2024年中考数学必考考点专题12 圆综合篇（解析版）

这是一份2024年中考数学必考考点专题12 圆综合篇（解析版），共24页。试卷主要包含了 切线长定理， 切割线定理，4≈19，，41，cs24°≈0，9，等内容，欢迎下载使用。

垂径定理：
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
垂径定理的推论：
推论1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论2：弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。
推论3：平分弦所对一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧。
垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题。
圆心角、弦以及弧之间的关系：
①定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
②推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧。
圆周角定理：
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
圆周角定理的推论：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
圆的内接四边形：
①定义：四个顶点都在圆上的四边形叫做圆的内接四边形。
②性质： = 1 \* ROMAN \* MERGEFORMAT I：圆内接四边形的对角互补。
= 2 \* ROMAN \* MERGEFORMAT II：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。
三角形的外接圆与外心：
经过三角形的三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆。圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫
做三角形的外心。
切线的性质：
①圆的切线垂直于经过切点的半径。
②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。
③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
运用切线的性质进行计算或证明时，常常作的辅助线是连接圆心和切点，通过构造直角三角形或相似三角形解决问题。
切线的判定：
经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径，可简单的说成“无交点，作垂线段，证半径”；当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线，可简单地说成“有交点，作半径，证垂直”。
相交弦定理：
圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
几何语言：若弦交于点，则。
推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
几何语言：若是直径，垂直于点，则。
弦切角定理：
（1）弦切角的定义：如图像∠ACP这样，顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。
（2）弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半。等于这条弧所对的圆周角。即∠PCA=∠PBC。
12. 切线长定理：
（1）切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
（2）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。
13. 切割线定理：
从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
几何语言：
∵PT切⊙O于点T，PBA是⊙O的割线
∴PT2=PA•PB（切割线定理）。
推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
几何语言：
∵PBA，PDC是⊙O的割线
∴PD•PC=PA•PB
由上可知：PT2=PA•PB=PC•PD。
三角形的内切圆与内心：
内切圆与内心的概念：与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点。
弧长计算公式：
（弧长为，圆心角度数为，圆的半径为）
扇形的面积计算公式：
或（其中为扇形的弧长）。
求阴影部分的常用方法：
①直接用公式法；
②和差法；
③割补法．
专题练习
1．如图，△ABC内接于⊙O，AD∥BC交⊙O于点D，DF∥AB交BC于点E，交⊙O于点F，连接AF，CF．
（1）求证：AC＝AF；
（2）若⊙O的半径为3，∠CAF＝30°，求 EQ \* jc2 \* "Fnt:Times New Rman" \* hps18 \ \ad(\s \up 9(⌒),AC)的长（结果保留π）．
【分析】（1）根据已知条件可证明四边形ABED是平行四边形，由平行四边形的性质可得∠B＝∠D，等量代换可得∠AFC＝∠ACF，即可得出答案；
（2）连接AO，CO，由（1）中结论可计算出∠AFC的度数，根据圆周角定理可计算出∠AOC的度数，再根据弧长计算公式计算即可得出答案．
【解答】证明：（1）∵AD∥BC，DF∥AB，
∴四边形ABED为平行四边形，
∴∠B＝∠D，
∵∠AFC＝∠B，∠ACF＝∠D，
∴∠AFC＝∠ACF，
∴AC＝AF．
（2）连接AO，CO，如图，
由（1）得∠AFC＝∠ACF，
∵∠AFC＝＝75°，
∴∠AOC＝2∠AFC＝150°，
∴的长l＝＝．
2．如图①，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E、F都在直线l上，且AB＝7，EF＝10，BC＞5．点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动，矩形ABCD随之运动，运动时间为t秒．
