福建省厦门市思明区福建省厦门市第六中学2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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注意事项：
1．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号；
2．非选择题答案用0.5毫米黑色签字笔在答题卡相应位置作答，在试卷上答题无效；
3．可以直接使用2B铅笔作图；
4．本试卷共5页，共三大题，25小题，满分150分．
一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1. 下列实数中，是无理数的是（ ）
A. 0B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】无理数就是无限不循环小数，理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数，由此即可判定选择项．
本题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：等；开方开不尽的数；以及像，等数．
【详解】解：A、0是有理数，故该选项不符合题意；
B、是无理数，故该选项符合题意；
C、是分数，是有理数，故该选项不符合题意；
D、是负整数，是有理数，故该选项不符合题意；
故选：B．
2. 如图，W对应的有序实数对为，有一个英文单词的字母，按顺序对应图中的有序实数对，分别为，则这个英文单词为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据W对应有序实数对为，判定对应的字母依次是，判断选择即可，本题考查了有序实数对确定位置，掌握理解有序实数对的应用是解题的关键．
【详解】根据W对应的有序实数对为，
故对应的字母依次是，
故选C．
3. 在方程组中，消元正确的是（ ）
A. ，得B. 把②化为代入①，得
C. ，得D. 把①化为代入②，得
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了用加减消元法或代入消元法解二元一次方程组．根据加减消元法或代入消元法，逐一判断即可得到答案．
【详解】
解：A、，得，本选项不符合题意；
B、把②化为代入①，得，本选项不符合题意；
C、，得，本选项不符合题意；
D、把①化为代入②，得，本选项符合题意；
故选：D．
4. 将一副三角板和一个直尺按图所示的位置摆放，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查三角板中角度的计算．熟练掌握平角的定义，以及两直线平行，同位角相等，是解题的关键．利用平角的定义，求出的度数，利用两直线平行，同位角相等，即可得出结果．
【详解】解：由题意，得：，
∴，
∵直尺的对边平行，
∴；
故选B．
5. 下列关于的描述错误的是（ ）
A. 面积为的正方形的边长B. 的算术平方根
C. 体积为的正方体的棱长D. 方程中未知数的值
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了算术平方根的定义，立方根，根据算术平方根的定义解答即可，熟记算术平方根的定义是解题的关键．
【详解】解：A、面积为的正方形的边长为，故选项不符合题意；
B、的算术平方根是，故选项不符合题意；
C、体积为的正方体的棱长是，故选项符合题意；
D、方程中未知数的值为，故选项不符合题意；
故选：C．
6. 如图，三条直线两两相交，的同位角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义，根据同位角的定义判断即可，能熟记同位角、内错角、同旁内角的定义的内容是解此题的关键，注意数形结合．
【详解】解：由图可知，的同位角是，
故选：B．
7. 如图所示，直径为单位1的圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达点，则点表示的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了数轴，利用数轴的特征和圆的周长公式解答即可．
【详解】∵直径为单位1的圆的周长为，直径为单位1的圆从原点沿着数轴无滑动的逆时针滚动一周到达A点，
∴A点表示的数是．
故选：D．
8. 电流通过导线时会产生热量，满足，其中Q为产生的热量（单位：J），I为电流（单位：A），R为导线电阻（单位：Ω），t为通电时间（单位：s）．若导线电阻为，时间导线产生的热量，则通过的电流I为（ ）
A. 2.4AB. C. 4.8AD.
【答案】B
【解析】
【分析】将所给数据代入求解即可．
【详解】解：由题意可得，
∴，
∴，
∴（负值不符合实际情况，舍去）
∴电流的值是．
故选：B．
【点睛】本题考查了求代数式的值，平方根的应用，掌握实数的运算法则是解题的关键
9. 如图，，且，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定和性质．作，根据平行线的判定和性质求得，，列式计算求解．
【详解】解：作，如图，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故选：B．
10. 某养牛场有大牛30头和小牛15头，一天用饲料，设每头大牛一天需饲料，每头小牛一天需饲料，得方程，又购进了12头大牛和5头小牛，每天约用饲料，可列方程则下列说法中，错误的是（ ）
A.
