2023-2024学年河南省郑州外国语中学八年级（下）期中数学试卷（含解析）

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这是一份2023-2024学年河南省郑州外国语中学八年级（下）期中数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列交通标志中，是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.已知a>b，下列不等式一定成立的是( )
A. a+1b3C. −3a>−3bD. a−c3.下列各组线段，能组成直角三角形的是( )
A. a=1，b=2，c=2B. a=2，b=3，c=5
C. a=2，b=4，c=5D. a=3，b=4，c=5
4.下列命题：
①等边三角形的三个内角都相等；
②若|a|=|b|，则a=b；
③对顶角相等；
④等边对等角.它们的逆命题是真命题的个数是( )
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，若CD=4cm，则点D到AB的距离DE是( )
A. 2cm
B. 3cm
C. 4cm
D. 5cm
6.七年级的小明要从郑州外国语中学到烈士陵园参加扫墓活动，两地相距3.6千米.已知他步行的平均速度为70米/分，跑步的平均速度为210米/分，若他要在不超过40分钟的时间内到达烈士陵园，至少需要跑步多少分钟？设他需要跑步x分钟，则列出的不等式为( )
A. 210x+70(40−x)≥3.6B. 70x+210(40−x)≤3600
C. 210x+70(40−x)≥3600D. 70x+210(40−x)≤3.6
7.如图，衣架框内部可以近似看成一个等腰三角形，记为等腰三角形ABC，若AB=AC=26cm，D是BC的中点，∠ABC=30°，则AD的长为( )
A. 11cmB. 12cmC. 13cmD. 14cm
8.如图，一次函数y=ax+b(a,b是常数，a≠0)的图象与x轴交于点(2,0)，则关于x的不等式ax+b>0的解集是( )
A. x>2
B. x<2
C. x≥2
D. x≤2
9.关于x的不等式组x>m+35x−2<4x+1的整数解仅有4个，则m的取值范围是( )
A. −5≤m<−4B. −510.如图，在一张无穷大的方格纸上，格点的位置可用坐标(m,n)表示，如点A的坐标为(3,3)，点B的坐标为(6,2).点M从(0,0)开始移动，规律为：第1次向右移动1个单位到(1,0)，第2次向上移动2个单位到(1,2)，第3次向右移动3个单位到(4,2)，…，第n次移动n个单位(n为奇数时向右，n为偶数时向上)，那么点M第89次移动到的位置为( )
A. (2022,2010)B. (2023,2000)C. (2024,1990)D. (2025,1980)
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.已知△ABC，要想用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.我们需要先假设______．
12.如图是华为手机天气APP上显示的郑州市某一天的气温情况，设这天气温为t℃，那么t应满足条件是______.(用含有t的不等式表示)
13.如图，△ABC中，AB=6cm，BC=7cm，AC=3cm，将△ABC沿BC方向平移a cm(014.若不等式组x−a>02x−3≤1有解，则a的取值范围是______．
15.△ABC是边长为2的等边三角形，BF⊥AC，点D为BF上一个动点.连接AD，将线段AD绕点A顺时针旋转60°得到线段AE，当△CEF是直角三角形时，EF的长为______．
三、解答题：本题共7小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题6分)
解不等式：x−32−x≥−2，并把它的解集在数轴上表示出来．
17.(本小题7分)
已知：如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，请你用尺规作一条直线，把△ABC分成两个小等腰三角形，并说明理由．
18.(本小题8分)
在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立如图所示的平面直角坐标系，已知格点△ABC(顶点为网格线的交点)．
(1)将△ABC绕点O旋转180°得到△A1B1C1，作出△A1B1C1；
(2)将△A1B1C1向上平移4个单位得到△A2B2C2，作出△A2B2C2；
