2024年中考数学必考考点专题10 分式方程篇（解析版）

这是一份2024年中考数学必考考点专题10 分式方程篇（解析版），共16页。试卷主要包含了小明解分式方程﹣1的过程如下，方程的解为 　等内容，欢迎下载使用。

知识回顾
分式方程的定义：
分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
分式方程的解：
使分式方程成立的未知数的值叫做分式方程的解。
解分式方程。
具体步骤：
①去分母——分式方程的两边同时乘上分母的最简公分母。把分式方程化成整式方程。
②解整式方程。
③检验——把解出来的未知数的值带入公分母中检验公分母是否为0。若公分母不为0，则未知数的值即是原分式方程的解。若公分母为0，则未知数的值是原分式方程的曾根，原分式方程无解。
微专题
1．（2022•营口）分式方程的解是（ ）
A．x＝2B．x＝﹣6C．x＝6D．x＝﹣2
【分析】方程两边都乘x（x﹣2）得出3（x﹣2）＝2x，求出方程的解，再进行检验即可．
【解答】解：＝，
方程两边都乘x（x﹣2），得3（x﹣2）＝2x，
解得：x＝6，
检验：当x＝6时，x（x﹣2）≠0，
所以x＝6是原方程的解，
即原方程的解是x＝6，
故选：C．
2．（2022•海南）分式方程﹣1＝0的解是（ ）
A．x＝1B．x＝﹣2C．x＝3D．x＝﹣3
【分析】方程两边同时乘以（x﹣1），把分式方程化成整式方程，解整式方程检验后，即可得出分式方程的解．
【解答】解：去分母得：2﹣（x﹣1）＝0，
解得：x＝3，
当x＝3时，x﹣1≠0，
∴x＝3是分式方程的根，
故选：C．
3．（2022•毕节市）小明解分式方程﹣1的过程如下．
解：去分母，得3＝2x﹣（3x+3）．①
去括号，得3＝2x﹣3x+3．②
移项、合并同类项，得﹣x＝6．③
化系数为1，得x＝﹣6．④
以上步骤中，开始出错的一步是（ ）
A．①B．②C．③D．④
【分析】按照解分式方程的一般步骤进行检查，即可得出答案．
【解答】解：去分母得：3＝2x﹣（3x+3）①，
去括号得：3＝2x﹣3x﹣3②，
∴开始出错的一步是②，
故选：B．
4．（2022•无锡）分式方程的解是（ ）
A．x＝1B．x＝﹣1C．x＝3D．x＝﹣3
【分析】将分式方程转化为整式方程，求出x的值，检验即可得出答案．
【解答】解：＝，
方程两边都乘x（x﹣3）得：2x＝x﹣3，
解得：x＝﹣3，
检验：当x＝﹣3时，x（x﹣3）≠0，
∴x＝﹣3是原方程的解．
故选：D．
5．（2022•济南）代数式与代数式的值相等，则x＝ ．
【分析】根据题意列方程，再根据解分式方程的步骤和方法进行计算即可．
【解答】解：由题意得，
＝，
去分母得，3（x﹣1）＝2（x+2），
去括号得，3x﹣3＝2x+4，
移项得，3x﹣2x＝4+3，
解得x＝7，
经检验x＝7是原方程的解，
所以原方程的解为x＝7，
故答案为：7．
6．（2022•绵阳）方程的解是 ．
【分析】先在方程两边乘最简公分母（x﹣3）（x﹣1）去分母，然后解整式方程即可．
【解答】解：＝，
方程两边同乘（x﹣3）（x﹣1），得
x（x﹣1）＝（x+1）（x﹣3），
解得x＝﹣3，
检验：当x＝﹣3时，（x﹣3）（x﹣1）≠0，
∴方程的解为x＝﹣3．
故答案为：x＝﹣3．
7．（2022•盐城）分式方程＝1的解为 ．
【分析】先把分式方程转化为整式方程，再求解即可．
【解答】解：方程的两边都乘以（2x﹣1），得x+1＝2x﹣1，
解得x＝2．
经检验，x＝2是原方程的解．
故答案为：x＝2．
8．（2022•内江）对于非零实数a，b，规定a⊕b＝﹣．若（2x﹣1）⊕2＝1，则x的值为 ．
【分析】利用新规定对计算的式子变形，解分式方程即可求得结论．
【解答】解：由题意得：
＝1，
解得：x＝．
经检验，x＝是原方程的根，
∴x＝．
故答案为：．
9．（2022•永州）解分式方程＝0去分母时，方程两边同乘的最简公分母是 ．
【分析】根据最简公分母的定义即可得出答案．
【解答】解：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是x（x+1）．
故答案为：x（x+1）．
10．（2022•常德）方程的解为 ．
【分析】方程两边同乘2x（x﹣2），得到整式方程，解整式方程求出x的值，检验后得到答案．