B. 若是方程的解，则是的解
C. 若是方程的解，则是的解
D. 若m，n分别表示每头大牛、小牛一天所需饲料，则m，n一定是方程的解
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，整式的运算．根据整式的运算即可比较的大小，根据二元一次方程组的解的定义求解即可．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，故选项A说法正确，不符合题意；
若是方程的解，则是的解，故选项B说法不正确，符合题意；
若是方程的解，则是的解，故选项C说法正确，不符合题意；
若m，n分别表示每头大牛、小牛一天所需饲料，则m，n一定是方程的解，故选项D说法正确，不符合题意；
故选：B．
二、填空题：本题共6小题，第11小题每空2分，共8分；第13小题第一空4分，第二空2分，共6分；其余每小题4分，共30分．
11. 写出计算结果：
（1）121的算术平方根是______；
（2）______；
（3）0.64的平方根是______；
（4）______．
【答案】 ①. 11 ②. ③. ④.
【解析】
【分析】本题考查了平方根、立方根、算术平方根和绝对值的定义．根据立方根、平方根、算术平方根和绝对值的定义计算即可．
【详解】解：（1）121的算术平方根是11；
故答案为：11；
（2）；
故答案为：；
（3）0.64的平方根是；
故答案为：；
（4）．
故答案为：．
12. 如果直线，直线，那么直线a和直线c的位置关系是______．
【答案】平行
【解析】
【分析】本题主要考查了平行公理，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线平行．根据平行公理进行求解即可．
【详解】解：∵直线，直线，
∴，
∴直线a和直线c的位置关系是平行，
故答案为：平行．
13. 将“立方根互为相反数的两个数互为相反数”改写成“如果…，那么…”的形式：____________，它是______命题（“真”或“假”）．
【答案】 ①. 如果两个数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数 ②. 真
【解析】
【分析】此题考查了命题与定理．根据命题都可以写成“如果…，那么…”的形式，“如果”后面是题设，“那么”后面是结论，从而得出答案．
【详解】解：将“立方根互为相反数的两个数互为相反数”改写成“如果…，那么…”的形式：
如果两个数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数，是真命题；
故答案为：如果两个数的立方根互为相反数，那么这两个数也互为相反数；真．
14. 已知满足方程组，则______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，代数式求值，将原方程组中的两个方程相加得到，即，再整体代入代数式计算即可求解，掌握整体代入法是解题的关键．
【详解】解：将方程组中的两个方程相加得，，
即，
∴，
故答案为：．
15. 如图，和重叠在一起，将沿点B到点C方向平移到如图位置，已知．图中阴影部分的面积为15，，则平移距离为______．
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查了平移的性质，对应点连线的长度等于平移距离，平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状，熟记各性质并判断出阴影部分面积等于梯形的面积是解题的关键．
根据平移的性质可知：，由此可求出的长．由，结合梯形的面积公式即可求出．
【详解】解：根据平移可得，，，
，，
，
，
，
即平移的距离为2．
故答案为：2．
16. 如图1是长方形纸带，，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，则图3中的的度数是______．
【答案】##102度
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，折叠的性质．由平行线的性质得到和的度数，图2中，由折叠的性质得到，，即可得到的度数．
【详解】解：如图1，∵，
，，
如图2，由折叠的性质得到，，
如图3，．
故答案为：．
三、解答题：共80分（第17题，9分，第18题8分，第19题6分，第20题10分，第21题9分，第22题8分，第23题8分，第24题10分，第25题12分．）
