2023-2024学年宁夏银川市高一（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年宁夏银川市高一（下）期中数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知命题p：向量a，b所在的直线平行，命题q：向量a，b平行，则p是q的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
2.设复数z满足z(1+i)=1−3i，则|z|=( )
A. 5B. 2C. 3D. 2
3.已知点A(1,1)，B(2,−1)，向量a=(−2,1)，b=(1,1)，则AB与a−b的夹角的余弦值为( )
A. − 55B. −2 55C. 55D. 2 55
4.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足c=2acsB，则△ABC的形状是( )
A. 等腰三角形B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形
5.在平行四边形ABCD中，已知DE=12EC，BF=12FC，|AE|=2，|AF|=2 3，则AC⋅BD=( )
A. −9B. −6C. 6D. 9
6.为测量河对岸的直塔AB的高度，选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C，D，测得∠BCD的大小为60°，点C，D的距离为200m，在点C处测得塔顶A的仰角为45°，在点D处测得塔顶A的仰角为30°，则直塔AB的高为( )
A. 100mB. 100 3mC. (200 3−200)mD. 200m
7.如图所示的矩形ABCD中，E，F满足BE=EC，CF=2FD,G为EF的中点，若AG=λAB+μAD，则λμ的值为( )
A. 12
B. 23
C. 34
D. 2
8.如图，在边长为4的等边△ABC中，点E为中线BD的三等分点(靠近点B)，点F为BC的中点，则FE⋅EC=( )
A. − 34
B. −56
C. −103
D. −3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的有( )
A. 已知a=(−1,2)，b=(2,x)，若a与b共线，则x=−4
B. 若a/​/b，b/​/c，则a/​/c
C. 若|a|≠|b|，则a一定不与b共线
D. 若AB=(3,1)，AC=(m−1,m)，∠BAC为锐角，则实数m的范围是m>34
10.欧拉公式exi=csx+isinx是由瑞士著名数学家欧拉创立，该公式将指数函数的定义域扩大到复数集，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天桥.依据欧拉公式，下列选项中正确的是( )
A. e2π3i对应的点位于第二象限B. eπ2i为纯虚数
C. eπi 3+i的模长等于12D. eπ6i的共轭复数为12− 32i
11.如图1是一款家居装饰物——博古架，它始见于北宋宫廷、官邸.博古架是类似于书架式的木器，其每层形状不规则，前后均敞开，无板壁封挡，便于从各个位置观赏架上放置的器物.某博古架的部分示意图如图2中实线所示，网格中每个小正方形的边长为1，则下列结论正确的是( )
A. BQ⊥OJ
B. 若AY=xDV+yHM，则x+y=−32
C. (AY+OJ)⋅BQ+2DV⋅HM=0
D. 设Z为线段AK上任意一点，则UZ⋅KZ的取值范围是[−94,40]
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设i是虚数单位，a是实数，若(1+i)(1−ai)是实数，则a= ．
13.已知a=(3,4)，b=(4,−2)，若2a−b与ka+2b为共线向量，则实数k= ．
14.在△ABC中，E为AC上一点，AC=2AE，P为线段BE上任一点，若AP=xAB+yAC，则2x+1y的最小值是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
如图，已知正三棱锥S−ABC的底面边长为2，正三棱锥的高SO=1．
(1)求正三棱锥S−ABC的体积；
(2)求正三棱锥S−ABC表面积．
16.(本小题15分)
已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sinA+sinB= 3sinC，且边c=2．
(1)求△ABC的周长；
(2)若角C=60°，求△ABC的面积．
17.(本小题15分)
已知a=(1,0),b=(2,1)
(1)当k为何值时，ka−b与a+2b垂直
(2)若AB=2a+3b,BC=a+mb，且A、B、C三点共线，求m的值．
18.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且(b−c)(sinB−sinC)=asinA−bsinC．