（1）如图②，当t＝2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度；
（2）在点B运动的过程中，当AD、BC都与半圆O相交时，设这两个交点为G、H．连接OG、OH，若∠GOH为直角，求此时t的值．
【分析】（1）通过判定△MEO为等边三角形，然后根据弧长公式求解；
（2）通过判定△GAO≌△HBO，然后利用全等三角形的性质分析求解．
【解答】解：（1）设BC与⊙O交于点M，
当t＝2.5时，BE＝2.5，
∵EF＝10，
∴OE＝EF＝5，
∴OB＝2.5，
∴EB＝OB，
在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，
∴ME＝MO，
又∵MO＝EO，
∴ME＝EO＝MO，
∴△MOE是等边三角形，
∴∠EOM＝60°，
∴＝＝，
即半圆O在矩形ABCD内的弧的长度为；
（2）连接GO，HO，
∵∠GOH＝90°，
∴∠AOG+∠BOH＝90°，
∵∠AGO+∠AOG＝90°，
∴∠AGO＝∠BOH，
在△AGO和△OBH中，
，
∴△AGO≌△BOH（AAS），
∴OB＝AG＝t﹣5，
∵AB＝7，
∴AE＝t﹣7，
∴AO＝5﹣（t﹣7）＝12﹣t，
在Rt△AGO中，AG2+AO2＝OG2，
∴（t﹣5）2+（12﹣t）2＝52，
解得：t1＝8，t2＝9，
即t的值为8或9．
3．石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶（如图1），隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为．桥的跨度（弧所对的弦长）AB＝26m，设 EQ \* jc2 \* "Fnt:Times New Rman" \* hps18 \ \ad(\s \up 9(⌒),AB)所在圆的圆心为O，半径OC⊥AB，垂足为D．拱高（弧的中点到弦的距离）CD＝5m．连接OB．
（1）直接判断AD与BD的数量关系；
（2）求这座石拱桥主桥拱的半径（精确到1m）．
【分析】（1）根据垂径定理便可得出结论；
（2）设主桥拱半径为R，在Rt△OBD中，根据勾股定理列出R的方程便可求得结果．
【解答】解：（1）∵OC⊥AB，
∴AD＝BD；
（2）设主桥拱半径为R，由题意可知AB＝26，CD＝5，
∴BD＝AB＝13，
OD＝OC﹣CD＝R﹣5，
∵∠ODB＝90°，
∴OD2+BD2＝OB2，
∴（R﹣5）2+132＝R2，
解得R＝19.4≈19，
答：这座石拱桥主桥拱的半径约为19m．
4．如图，四边形ABCD内接于⊙O，BD为⊙O的直径，AC平分∠BAD，CD＝2，点E在BC的延长线上，连接DE．
（1）求直径BD的长；
（2）若BE＝5，计算图中阴影部分的面积．
【分析】（1）由BD为⊙O的直径，得到∠BCD＝90°，AC平分∠BAD，得到∠BAC＝∠DAC，所以BC＝DC，△BDC是等腰直角三角形，即可求出BD的长；
（2）因为BC＝DC，所以阴影的面积等于三角形CDE的面积．
【解答】解：（1）∵BD为⊙O的直径，
∴∠BCD＝∠DCE＝90°，
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC，
∴BC＝DC＝2，
∴BD＝2×＝4；
（2）∵BE＝5，
∴CE＝3，
∵BC＝DC，
∴S阴影＝S△CDE＝×2×＝6．
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交线段CA的延长线于点E，连接BE．
（1）求证：BD＝CD；
（2）若tan C＝，BD＝4，求AE．
【分析】（1）连接AD，利用直径所对的圆周角是直角可得∠ADB＝90°，然后利用等腰三角形的三线合一性质即可解答；
（2）利用（1）的结论可得BD＝DC＝4，BC＝8，然后在Rt△ADC中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，从而利用勾股定理求出AC的长，最后证明△CDA∽△CEB，利用相似三角形的性质求出CE的长，进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：连接AD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∵AB＝AC，
∴BD＝DC；
（2）解：∵BD＝DC＝4，
∴BC＝DB+DC＝8，
在Rt△ADC中，tanC＝，
∴AD＝CD•tanC＝4×＝2，
∴AC＝＝＝2，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵∠AEB＝∠ADC＝90°，∠C＝∠C，
∴△CDA∽△CEB，
∴＝，
∴＝，
∴CE＝，
∴AE＝CE﹣AC＝，
∴AE的长为．
6．如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD．
（1）判断△BDE的形状，并证明你的结论；
（2）若AB＝10，BE＝2，求BC的长．
【分析】（1）由角平分线的定义可知，∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC，所以∠BED＝∠DBE，所以BD＝ED，因为AB为直径，所以∠ADB＝90°，所以△BDE是等腰直角三角形．
（2）连接OC、CD、OD，OD交BC于点F．因为∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD．所以BD＝DC．因为OB＝OC．所以OD垂直平分BC．由△BDE是等腰直角三角形，BE＝2，可得BD＝2．因为OB＝OD＝5．设OF＝t，则DF＝5﹣t．在Rt△BOF和Rt△BDF中，52﹣t2＝（2）2﹣（5﹣t）2，解出t的值即可．
【解答】（1）解：△BDE为等腰直角三角形．
证明：∵AE 平分∠BAC，BE 平分∠ABC，
∴∠BAE＝∠CAD＝∠CBD，∠ABE＝∠EBC．
∵∠BED＝∠BAE+∠ABE，∠DBE＝∠DBC+∠CBE，
∴∠BED＝∠DBE．
∴BD＝ED．
∵AB为直径，
∴∠ADB＝90°，
∴△BDE是等腰直角三角形．
另解：计算∠AEB＝135°也可以得证．
（2）解：连接OC、CD、OD，OD交BC于点F.