17. 计算：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】本题考查了实数的运算，掌握实数的运算法则是解题的关键．
（1）先去括号，再合并同类项即可；
（2）先去括号，再根据二次根式的加减运算即可；
（3）先算乘方，算术平方根，立方根，再算乘法，最后算加法即可．
【小问1详解】
解：
．
【小问2详解】
解：
．
【小问3详解】
解：
．
18. 解方程组：
（1）；
（2）．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法和步骤是解题的关键．
（）方程组利用代入消元法求出解即可；
（）方程组利用加减消元法求出解即可；
小问1详解】
解：，
将代入得：，
解得：，
将代入中得：，
∴方程组的解是：．
【小问2详解】
解：，
得：，
解得：，
将代入得：，
解得：，
∴方程组的解是：．
19. 如图，直线与相交于点O，，若，求的度数．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，对顶角线段，垂直的定义，先由对顶角线段得到，再由垂直的定义得到，则．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
20. 在如图所示的网格图（每个小网格都是边长为1个单位长度的小正方形中，P，A分别是的边，上的两点且P，A在格点上．
（1）将线段向右平移，使点O与点A重合，画出线段平移后的线段，连接，不添加其他字母，不连接其他线段的情况下，写出图中相等的线段______；
（2）请在射线上找出一点D，使点P与点D的距离最短，并写出依据______；
（3）连接，求出的面积．
【答案】（1）图见解析，相等的线段有：
（2）图见解析．依据是：垂线段最短
（3）的面积为．
【解析】
【分析】本题考查作图—平移作图，平行线的性质，垂线段最短等知识，解题的关键是掌握平移变换的性质．
（1）根据要求画出图形，然后根据平移的性质找到相等的线段即可；
（2）根据垂线段最短解决问题即可；
（3）直接利用三角形面积公式求解即可．
【小问1详解】
解：如图所示，线段，线段即为所求；
由平移的性质可知：；
【小问2详解】
解：如图所示，点D即为所求，
依据是：垂线段最短；
【小问3详解】
解：的面积为．
21. 已知：如图，在中，点在上，连接，点、分别在、
上，连接，且满足，．
（1）判断和的位置关系，并说明理由；
（2）证明：．
【答案】（1），理由见解析
（2）见解析
【解析】
【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定与性质是解题的关键．
（1）根据平行线的性质结合“同角的补角相等”求得，即可推出；
（2）根据平行线的判定与性质证明，即可推出．
【小问1详解】
解：，理由如下，
（已知），
（邻补角定义），
（同角的补角相等），
∴（内错角相等，两直线平行）；
【小问2详解】
证明：∵（内错角相等，两直线平行），
（两直线平行，内错角相等），
又（已知），
（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行），
（两直线平行，同位角相等）．
22. 我们规定：对于数对，如果满足，那么就称数对是“和积等数对”：如果满足，那么就称数对是“差积等数对”，例如，．所以数对为“和积等数对”，数对为“差积等数对”．
（1）下列数对中，“和积等数对”的是 ；“差积等数对”的是 ．
①，②，③．
（2）若数对是“差积等数对”，求的值．
（3）是否存在非零有理数，，使数对是“和积等数对”，同时数对也是“差积等数对”，若存在，求出，的值，若不存在，说明理由．
【答案】（1）②；① （2）；
（3）存在非零有理数，，使数对是“和积等数对”，同时数对也是“差积等数对”
【解析】
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，二元一次方程组，理解“和积等数对”和“差积等数对”的定义是解题的关键．
（1）根据题目所给定义进行逐个计算判断即可；
（2）根据定义建立方程，再求解x即可；
（3）根据新定义可得，解方程组即可求解．
【小问1详解】
解：∵
∴，
∴是“差积等数对”；
∵
∴，
∴是“和积等数对”；
∵
∴既不是“和积等数对”，也不是“差积等数对”；
故答案为：②；①；
【小问2详解】
解：∵数对是“差积等数对”，
∴，
解得：；
【小问3详解】
解：存在，
∵数对是“和积等数对”，同时数对也是“差积等数对”，
∴，
由①解得：，
∴．
即存在非零有理数，，使数对是“和积等数对”，同时数对也是“差积等数对”．
23. 若有．