(1)求角A的大小；
(2)求sinB+sinC的取值范围．
19.(本小题17分)
在平面直角坐标系中，O为坐标原点，对任意两个向量m=(x1,y1)，n=(x2,y2)，作：OM=m，ON=n.当m，n不共线时，记以OM，ON为邻边的平行四边形的面积为S(m,n)=|x1y2−x2y1|；当m，n共线时，规定S(m,n)=0．
(Ⅰ)分别根据下列已知条件求S(m,n)：
①m=(2,1)，n=(−1,2)；②m=(1,2)，n=(2,4)；
(Ⅱ)若向量p=λm+μn(λ,μ∈R,λ2+μ2≠0)，
求证：S(p,m)+S(p,n)=(|λ|+|μ|)S(m,n)；
(Ⅲ)若A，B，C是以O为圆心的单位圆上不同的点，记OA=a，OB=b，OC=c．
(ⅰ)当a⊥b时，求S(c,a)+S(c,b)的最大值；
(ⅱ)写出S(a,a)+S(b,c)+S(c,a)的最大值．(只需写出结果)
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：因为命题p：向量a，b所在的直线平行能推出命题q：向量a，b平行，则充分性成立，
而向量a，b平行，向量a，b所在的直线平行或重合，则必要性不成立，
则命题p是q的充分不必要条件，
故选：A．
根据充分条件、必要条件的定义可解．
本题考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：由复数z满足z(1+i)=1−3i，
则z=1−3i1+i=(1−3i)(1−i)2=−2−4i2=−1−2i，
即|z|= (−1)2+(−2)2= 5．
故选：A．
根据复数的除法求得复数z，根据复数模的计算即可求得答案．
本题主要考查了复数的四则运算及复数的模长公式，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：由题意，得AB=(1,−2)，a−b=(−3,0)，
则AB与a−b的夹角的余弦值为AB⋅(a−b)|AB||a−b|=1×(−3)+(−2)×0 12+(−2)2× (−3)2=− 55．
故选：A．
由平面向量的坐标运算求得AB，a−b，结合平面向量的夹角公式即可求得答案．
本题主要考查数量积表示两个向量的夹角，属于基础题．
4.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．
利用余弦定理代入，可得a=b，从而可得结论．
【解答】
解：∵c=2acsB，∴c=2a⋅a2+c2−b22ac，
∴a2=b2，∴a=b，
∴△ABC的形状是等腰三角形．
故选A．
5.【答案】A
【解析】解：设AD=x，AB=y，∠ADC=∠ABF=α，
由DE=12EC，BF=12FC，可得DE=13y，BF=13x，
在△ADE中，AE2=AD2+DE2−2AD⋅DE⋅csα，
即有x2+19y2−2x⋅13ycsα=4，①
在△ABF中，AF2=AB2+BF2−2AB⋅BF⋅csα，
可得y2+19x2−2y⋅13xcsα=12，②
②−①可得89y2−89x2=8，
化为y2−x2=9，
则AC⋅BD=(AB+AD)⋅(AD−AB)=AD2−AB2=x2−y2=−9．
故选：A．
由三角形的余弦定理和向量的加减运算和数量积的性质，化简整理，可得所求值．
本题考查向量数量积的性质，以及三角形的余弦定理的运用，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
6.【答案】A
【解析】解：如图所示：设AB=x，则在直角三角形ABC中，因为∠ABC=45°，所以BC=x，
在直角三角形ABD中，∠ADB=30°，∴BD= 3x，
所以在△BCD中，由余弦定理可得：BD2=BC2+CD2−2BC⋅CD⋅cs∠BCD，
即3x2=x2+40000−2×200×x×12，
化简可得：x2+100x−20000=0，解得x=100或−200(舍去)，
故选：A．
画出图形，设AB=x，然后根据直角三角形以及仰角分别求出BC，BD的关系式，然后在三角形BCD中，利用余弦定理建立方程即可求解．
本题考查了解三角形问题，涉及到余弦定理以及直角三角形的性质，属于基础题．
7.【答案】A
【解析】解：由题意可知，AE=AB+BE=AB+12BC=AB+12AD，
AF=AD+DF=AD+13DC=AD+13AB，
因为G为EF的中点，
所以AG=12(AE+AF)=12(43AB+32AD)=23AB+34AD，
所以λ=23，μ=34，λμ=12．
故选：A．
由已知结合向量的线性表示及平面向量基本定理可求．
本题主要考查了向量的线性表示及平面向量基本定理，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：由已知，|BA|=4，|BC|=4，∠ABC=60°，
所以BA⋅BC=|BA|⋅|BC|cs∠ABC=4×4×12=8．