∵∠DBC＝∠CAD＝∠BAD＝∠BCD．
∴BD＝DC．
∵OB＝OC．
∴OD垂直平分BC．
∵△BDE是等腰直角三角形，BE＝2，
∴BD＝2．
∵AB＝10，
∴OB＝OD＝5．
设OF＝t，则DF＝5﹣t．
在Rt△BOF和Rt△BDF中，52﹣t2＝（2）2﹣（5﹣t）2，
解得t＝3，
∴BF＝4．
∴BC＝8．
另解：分别延长AC，BD相交于点G．则△ABG为等腰三角形，先计算AG＝10，BG＝4，AD＝4，再根据面积相等求得BC．
7．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，连接AC，BD，延长CD至点E．
（1）若AB＝AC，求证：∠ADB＝∠ADE；
（2）若BC＝3，⊙O的半径为2，求sin∠BAC．
【分析】（1）根据圆内接四边形的性质以及等腰三角形的性质即可求证；
（2）连接CO并延长交⊙O于点F，连接BF，根据圆周角定理得出∠FBC＝90°，∠F＝∠BAC，解直角三角形即可得解．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠ADE＝∠ABC，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠ACB＝∠ADB，
∴∠ADB＝∠ADE；
（2）解：连接CO并延长交⊙O于点F，连接BF，
则∠FBC＝90°，
在Rt△BCF中，CF＝4，BC＝3，
∴sinF＝＝，
∵∠F＝∠BAC，
∴sin∠BAC＝．
8．如图，正方形ABCD内接于⊙O，点E为AB的中点，连接CE交BD于点F，延长CE交⊙O于点G，连接BG．
（1）求证：FB2＝FE•FG；
（2）若AB＝6，求FB和EG的长．
【分析】（1）利用相似三角形的判定与性质解答即可；
（2）连接OE，利用平行线分线段成比例定理求得FB；利用相交弦定理求EG即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BC，
∴．
∴∠DBA＝∠G．
∵∠EFB＝∠BFG，
∴△EFB∽△BFG，
∴，
∴FB2＝FE•FG；
（2）解：连接OE，如图，
∵AB＝AD＝6，∠A＝90°，
∴BD＝＝6．
∴OB＝BD＝3．
∵点E为AB的中点，
∴OE⊥AB，
∵四边形ABCD是正方形，
∴BC⊥AB，∠DBA＝45°，AB＝BC，
∴OE∥BC，OE＝BE＝AB．
∴．
∴，
∴，
∴BF＝2；
∵点E为AB的中点，
∴AE＝BE＝3，
∴EC＝＝3．
∵AE•BE＝EG•EC，
∴EG＝．
9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ADB＝∠CDB．
（1）试判断△ABC的形状，并给出证明；
（2）若AB＝，AD＝1，求CD的长度．
【分析】（1）根据圆周角定理，等腰直角三角形的判定定理解答即可；
（2）根据勾股定理解答即可．
【解答】解：（1）△ABC是等腰直角三角形，证明过程如下：
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ADC＝∠ABC＝90°，
∵∠ADB＝∠CDB，
∴，
∴AB＝BC，
又∵∠ABC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形．
（2）在Rt△ABC中，AB＝BC＝，
∴AC＝2，
在Rt△ADC中，AD＝1，AC＝2，
∴CD＝．
即CD的长为：．
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，O是BC边上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB相交于点D，连接CD，且CD＝AC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若∠A＝60°，AC＝2，求 EQ \* jc2 \* "Fnt:Times New Rman" \* hps18 \ \ad(\s \up 9(⌒),BD)的长．