（1）请用含有k的式子表示x，y．
（2）是否存在某个实数k使得x，y是某个实数的平方根，若存在，请求出k的值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1），；
（2）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，平方根的性质．
（1）利用加减法求解即可；
（2）根据题意分两种情况“或”讨论，分别计算即可求解．
【小问1详解】
解：，
得，，即，
将代入②，得，即；
【小问2详解】
解：不存在，理由如下，
∵假设x，y是某个实数平方根，
∴或，
当时，，
整理得，不存在；
当时，，
整理得，不存在；
∴不存在某个实数k使得x，y是某个实数的平方根．
24. 福厦高铁去年开通后，不再受现有深杭线慢速铁道200km/h的限制，速度大幅提升后，福州厦门可以快速联通。某型号高铁由一节车头和若干节车厢组成，且每节车厢的长度都相等．已知该型号高铁挂8节车厢以57m/s的速度通过某观测点用时与挂12节车厢以82m/s的速度通过该观测点的用时均为4秒．
（1）车头及每节车厢的长度分别是多少米？
（2）小兮乘坐该型号高铁从厦门前往福州，小蔡在对向的高铁里从福州前往厦门，在途中，小兮看到对向的高铁从身边呼啸而过，若将两条铁轨看作是两条直线，已知高铁的车厢有8节和16节两种．
①从看到车头到高铁车尾离开，大约经过了3s，此时小蔡看到车内屏幕显示车速为180km/h，小兮看到车里的屏幕显示324km/h．交汇时高铁的速度不发生变化．请你通过上述测量数据估计此时从福州开往厦门的高铁车厢的节数，并通过计算说明理由．
②若小兮在最后一节车厢，已知从车头到车尾高铁的车厢号按从小到大的顺序排列，小兮的妈妈此时正在前往4号车厢里的路上购买她们的午餐，若小兮妈妈比小兮正好早1.25s看到车头经过，请问此时小兮妈妈应该在第几号车厢？
【答案】（1）每节车厢的长度是米，车头的长度是米；
（2）小兮妈妈应该在第10号车厢．
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．
（1）设每节车厢的长度是米，车头的长度是米，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得出答案；
（2）①根据速度时间求得高铁的总长，再计算求解即可；
②根据速度时间求得小兮与妈妈之间的距离，进一步计算即可求解．
【小问1详解】
解：设每节车厢的长度是米，车头的长度是米，
依题意得，
解得，
答：每节车厢的长度是米，车头的长度是米；
小问2详解】
解：①180km/h等于50m/s，324km/h等于90m/s，
从福州开往厦门的高铁的总长为，
共有车厢（节），
答：从福州开往厦门的高铁共有16节车厢；
②小兮与妈妈之间的距离为，
相距的车厢共有（节），
如果小兮乘坐该型号高铁只有8节车厢，则小兮妈妈应该在第2号车厢，但与题意不符；
则小兮乘坐该型号高铁有16节车厢，则小兮妈妈应该在第10号车厢．
25. 如图1，，直线a与b，c交于A，C两点．在直线a上有一点B，直线c上有点D，连接，作的平分线交b于E．
（1）直接写出，和之间的数量关系：______．
（2）如图2，作的平分线交直线c于点F，作的平分线交BF于G，若，求的度数．
（3）如图3，在（2）的前提下，作的平分线交c于H，延长交于I，是否存在，使得是D与直线上各点所连线段中最短的一条，若存在请求出的度数，若不存在，请说明理由．
【答案】（1），理由见解析；
（2）；
（3）存在，．
【解析】
【分析】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，掌握角平分线的性质和平行线的性质是解题的关键．
（1）过点作，则，得出即可求解；
（2）过点作，过点作，则，设，，则，，，进而得到，即可求解；
（3）过点作，由，，再利用角平分线的平行线的性质即可求解．
【小问1详解】
解：过点作，则，如图：
∴，
∴
【小问2详解】
解：过点作，过点作，则，
是的平分线，是的平分线，是的平分线，
∴，
设，，
∴，，，
∴，，
∵，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
【小问3详解】
解：当点在直线的上方时存在使得DI是D与直线BH上各点所连线段中最短的一条，
过点作，如图：
∵是与直线上各点所连线段中最短的一条，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴，
∴，
∵是的平分线，
∴ ，
∵，，
∴，
∴，
∴．