为或；
【小问3详解】
依题意设，
，
即，
解得，
，
点的平移方向是先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，
．
【点睛】本题考查的是非负数的性质、三角形的面积、坐标与图形的性质、平移的性质，灵活运用分类讨论思想、掌握平移规律是解题的关键．