【解答】解：方程两边同乘2x（x﹣2），得4x﹣8+2＝5x﹣10，
解得：x＝4，
检验：当x＝4时，2x（x﹣2）＝16≠0，
∴x＝4是原方程的解，
∴原方程的解为x＝4．
11．（2022•宁波）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，a⊗b＝+．若（x+1）⊗x＝，则x的值为 ．
【分析】根据新定义列出分式方程，解方程即可得出答案．
【解答】解：根据题意得：+＝，
化为整式方程得：x+x+1＝（2x+1）（x+1），
解得：x＝﹣，
检验：当x＝﹣时，x（x+1）≠0，
∴原方程的解为：x＝﹣．
故答案为：﹣．
12．（2022•成都）分式方程＝1的解为 ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：3﹣x﹣1＝x﹣4，
解得：x＝3，
经检验x＝3是分式方程的解，
故答案为：x＝3．
13．（2022•牡丹江）若关于x的方程＝3无解，则m的值为（ ）
A．1B．1或3C．1或2D．2或3
【分析】先去分母，再根据条件求m．
【解答】解：两边同乘以（x﹣1）得：mx﹣1＝3x﹣3，
∴（m﹣3）x＝﹣2．
当m﹣3＝0时，即m＝3时，原方程无解，符合题意．
当m﹣3≠0时，x＝，
∵方程无解，
∴x﹣1＝0，
∴x＝1，
∴m﹣3＝﹣2，
∴m＝1，
综上：当m＝1或3时，原方程无解．
故选：B．
14．（2022•通辽）若关于x的分式方程：2﹣＝的解为正数，则k的取值范围为（ ）
A．k＜2B．k＜2且k≠0C．k＞﹣1D．k＞﹣1且k≠0
【分析】先解分式方程可得x＝2﹣k，再由题意可得2﹣k＞0且2﹣k≠2，从而求出k的取值范围．
【解答】解：2﹣＝，
2（x﹣2）﹣（1﹣2k）＝﹣1，
2x﹣4﹣1+2k＝﹣1，
2x＝4﹣2k，
x＝2﹣k，
∵方程的解为正数，
∴2﹣k＞0，
∴k＜2，
∵x≠2，
∴2﹣k≠2，
∴k≠0，
∴k＜2且k≠0，
故选：B．
15．（2022•黑龙江）已知关于x的分式方程＝1的解是正数，则m的取值范围是（ ）
A．m＞4B．m＜4C．m＞4且m≠5D．m＜4且m≠1
【分析】先利用m表示出x的值，再由x为正数求出m的取值范围即可．
【解答】解：方程两边同时乘以x﹣1得，2x﹣m+3＝x﹣1，
解得x＝m﹣4．
∵x为正数，
∴m﹣4＞0，解得m＞4，
∵x≠1，
∴m﹣4≠1，即m≠5，
∴m的取值范围是m＞4且m≠5．
故选：C．
16．（2022•德阳）如果关于x的方程＝1的解是正数，那么m的取值范围是（ ）
A．m＞﹣1B．m＞﹣1且m≠0C．m＜﹣1D．m＜﹣1且m≠﹣2
【分析】先去分母将分式方程化成整式方程，再求出方程的解x＝﹣1﹣m，利用x＞0和x≠1得出不等式组，解不等式组即可求出m的范围．
【解答】解：两边同时乘（x﹣1）得，
2x+m＝x﹣1，
解得：x＝﹣1﹣m，
又∵方程的解是正数，且x≠1，
∴，即，
解得：，
∴m的取值范围为：m＜﹣1且m≠﹣2．
故答案为：D．
17．（2022•重庆）关于x的分式方程＝1的解为正数，且关于y的不等式组的解集为y≥5，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．13B．15C．18D．20
【分析】解分式方程得得出x＝a﹣2，结合题意及分式方程的意义求出a＞2且a≠5，解不等式组得出，结合题意得出a＜7，进而得出2＜a＜7且a≠5，继而得出所有满足条件的整数a的值之和，即可得出答案．
【解答】解：解分式方程得：x＝a﹣2，
∵x＞0且x≠3，
∴a﹣2＞0且a﹣2≠3，
∴a＞2且a≠5，
解不等式组得：，
∵不等式组的解集为y≥5，
∴＜5，
∴a＜7，
∴2＜a＜7且a≠5，
∴所有满足条件的整数a的值之和为3+4+6＝13，
故选：A．
18．（2022•重庆）若关于x的一元一次不等式组的解集为x≤﹣2，且关于y的分式方程﹣2的解是负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．﹣26B．﹣24C．﹣15D．﹣13
【分析】解不等式组得出，结合题意得出a＞﹣11，解分式方程得出y＝，结合题意得出a＝﹣8或﹣5，进而得出所有满足条件的整数a的值之和是﹣8﹣5＝﹣13，即可得出答案．