由已知D是AC的中点，所以BD=12(BA+BC)，BE=13BD=16(BA+BC)，BF=12BC．
所以FE=BE−BF=16BA−13BC，EC=BC−BE=−16BA+56BC，
所以，FE⋅EC=(16BA−13BC)⋅(−16BA+56BC)=−136BA2+736BA⋅BC−518BC2=−136×16+736×8−518×16=−103．
故选：C．
由已知可推得，FE=BE−BF=16BA−13BC，EC=BC−BE=−16BA+56BC，进而根据平面向量数量积的运算求解即可得出结果．
本题考查的知识点：向量的线性运算，向量的数量积运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
9.【答案】AD
【解析】解：对于A，∵a与b共线，a=(−1,2)，b=(2,x)，
∴−1⋅x=2×2，解得x=−4，故A正确，
对于B，当b=0时，b与任意向量都共线，故B错误，
对于C，当|a|≠|b|时，a与b可能方向相同或相反，即a与b可能共线，故C错误，
对于D，∵AB=(3,1)，AC=(m−1,m)，∠BAC为锐角，
∴AB⋅AC>0且AB与AC不同向，∴3(m−1)+m>03m≠m−1，解得m>34，故D正确．
故选：AD．
对于A，结合向量平行的性质，即可求解；对于B，结合特殊值法，即可求解；对于C，结合向量共线的性质，即可求解；对于D，结合向量的数量积公式，即可求解．
本题主要考查向量平行的性质，以及向量的数量积公式，属于基础题．
10.【答案】BC
【解析】解：e2π3i=cs2π3+isin2π3=−12+ 32i，对应的点位于第四象限，所以A不正确；
eπ2i=csπ2+isinπ2=i，是纯虚数，所以B正确；
eπi=csπ+isinπ=−1，
|eπi 3+i|=1| 3+i|=12，所以复数的模长等于12，所以C正确；
eπ6i=csπ6+isinπ6= 32+12i，它的共轭复数为 32−12i，所以D不正确；
故选：BC．
利用欧拉公式exi=csx+isinx，化简各个选项，判断对应点所在象限即可．
本题考查复数的基本运算，欧拉公式的应用，是基础题．
11.【答案】AD
【解析】解：以A为坐标原点，AD，AJ所在直线分别为x，y轴建立如图所示的平面直角坐标系．
对于A选项：易知B(3,0)，Q(5,4)，O(4,8)，J(0,10)，所以BQ=(2,4)，OJ=(−4,2)，
则BQ⋅OJ=0，所以BQ⊥OJ，所以A正确．
对于B选项：易知A(0,0,0)，Y(7,7)，D(12,0)，V(10,5)，H(7,0)，M(2,4)，所以HM=(−5,−6)，AY=(7,7)，DV=(−2,5)，
所以AY=xDV+yHM，得−2x−5y=75x−6y=7，解得x=−737y=−4937，所以x+y=−5637，所以B错误．
对于C选项：由选项A，B知AY+OJ=(3,9)，则(AY+OJ)⋅BQ=42，DV⋅HM=−20，(AY+OJ)⋅BQ+2DV⋅HM=2，所以C错误．
对于D选项：易知K(0,8)，U(8,5)，设Z(0,t)(0≤t≤8)，则UZ=(−8,t−5)，KZ=(0,t−8)，
所以UZ⋅KZ=(t−5)(t−8)=(t−132)2−94.因为0≤t≤8，所以当t=132时，UZ⋅KZ取得最小值−94；当t=0时，UZ⋅KZ取得最大值40.所以UZ⋅KZ的取值范围是[−94,40]，所以D正确．
故选：AD．
根据已知条件建立平面直角坐标系，写出相关点的坐标，利用向量垂直的条件及向量相等的条件，结合向量的坐标运算及二次函数的性质即可求解．
本题考查的知识点：平面直角坐标系，向量的线性运算，向量的数量积运算，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
12.【答案】1
【解析】解：∵(1+i)(1−ai)=1+a+(1−a)i是实数，∴1−a=0，∴a=1，
故答案为：1．
先根据两个复数代数形式的乘法法则化简(1+i)(1−ai)到最简形式，再利用复数为实数的条件，解方程求出a值．
本题考查两个复数代数形式的乘法，以及复数与实数的关系、复数为实数的条件．
13.【答案】−4
【解析】解：2a−b=(2,10)，
ka+2b=(3k+8,4k−4)，
∵2a−b与ka+2b为共线向量，
∴10(3k+8)−2(4k−4)=0，
解得k=−4．
故答案为：−4．
利用平面向量共线定理即可得出．
本题考查了平面向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
14.【答案】8
【解析】解：因为AC=2AE，所以AP=xAB+yAC=xAB+2yAE，
因为B，P，E三点共线，所以x+2y=1，
所以2x+1y=(2x+1y)(x+2y)=2+2+4yx+xy≥4+2 4yx⋅xy=8，
当且仅当4yx=xyx+2y=1，即x=12y=14时，等号成立，
故2x+1y的最小值是8．
故答案为：8．