(3)△ABC经过两次位置变换后得到△A2B2C2，请你写出这两个图形上对应点的坐标之间有怎样的关系？
19.(本小题8分)
如图，Rt△ABC中，∠C=90°，直线DE是边AB的垂直平分线，连接BE．
(1)若∠A=40°，求∠CBE的度数；
(2)若AE=3，EC=1，求△ABC的面积．
20.(本小题8分)
【阅读】根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法：
若a−b>0，则a>b；
若a−b=0，则a=b；
若a−b<0，则a反之也成立．
这种比较大小的方法称为“作差法比较大小”．
【理解】(1)若a−b+2>0，则a+1 b−1.(填“>”、“=”或“<”)
【运用】(2)若M=a2+3b，N=2a2+3b+1，试比较M，N的大小．
【拓展】(3)请运用“作差法比较大小”解决下面这个问题.制作某产品有两种用料方案，
方案一：用5块A型钢板，6块B型钢板．
方案二：用4块A型钢板.7块B型钢板.每块A型钢板的面积比每块B型钢板的面积小.方案一的总面积记为S1，方案二的总面积记为S2，试比较S1，S2的大小．
21.(本小题9分)
郑州外国语中学为迎接40周年校庆，决定委托设计公司制作A、B两种纪念章，已知制作3个A种纪念章比制作2个B种纪念章多花140元，制作4个A种纪念章与制作5个B种纪念章所需钱数相同．
(1)求A，B两种纪念章每个的价格；
(2)设计公司也给出了优惠方案，A种纪念章打九折.若学校打算制作A，B两种纪念章共300个，且B种纪念章的个数不多于A种纪念章个数的一半，则学校最少要花费多少钱？
22.(本小题9分)
【模型说明】已知△ABC和△ADE都是等边三角形．
【模型感知】(1)当△ABC旋转到如图1位置时，请直接写出BE和CD的数量关系：______；
【模型应用】(2)如图2，当△ADE旋转至点D在CB的延长线上时，求证：AB+BD=BE；
【类比探究】(3)当△ADE旋转至点D在射线BC上时，过点E作EF⊥AB于点F.请直接写出线段AB，BF与BD之间存在的数量关系．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：A、是中心对称图形．故符合题意；
B、不是中心对称图形．故不合题意；
C、不是中心对称图形．故不合题意；
D、不是中心对称图形．故不合题意．
故选：A．
根据中心对称图形的概念：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行判断即可．
本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2.【答案】B
【解析】解：A、a>b，则a+1>b+1，故A不符合题意；
B、a>b，则a3>b3，故B符合题意；
C、a>b，则−3a<−3b，故C不符合题意；
D、a>b，则a−c>b−c，故D不符合题意．
故选：B．
不等式的基本性质：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变；由此即可解决问题．
本题考查不等式的性质，关键是掌握不等式的性质．
3.【答案】D
【解析】解：A、∵12+22≠22，∴该三角形不是直角三角形，故此选项不符合题意；
B、∵22+32≠52，∴该三角形不是直角三角形，故此选项不符合题意；
C、∵22+42≠52，∴该三角形不是直角三角形，故此选项不符合题意；
D、∵32+42=52，∴该三角形是直角三角形，故此选项符合题意；
故选：D．
根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．
本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
4.【答案】B
【解析】解：①等边三角形的三个内角都相等，逆命题是三个内角都相等的三角形是等边三角形，是真命题；
②若|a|=|b|，则a=b，逆命题是若a=b，则|a|=|b|，是真命题；
③对顶角相等，逆命题是相等的角是对顶角，是假命题；
④等边对等角，逆命题是等角对等边，是真命题；
故选：B．
根据逆命题的概念分别写出各个命题的逆命题，根据等边三角形的判定、绝对值的性质、对顶角相等、等腰三角形的判定判断即可．
本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．
5.【答案】C
【解析】解：如图，过D点作DE⊥AB于E，
因为∠ABC的平分线BD交AC于点D，DC⊥BC，DE⊥AB，
所以DE=DC=4，
即点D到AB的距离DE是4cm．
故选：C．
直接利用角平分线的性质解决问题．