【解答】解：解不等式组得：，
∵不等式组的解集为x≤﹣2，
∴＞﹣2，
∴a＞﹣11，
解分式方程＝﹣2得：y＝，
∵y是负整数且y≠﹣1，
∴是负整数且≠﹣1，
∴a＝﹣8或﹣5，
∴所有满足条件的整数a的值之和是﹣8﹣5＝﹣13，
故选：D．
19．（2022•遂宁）若关于x的方程无解，则m的值为（ ）
A．0B．4或6C．6D．0或4
【分析】解分式方程可得（4﹣m）x＝﹣2，根据题意可知，4﹣m＝0或2x+1＝0，求出m的值即可．
【解答】解：＝，
2（2x+1）＝mx，
4x+2＝mx，
（4﹣m）x＝﹣2，
∵方程无解，
∴4﹣m＝0或2x+1＝0，
即4﹣m＝0或x＝﹣＝﹣，
∴m＝4或m＝0，
故选：D．
20．（2022•黄石）已知关于x的方程的解为负数，则a的取值范围是 ．
【分析】先求整式方程的解，然后再解不等式组即可，需要注意分式方程的分母不为0．
【解答】解：去分母得：x+1+x＝x+a，
解得：x＝a﹣1，
∵分式方程的解为负数，
∴a﹣1＜0且a﹣1≠0且a﹣1≠﹣1，
∴a＜1且a≠0，
∴a的取值范围是a＜1且a≠0，
故答案为：a＜1且a≠0．
21．（2022•齐齐哈尔）若关于x的分式方程的解大于1，则m的取值范围是 ．
【分析】先解分式方程，再应用分式方程的解进行计算即可得出答案．
【解答】解：，
给分式方程两边同时乘以最简公分母（x+2）（x﹣2），
得（x+2）+2（x﹣2）＝x+2m，
去括号，得x+2+2x﹣4＝x+2m，
解方程，得x＝m+1，
检验：当
m+1≠2，m+1≠﹣2，
即m≠1且m≠﹣3时，x＝m+1是原分式方程的解，
根据题意可得，
m+1＞1，
∴m＞0且m≠1．
故答案为：m＞0且m≠1．
22．（2022•泸州）若方程的解使关于x的不等式（2﹣a）x﹣3＞0成立，则实数a的取值范围是 ．
【分析】先解分式方程，再将x代入不等式中即可求解．
【解答】解：+1＝，
+＝，
＝0，
解得：x＝1，
∵x﹣2≠0，2﹣x≠0，
∴x＝1是分式方程的解，
将x＝1代入不等式（2﹣a）x﹣3＞0，得：
2﹣a﹣3＞0，
解得：a＜﹣1，
∴实数a的取值范围是a＜﹣1，
故答案为：a＜﹣1．
考点二：分式方程之分式方程的应用
知识回顾
列分式方程解实际应用题的步骤：
①审题——仔细审题，找出题目中的等量关系。
②设未知数——根据问题与等量关系直接或间接设未知数。
③列方程：根据等量关系与未知数列出分式方程。
④解方程——按照解分式方程的步骤解方程。
④答——检验方程的解是否满足实际情况，然后作答。
微专题
23．（2022•内蒙古）某班学生去距学校10km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达．已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，设骑车学生的速度为x km/h，下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据汽车的速度和骑车学生速度之间的关系，可得出汽车的速度为2xkm/h，利用时间＝路程÷速度，结合汽车比骑车学生少用20min，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：∵骑车学生的速度为xkm/h，且汽车的速度是骑车学生速度的2倍，
∴汽车的速度为2xkm/h．
依题意得：﹣＝，
即﹣＝．
故选：D．
24．（2022•淄博）为扎实推进“五育”并举工作，加强劳动教育，某校投入2万元购进了一批劳动工具．开展课后服务后，学生的劳动实践需求明显增强，需再次采购一批相同的劳动工具，已知采购数量与第一次相同，但采购单价比第一次降低10元，总费用降低了15%．设第二次采购单价为x元，则下列方程中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据题目中的数据和两次购买的数量相同，可以列出相应的分式方程．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：D．