【分析】（1）连接OD．由等腰三角形的性质及圆的性质可得∠A＝∠ADC，∠B＝∠BDO．再根据余角性质及三角形的内角和定理可得∠ODC＝180°﹣（∠ADC+∠BDO）＝90°．最后由切线的判定定理可得结论；
（2）根据等边三角形的判定与性质可得∠DCO＝∠ACB﹣∠ACD＝30°．再由解直角三角形及三角形内角和定理可得∠BOD的度数，最后根据弧长公式可得答案．
【解答】（1）证明：连接OD．
∵AC＝CD，
∴∠A＝∠ADC．
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠BDO．
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°．
∴∠ADC+∠BDO＝90°．
∴∠ODC＝180°﹣（∠ADC+∠BDO）＝90°．
又∵OD是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：∵AC＝CD＝，∠A＝60°，
∴△ACD是等边三角形．
∴∠ACD＝60°．
∴∠DCO＝∠ACB﹣∠ACD＝30°．
在Rt△OCD中，OD＝CDtan∠DCO＝tan30°＝2．
∵∠B＝90°﹣∠A＝30°，OB＝OD，
∴∠ODB＝∠B＝30°．
∴∠BOD＝180°﹣（∠B+∠BDO）＝120°．
∴的长＝．
11．如图，在⊙O中，AB为⊙O的直径，点E在⊙O上，D为 EQ \* jc2 \* "Fnt:Times New Rman" \* hps18 \ \ad(\s \up 9(⌒),BE)的中点，连接AE，BD并延长交于点C．连接OD，在OD的延长线上取一点F，连接BF，使∠CBF＝∠BAC．
（1）求证：BF为⊙O的切线；
（2）若AE＝4，OF＝，求⊙O的半径．
【分析】（1）连接AD，由圆周角定理可得∠ADB＝90°，由等弧对等角可得∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，再进行等量代换可得∠ABF＝90°便可证明；
（2）连接BE，由圆周角定理可得∠AEB＝90°，∠BOD＝2∠BAD，于是∠BOD＝∠BAC，由△OBF∽△AEB可得OB：AE＝OF：AB，再代入求值即可．
【解答】（1）证明：如图，连接AD，
AB是圆的直径，则∠ADB＝90°，
D为的中点，则∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，
∵，
∴∠CBF＝∠BAD，
∵∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠ABF＝∠ABD+∠CBF＝90°，
∴AB⊥BF，
∵OB是⊙O的半径，
∴BF是⊙O的切线；
（2）解：如图，连接BE，
AB是圆的直径，则∠AEB＝90°，
∵∠BOD＝2∠BAD，∠BAC＝2∠BAD，
∴∠BOD＝∠BAC，
又∵∠ABF＝∠AEB＝90°，
∴△OBF∽△AEB，
∴OB：AE＝OF：AB，
∴OB：4＝：2OB，OB2＝9，
OB＞0，则OB＝3，
∴⊙O的半径为3．
12．如图1，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，O为底边BC的中点，过点O作OD⊥AB，垂足为D，以点O为圆心，OD为半径作圆，交BC于点M，N．
（1）AB与⊙O的位置关系为 ；
（2）求证：AC是⊙O的切线；