本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
6.【答案】C
【解析】解：根据题意列不等式为：210x+70(40−x)≥3600．
故选：C．
根据跑步的路程加上步行的路程大于等于两地距离列不等式即可．
本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，找出题目中的数量关系是解此题的关键．
7.【答案】C
【解析】解：∵AB=AC=26cm，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABC=30°，
∴AD=12AB=13(cm)，
故选：C．
先利用等腰三角形的三线合一性质可得AD⊥BC，从而可得∠ADB=90°，然后在Rt△ABD中，利用含30度角的直角三角形的性质，进行计算即可解答．
本题考查了含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】解：由题意得：ax+b>0的解为x=2，
则关于x的不等式ax+b>0的解集为x<2，
故选：B．
根据一次函数与不等式的关系求解．
本题考查了一次函数与不等式的关系，理解数形结合思想是解题的关键．
9.【答案】A
【解析】解：解不等式组得：m+3由题意得：−2≤m+3<−1，
解得：−5≤m<−4，
故选：A．
先解不等式组，再根据仅有4个整数解得出m的不等式组，再求解．
本题考查了一元一次不等式组的整数解，掌握解不等式组的方法是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】解：根据题意可知，当向右移动时，列的数字发生变化，行的数字不变；当向上移动时，列的数字不变，行的数字变化；
∴点M第89次移动到的位置时，列的数字应该是1～89的所有奇数的和，行的数字应该是1～89中的所有偶数的和；
∵1+3+5+⋯+89中有项数：89+12=45，
∴点M第89次移动到的位置时，列的数字：1+3+5+⋯+89=1+892×45=2025；
∵2+4+6+⋯+88中有项数：882=44，
∴点M第89次移动到的位置时，行的数字：2+4+6+⋯+88=2+882×44=1980；
∴点M第89次移动到的位置为(2025,1980)，
故选：D．
根据题意可知，当向右移动时，列的数字发生变化，行的数字不变；当向上移动时，列的数字不变，行的数字变化，因此点M第89次移动到的位置时，列的数字应该是1～89的所有奇数的和，行的数字应该是1～89中的所有偶数的和，再计算即可．
本题考查的是坐标与图形变化，熟练掌握平移变化与坐标变化的规律是解题的关键．
11.【答案】这个三角形中有两个角是直角
【解析】解：用反证法证明命题“一个三角形中不能有两个角是直角”，
应先假设这个三角形中有两个角是直角，
故答案为：这个三角形中有两个角是直角．
根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答．
本题考查了用反证法证明命题的方法，理解原命题的结论的反面是解题的关键．
12.【答案】10≤t≤19
【解析】解：由图可知，郑州市这天的最高气温是19℃，最低气温是10℃，
∴设这天气温为t℃，则t满足：10≤t≤19；
故答案为：10≤t≤19．
由图可知，郑州市这天的最高气温是19℃，最低气温是10℃，设这天气温为t℃，即可得出t的取值范围．
本题考查的是列代数式，根据题意正确列出代数式是解题的关键．
13.【答案】16
【解析】解：∵将△ABC沿BC方向平移a cm(a<6cm)，得到△DEF，
∴AD=BE，AB=DE，AC=DF，
∴阴影部分的周长=AD+EC+DE+AC=BE+EC+AC+AB=AB+AC+BC=6+7+673=16(cm)，
故答案为：16．
根据平移的性质可得AD=BE，然后判断出阴影部分的周长=△ABC的周长，然后代入数据计算即可得解．
本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
14.【答案】a<2
【解析】解：由x−a>0得：x>a，
由2x−3≤1得：x≤2，
∵不等式组有解，
∴a<2，
故答案为：a<2．
分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：大小小大中间找可得答案．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
15.【答案】 33或12
【解析】解：连接DE，如图：
∵△ABC是边长为4的等边三角形，BF为△ABC的高，