25．（2022•阜新）我市某区为30万人接种新冠疫苗，由于市民积极配合这项工作，实际每天接种人数是原计划的1.2倍，结果提前20天完成了这项工作．设原计划每天接种x万人，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】由实际接种人数与原计划接种人数间的关系，可得出实际每天接种1.2x万人，再结合结果提前20天完成了这项工作，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：∵实际每天接种人数是原计划的1.2倍，且原计划每天接种x万人，
∴实际每天接种1.2x万人，
又∵结果提前20天完成了这项工作，
∴﹣＝20．
故选：A．
26．（2022•襄阳）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到900里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间，设规定时间为x天，则可列出正确的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据快、慢马送到所需时间与规定时间之间的关系，可得出慢马送到所需时间为（x+1）天，快马送到所需时间为（x﹣3）天，再利用速度＝路程÷时间，结合快马的速度是慢马的2倍，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：∵规定时间为x天，
∴慢马送到所需时间为（x+1）天，快马送到所需时间为（x﹣3）天，
又∵快马的速度是慢马的2倍，两地间的路程为900里，
∴＝2×．
故选：B．
27．（2022•朝阳）八年一班学生周末乘车去红色教育基地参观学习，基地距学校60km，一部分学生乘慢车先行，出发30min后，另一部分学生乘快车前往，结果同时到达．已知快车的速度是慢车速度的1.5倍，求慢车的速度．设慢车每小时行驶xkm，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】设慢车每小时行驶xkm，则快车每小时行驶1.5xkm，根据基地距学校60km，一部分学生乘慢车先行，出发30min后，另一部分学生乘快车前往，结果同时到达，列方程即可．
【解答】解：设慢车每小时行驶xkm，则快车每小时行驶1.5xkm，
根据题意可得：﹣＝．
故选：A．
28．（2022•黔西南州）某农户承包的36亩水田和30亩旱地需要耕作．每天平均耕作旱地的亩数比耕作水田的亩数多4亩．该农户耕作完旱地所用的时间是耕作完水田所用时间的一半，求平均每天耕作水田的亩数．设平均每天耕作水田x亩，则可以得到的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据该农户耕作完旱地所用的时间是耕作完水田所用时间的一半列出方程即可．
【解答】解：根据题意得：＝2×．
故选：D．
29．（2022•济宁）一辆汽车开往距出发地420km的目的地，若这辆汽车比原计划每小时多行10km，则提前1小时到达目的地．设这辆汽车原计划的速度是xkm/h，根据题意所列方程是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据提速后及原计划车速间的关系，可得出这辆汽车提速后的速度是（x+10）km/h，利用时间＝路程÷速度，结合提速后可提前1小时到达目的地，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：∵这辆汽车比原计划每小时多行10km，且这辆汽车原计划的速度是xkm/h，
∴这辆汽车提速后的速度是（x+10）km/h．
依题意得：＝+1，
故选：C．
30．（2022•辽宁）小明和小强两人在公路上匀速骑行，小强骑行28km所用时间与小明骑行24km所用时间相等，已知小强每小时比小明多骑行2km，小强每小时骑行多少千米？设小强每小时骑行xkm，所列方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
【分析】根据小强与小明骑行速度间的关系可得出小明每小时骑行（x﹣2）km，利用时间＝路程÷速度，结合小强骑行28km所用时间与小明骑行24km所用时间相等，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：∵小强每小时比小明多骑行2km，小强每小时骑行xkm，