（3）如图2，连接DM，DM＝4，∠A＝96°，求⊙O的直径．（结果保留小数点后一位．参考数据：sin24°≈0.41，cs24°≈0.91，tan24°≈0.45）
【分析】（1）利用直线与圆的相切的定义解答即可；
（2）过点O作OE⊥AC于点E，连接OA，通过证明OE＝OD，利用直线与圆相切的定义解答即可；
（3）过点O作OF⊥DM于点F，利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求得∠BOD＝48°，再利用垂径定理和直角三角形的边角关系定理求得圆的半径，则圆的直径可求．
【解答】（1）解：∵OD⊥AB，点O为圆心，OD为半径，
∴直线AB到圆心O的距离等于圆的半径，
∴AB为⊙O的切线，
∴AB与⊙O的位置关系为相切，
故答案为：相切；
（2）证明：过点O作OE⊥AC于点E，连接OA，如图，
∵AB＝AC，O为底边BC的中点，
∴AO为∠BAC的平分线，
∵OD⊥AB，OE⊥AC，
∴OD＝OE，
∵OD为⊙O的半径，
∴OE为⊙O的半径，
这样，直线AC到圆心O的距离等于圆的半径，
∴AC是⊙O的切线；
（3）解：过点O作OF⊥DM于点F，如图，
∵AB＝AC，∠A＝96°，
∴∠B＝∠C＝＝42°，
∵OD⊥AB，
∴∠BOD＝90°﹣∠B＝48°．
∵OF⊥DM，
∴DF＝MF＝DM＝2，
∵OD＝OM，OF⊥DM，
∴OF为∠DOM的平分线，
∴∠DOF＝∠BOD＝24°．
在Rt△ODF中，
∵sin∠DOF＝，
∴sin24°＝，
∴OD＝≈≈4.9，
∴⊙O的直径＝2OD＝2×4.9＝9.8．
13．已知△ABC是⊙O的内接三角形，∠BAC的平分线与⊙O相交于点D，连接DB．
（1）如图①，设∠ABC的平分线与AD相交于点I，求证：BD＝DI；
（2）如图②，过点D作直线DE∥BC，求证：DE是⊙O的切线；
（3）如图③，设弦BD，AC延长后交⊙O外一点F，过F作AD的平行线交BC的延长线于点G，过G作⊙O的切线GH（切点为H），求证：FG＝HG．
【分析】（1）根据角的和与外角的性质可得：∠BID＝∠DBI，从而得结论；
（2）根据垂径定理可得：OD⊥BC，再由BC∥DE可得结论；
（3）如图③，连接BH，CH，证明△HCG∽△BHG和△CGF∽△FGB，可得结论．
【解答】证明：（1）如图①，
∵AD平分∠BAC，BI平分∠ABC，
∴∠BAD＝∠CAD，∠ABI＝∠CBI，
∵∠CAD＝∠CBD，
∴∠CBD＝∠BAD，
∵∠BID＝∠BAD+∠ABI，∠DBI＝∠CBD+∠CBI，
∴∠BID＝∠DBI，
∴BD＝DI；
（2）如图②，连接OD，
∵∠CAD＝∠BAD，
∴＝，
∴OD⊥BC，
∵DE∥BC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
（3）如图，作直径交⊙O于M，连接CM，BH，CH，
∴∠MCH＝90°，
∴∠M+∠CHM＝90°，
∵∠B＝∠M，
∴∠B+∠CHM＝90°，
∵GH是⊙O的切线，
∴∠OHG＝∠CHG+∠CHM＝90°，
∴∠CHG＝∠B，
如图③，连接BH，CH，
∵GH是⊙O的切线，
∴∠CHG＝∠HBG，
∵∠CGH＝∠BGH，
∴△HCG∽△BHG，
∴＝，
∴GH2＝BG•CG，
∵AD∥GF，
∴∠AFG＝∠CAD，
∵∠CAD＝∠FBG，
∴∠FBG＝∠AFG，
∵∠CGF＝∠BGF，
∴△CGF∽△FGB，
∴＝，
∴FG2＝BG•CG，
∴FG＝HG．
14．如图CD是⊙O直径，A是⊙O上异于C，D的一点，点B是DC延长线上一点，连AB、AC、AD，且∠BAC＝∠ADB．
（1）求证：直线AB是⊙O的切线；
（2）若BC＝2OC，求tan∠ADB的值；
（3）在（2）的条件下，作∠CAD的平分线AP交⊙O于P，交CD于E，连PC、PD，若AB＝2，求AE•AP的值．