∴∠BAC=60°，AB=AC，∠ABF=30°，CF=12AC=1，
∵将AD绕点A顺时针旋转60°得到AE，
∴∠DAE=60°，AD=AE，
∴∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC，即∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE(SAS)，
∴∠ACE=∠ABD=30°，
①若∠EFC=90°，如图：
∴CE=2EF，
∴EF2+12=(2EF)2，
解得EF= 33(负值已舍去)；
②若∠FEC=90°，如图：
∴EF=12CF=12×1=12；
综上所述，EF的长为 33或12．
故答案为： 33或12．
连接DE，由△ABC是边长为4的等边三角形，BF为△ABC的高，可得∠BAC=60°，AB=AC，∠ABF=30°，CF=12AC=1，根据将AD绕点A顺时针旋转60°得到AE，知∠DAE=60°，AD=AE，故∠BAD=∠CAE，可证△BAD≌△CAE(SAS)，从而∠ACE=∠ABD=30°，①若∠EFC=90°，得EF2+12=(2EF)2，EF= 33；②若∠FEC=90°，EF=12CF=12×1=12．
本题考查旋转的性质，涉及全等三角形判定与性质，等边三角形的性质及应用等知识，解题的关键是掌握旋转前后，对应边相等，对应角相等．
16.【答案】解：x−32−x≥−2，
x−3−2x≥−4，
−x≥−1，
x≤1，
不等式的解集在数轴上表示为：

【解析】按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤求出不等式的解集，然后在数轴上表示出不等式的解集．
本题考查了一元一次不等式的解法，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解答本题的关键．
17.【答案】解：如图所示：过点D作∠ABC的角平分线BD，

∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=(180°−36°)÷2=72°，
∵BD是∠ABC的角平分线，
∴∠ABD=∠CBD=36°，
∴∠ABD=∠A=36°，∠BDC=180°−72°−36°=72°=∠C，
∴AD=BD，BD=BC，
∴△ABD，△BDC均为等腰三角形．
【解析】过点B作∠ABC的角平分线BD，则△ABD，△BDC均为等腰三角形，依此即可求解．
此题主要考查等腰三角形的判定与性质的理解及运用能力，关键是正确作出图形．
18.【答案】解：(1)如图，△A1B1C1即为所求．
(2)如图，△A2B2C2即为所求．

(3)连接AA2，BB2，CC2，相交于点M(0,2)，
∴△ABC与△A2B2C2对应点的坐标关于点(0,2)成中心对称．
【解析】(1)根据旋转的性质作图即可．
(2)根据平移的性质作图即可．
(3)连接AA2，BB2，CC2，相交于点M(0,2)，可知△ABC与△A2B2C2对应点的坐标关于点(0,2)成中心对称．
本题考查作图−平移变换、旋转变换、中心对称，熟练掌握平移的性质、旋转的性质、中心对称的性质是解答本题的关键．
19.【答案】解：(1)∵∠C=90°，
∴∠ABC+∠A=90°，
∵∠A=40°，
∴∠ABC=50°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AE=BE，
∴∠A=∠EBA=40°，
∴∠CBE=∠ABC−∠EBA=50°−40°=10°；
(2)在Rt△ECB中，∠C=90°，EC=1，BE=AE=3，
∴BC= BE2−EC= 32−12=2 2，
∵AE=3，EC=1，
∴AC=AE+EC=3+1=4，
∴△ABC的面积=12×BC×AC=12×2 2×4=4 2．
【解析】(1)根据直角三角形的性质求出∠ABC=50°，根据线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质求出∠EBA=40°，根据角的和差求解即可；
(2)根据勾股定理求出BC=2 2，再根据三角形面积公式求解即可．
此题考查了勾股定理、三角形面积、线段垂直平分线的性质，根据勾股定理求出BC的长是解题的关键．
20.【答案】>
【解析】解：(1)∵a−b+2>0，
∴a−b+2+b>0+b，
∴a+2>b，
∴a+1>b−1．
故答案为：>；
(2)∵M=a2+3b，N=2a2+3b+1，
∴M−N=(a2+3b)−(2a2+3b+1)
=a2+3b−2a2−3b−1
=−a2−1，
∵a2−1<0，
∴M(3)设A型钢板的面积为a，B型钢板的面积为b，