∴小明每小时骑行（x﹣2）km．
依题意得：＝．
故选：D．
31．（2022•恩施州）一艘轮船在静水中的速度为30km/h，它沿江顺流航行144km与逆流航行96km所用时间相等，江水的流速为多少？设江水流速为v km/h，则符合题意的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据“顺流航行144km与逆流航行96km所用时间相等”列分式方程即可．
【解答】解：根据题意，可得，
故选：A．
32．（2022•绥化）有一个容积为24m3的圆柱形的空油罐，用一根细油管向油罐内注油，当注油量达到该油罐容积的一半时，改用一根口径为细油管口径2倍的粗油管向油罐注油，直至注满，注满油的全过程共用30分钟．设细油管的注油速度为每分钟xm3，由题意列方程，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】设细油管的注油速度为每分钟xm3，则粗油管的注油速度为每分钟4xm3，利用注油所需时间＝注油总量÷注油速度，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：24÷2＝12（m3）．
设细油管的注油速度为每分钟xm3，则粗油管的注油速度为每分钟4xm3，
依题意得：+＝30．
故选：A．
33．（2022•荆州）“爱劳动，劳动美．”甲、乙两同学同时从家里出发，分别到距家6km和10km的实践基地参加劳动．若甲、乙的速度比是3：4，结果甲比乙提前20min到达基地，求甲、乙的速度．设甲的速度为3xkm/h，则依题意可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据甲、乙的速度比是3：4，可以设出甲和乙的速度，然后根据甲比乙提前20min到达基地，可以列出相应的方程．
【解答】解：由题意可知，甲的速度为3xkm/h，则乙的速度为4xkm/h，
+＝，
即+＝，
故选：A．
34．（2022•鞍山）某加工厂接到一笔订单，甲、乙车间同时加工，已知乙车间每天加工的产品数量是甲车间每天加工的产品数量的1.5倍，甲车间加工4000件比乙车间加工4200件多用3天．设甲车间每天加工x件产品，根据题意可列方程为 ．
【分析】根据两车间工作效率间的关系，可得出乙车间每天加工1.5x件产品，再根据甲车间加工4000件比乙车间加工4200件多用3天，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：∵甲车间每天加工x件产品，乙车间每天加工的产品数量是甲车间每天加工的产品数量的1.5倍，
∴乙车间每天加工1.5x件产品，
又∵甲车间加工4000件比乙车间加工4200件多用3天，
∴﹣＝3．
故答案为：﹣＝3．
35．（2022•青岛）为落实青岛市中小学生“十个一”行动计划，学校举办以“强体质，炼意志”为主题的体育节，小亮报名参加3000米比赛项目，经过一段时间训练后，比赛时小亮的平均速度比训练前提高了25%，少用3分钟跑完全程，设小亮训练前的平均速度为x米/分，那么x满足的分式方程为 ．
【分析】根据等量关系：原来参加3000米比赛时间﹣经过一段时间训练后参加3000米比赛时间＝3分钟，依此列出方程即可求解．
【解答】解：依题意有：﹣＝3．
故答案为：﹣＝3．
36．（2022•黑龙江）某玩具厂生产一种玩具，甲车间计划生产500个，乙车间计划生产400个，甲车间每天比乙车间多生产10个，两车间同时开始生产且同时完成任务．设乙车间每天生产x个，可列方程为 ．
【分析】根据甲车间生产500个玩具所用的时间＝乙车间生产400个玩具所用的时间，列出方程即可解答．
【解答】解：设乙车间每天生产x个，则甲车间每天生产（x+10）个，
由题意得：＝，
故答案为：＝．
37．（2022•江西）甲、乙两人在社区进行核酸采样，甲每小时比乙每小时多采样10人，甲采样160人所用时间与乙采样140人所用时间相等，甲、乙两人每小时分别采样多少人？设甲每小时采样x人，则可列分式方程为 ．
【分析】由实际问题找到合适的等量关系即可抽象出分式方程．
【解答】解：设甲每小时采样x人，则乙每小时采样（x﹣10）人，根据题意得：
＝．
故答案为：＝．