【分析】（1）连接OA，先得出∠OAC+∠OAD＝90°，再得出∠BAC+∠OAC＝90°，进而得出∠BAO＝90°，最后根据切线的判定得出结论；
（2）先得出△BCA∽△BAD，进而得出，设半径OC＝OA＝r，根据勾股定理得出AB＝r，最后根据三角函数得出结果；
（3）由（2）的结论，得出 r＝，结合直角三角形的性质得出AC＝2，AD＝2，然后得出△CAP∽EAD，最后根据AE•AP＝AC•AD得出结论．
【解答】（1 ）证明：连接OA，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CAD＝90°，
∴∠OAC+∠OAD＝90°，
又∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA，
又∵∠BAC＝∠ADB，
∴∠BAC+∠OAC＝90°，
即∠BAO＝90°，
∴AB⊥OA，
又∵OA为半径，
∴直线AB是⊙O的切线；
（2）解：∵∠BAC＝∠ADB，∠B＝∠B，
∴△BCA∽△BAD，
∴，
设半径OC＝OA＝r，
∵BC＝2OC，
∴BC＝2r，OB＝3r，
在Rt△BAO中，
AB＝，
在Rt△CAD中，
tan∠ADC＝；
（3）解：在（2）的条件下，AB＝2r＝2，
∴r＝，
∴CD＝2，
在Rt△CAD中，
，AC2+AD2＝CD2，
解得AC＝2，AD＝2，
∵AP平分∠CAD，
∴∠CAP＝∠EAD，
又∵∠APC＝∠ADE，
∴△CAP∽△EAD，
∴，
∴AE•AP＝AC•AD＝2×2＝4．
15．如图，已知AB是⊙O的直径，点E是⊙O上异于A，B的点，点F是 EQ \* jc2 \* "Fnt:Times New Rman" \* hps18 \ \ad(\s \up 9(⌒),EB)的中点，连接AE，AF，BF，过点F作FC⊥AE交AE的延长线于点C，交AB的延长线于点D，∠ADC的平分线DG交AF于点G，交FB于点H．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求sin∠FHG的值；
（3）若GH＝4，HB＝2，求⊙O的直径．
【分析】（1）连接OF，证明OF⊥CD即可；
（2）证明∠FGH＝∠FHG＝45°，可得结论；
（3）过点H作HM⊥DF于点M，HN⊥AD于点N．则HM＝HN，可得＝＝＝＝2设DB＝k，DF＝2k，证明△DFB∽△DAF，推出DF2＝DB•DA，可得AD＝4k，由GD平分∠ADF，同法可得＝＝，推出AG＝8，再利用勾股定理求解即可．
【解答】（1）证明：连接OF．
∵OA＝OF，
∴∠OAF＝∠OFA，
∵＝，
∴∠CAF＝∠FAB，
∴∠CAF＝∠AFO，
∴OF∥AC，
∵AC⊥CD，
∴OF⊥CD，
∵OF是半径，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：∵AB是直径，
∴∠AFB＝90°，
∵OF⊥CD，
∴∠OFD＝∠AFB＝90°，
∴∠AFO＝∠DFB，
∵∠OAF＝∠OFA，
∴∠DFB＝∠OAF，
∵GD平分∠ADF，
∴∠ADG＝∠FDG，
∵∠FGH＝∠OAF+∠ADG，∠FHG＝∠DFB+∠FDG，
∴∠FGH＝∠FHG＝45°，
∴sin∠FHG＝；
（3）解：过点H作HM⊥DF于点M，HN⊥AD于点N．
∵HD平分∠ADF，
∴HM＝HN，
∵＝＝＝，
∵△FGH是等腰直角三角形，GH＝4，
∴FH＝FG＝4，
∴＝＝2，
设DB＝k，DF＝2k，
∵∠FDB＝∠ADF，∠DFB＝∠DAF，
∴△DFB∽△DAF，
∴DF2＝DB•DA，
∴AD＝4k，
∵GD平分∠ADF，
∴∠FDH＝∠ADG，
∴△FDH∽△ADG，
∴＝＝，
∴AG＝8，
∵∠AFB＝90°，AF＝12，FB＝6，
∴AB＝＝＝6，
∴⊙O的直径为6．