∵方案一的总面积记为S1，方案二的总面积记为S2，
∴S1=5a+6b，S2=4a+7b，
∴S1−S2=(5a+6b)−(4a+7b)
=5a+6b−4a−7b
=a−b，
∵每块A型钢板的面积比每块B型钢板的面积小，即a∴a−b<0，
∴S1(1)根据不等式的基本性质解答即可；
(2)利用作差法比较大小即可；
(3)设A型钢板的面积为a，B型钢板的面积为b，用a，b表示出S1，S2的值，再比较大小即可．
本题考查的是不等式的基本性质，熟知不等式的基本性质是解题的关键．
21.【答案】解：(1)设制作每个A种纪念章的价格为x元，制作每个B种纪念章价格为y元，
根据题意得：3x−2y=1404x=5y，
解得：x=100y=80．
答：制作每个A种纪念章的价格为100元，制作每个B种纪念章的价格为80元；
(2)设制作m个A种奖品，则制作(300−m)个B种奖品，
根据题意得：300−m≤12m，
解得：m≥200．
设该学校制作奖品的总花费为w元，则w=100×0.9m+80(300−m)，
即w=10m+24000，
∵10>0，
∴w随着m的增大而增大，
∴当m=200时，w取得最小值，最小值=10×200+24000=26000(元)．
答：该公司最少花费26000元．
【解析】(1)设制作每个A种纪念章的价格为x元，制作每个B种纪念章价格为y元，根据“制作3个A种纪念章比制作2个B种纪念章多花140元，制作4个A种纪念章与制作5个B种纪念章所需钱数相同”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设制作m个A种奖品，则制作(300−m)个B种奖品，根据制作B种纪念章的个数不多于A种纪念章个数的一半，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，设该学校制作奖品的总花费为w元，利用总花费=制作每个A种纪念章的费用×0.9×制作A种纪念章的数量+制作每个B种纪念章的费用×制作B种纪念章的数量，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
本题考查了一元一次不等式的应用、二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式．
22.【答案】BE=CD
【解析】(1)解：∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC=BC，∠BAC=60°，AE=AD，∠DAE=60°，
∴∠BAE=∠DAE+∠BAD=60°+∠BAD，∠CAD=∠BAC+∠BAD=60°+∠BAD，
∴∠BAE=∠CAD，
∴△ABE≌△ACD(SAS)，
故答案为：BE=CD；
(2)证明：由(1)知，△ABE≌△ACD，
∴BE=CD，
∵CD=CB+BD=AB+BD，
∴AB+BD=BE；
(3)解：①当点D在线段BC上时：
由(1)知，△ABE≌△ACD，
∴∠CAD=∠BAE，∠ABE=∠ACD=60°，
∵∠ADB=∠ACB+∠CAD=60°+∠CAD，∠ADE=60°，
∴∠EDB=∠CAD=∠BAE，
在AF上取FG=BF，如图：
∵EF⊥BG，
∴△BEG为等腰三角形，
∴EG=BE，∠EGB=∠EBG=60°，
∴∠AGE=180°−60°=120°，
又∵∠DBE=∠ABC+∠ABE=120°，
∴∠AGE=∠DBE，
∴∠AEG=∠DEB，
∴△AGE≌△DBE(SAS)，
∴AG=BD，
∴AB=AG+2BF=BD+2BF；
②当点D在线段BC延长线上时，延长BF，取FG=BF，连接EG，如图：
由①知，△BEG为等腰三角形，∠ABE=∠ACD，
又∵∠ACD+∠ACB=180°，∠ABE+∠EBF=180°，
∴∠EBG=∠ACB=60°，
∴△BEG为等边三角形，
∴BG=BE=CD，
又∵CD=BE，AB=BC，
∴AG=BD，
∴AB=AG−2BF=BD−2BF，
综上所述，AB=BD+2FB或AB=BD−2BF．
(1)根据等边三角形的性质证明△ACD和△ABE全等即可得出结论；
(2)由(1)知，△ACD和△ABE全等，所以CD=BE，再根据AB=BC，即可得出结论；
(3)由(1)知，△ACD和△ABE全等，根据D在BC上还是在BC延长线上分类讨论，在BF所在直线上取不同于B的一点G，使得BF=GF，构造等腰三角形，然后根据三角形全等或等边三角形的性质来得出结论即可．
本题主要考查了几何变换的综合题，熟练运用全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质等知识，合理构造等腰三角形是本题解题的关键．