首先由平面向量基本定理，得出x+2y=1，再根据基本不等式求得最值即可．
本题考查平面向量基本定理，考查基本不等式的应用，属中档题．
15.【答案】解：(1)在正三棱锥S−ABC中，S△ABC=12AB⋅BC⋅sin60°= 34×2×2= 3，
∴V=13S△ABC⋅SO=13× 3×1= 33；
(2)连接CO延长交AB于E，连接SE，则E为AB的中点，

∴CE= 22−12= 3,OE=13CE= 33，
在直角三角形SOE中，SE= ( 33)2+12=2 33，
在△ABS中，SA=SB，∴SE⊥AB，∴S△ABS=12×2×2 33=2 33，
则表面积为：3S△ABS+S△ABC=3×2 33+ 3=3 3．
【解析】(1)由题意分别确定三棱锥的底面积和三棱锥的高即可确定其体积；
(2)连接CO延长交AB于E，连接SE，则E为AB的中点，分别求得底面积和侧面积，然后计算其表面积即可．
本题主要考查锥体体积的计算，锥体表面积的计算，空间想象能力的培养等知识，属于基础题．
16.【答案】解：(1)∵sinA+sinB= 3sinC，∴由正弦定理可得a+b= 3c，∴a+b=2 3，
∴三角形周长为a+b+c=2 3+2．
(2)由(1)知a+b=2 3，
由余弦定理得csC=a2+b2−c22ab=(a+b)2−2ab−c22ab=12，
即12−2ab−42ab=12，解得ab=83，
∴S△ABC=12absinC=12×83× 32=2 33．
【解析】(1)由正弦定理得a+b=2 3，则得到其周长；
(2)根据余弦定理得(a+b)2−2ab−c22ab=12，解出ab的值，再利用三角形面积公式即可得到答案．
本题考查正弦定理，余弦定理，属于基础题．
17.【答案】解：(1)ka−b=k(1,0)−(2,1)=(k−2,−1)，a+2b=(1,0)+2(2,1)=(5,2)，
因为ka−b与a+2b垂直，所以5(k−2)+(−1)×2=0，
即5k−10−2=0，得k=125．
(2)AB=2a+3b=2(1,0)+3(2,1)=(8,3)，
BC=a+mb=(1,0)+m(2,1)=(2m+1,m)
因为A，B，C三点共线，所以AB//BC．
所以8m−3(2m+1)=0，即2m−3=0，
所以m=32．
【解析】(1)ka−b与a+2b垂直，即ka−b与a+2b的数量积为0，利用坐标计算可得k值；
(2)因为A，B，C三点共线，所以AB//BC，利用平面向量共线的坐标公式计算可得m的值．
本题主要考查向量的坐标运算，属于基础题．
18.【答案】解：(1)由正弦定理可得(b−c)(b−c)=a⋅a−bc，即b2+c2−a2=bc，
由余弦定理的变形得csA=b2+c2−a22bc=12，
又A∈(0,π)，所以A=π3；
(2)由A+B+C=π得C=2π3−B，且B∈(0,2π3)，
所以sinC=sin(2π3−B)=sin[π−(B+π3)]=sin(B+π3)，
所以sinB+sinC=sinB+sin(B+π3)=32sinB+ 32csB= 3sin(B+π6)，
因为B∈(0,23π)，从而B+π6∈(π6,56π)，
所以sin(B+π6)∈(12,1]，从而sinB+sinC∈( 32, 3],
故sinB+sinC的取值范围为( 32, 3]．
【解析】(1)由正弦定理，将角化边，再根据余弦定理，求解即可；
(2)由(1)可知，A=π3，则sinB+sinC= 3sin(B+π6)= 3sin(A+π6)，根据正弦型三角函数的图象和性质，求解即可．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
19.【答案】(Ⅰ)解：因为m=(2,1),n=(−1,2)，
且S(m,n)=|x1y2−x2y1|，
所以S(m,n)=|2×2−1×(−1)|=5；
又m=(1,2),n=(2,4)，
是S(m,n)=|1×4−2×2|=0；
(Ⅱ)因为向量m=(x1,y1),n=(x2,y2)，
且向量p=λm+μn(λ,μ∈R,λ2+μ2≠0)，
则p=(λx1+μx2,λy1+μy2)，
所以S(p,m)=|(λx1+μx2)y1−(λy1+μy2)x1|=|μ||x1y2−x2y1|，
同理S(p,n)=|λ||x1y2−x2y1|．
所以S(p,m)+S(p,n)=(|λ|+|μ|)S(m,n)；
(Ⅲ)(i)设〈c,a〉=α，因为a⊥b，
所以〈c,b〉=3π2−α，
所以S(c,a)+S(c,b)=sinα+sin(3π2−α)，
=sinα−csα= 2sin(α−π4)．
当α−π4=π2，即α=3π4时，
S(c,a)+S(c,b)取得最大值 2；
(ii)S(a,b)+S(b,c)+S(c,a)的最大值为3 32．
【解析】(Ⅰ)由S(m,n)=|x1y2−x2y1|求解；
(Ⅱ)由S(m,n)=|x1y2−x2y1|证明；
(Ⅲ)(i)设〈c,a〉=α，由S(c,a)+S(c,b)=sinα+sin(3π2−α)= 2sin(α−π4)求解；〈c,a〉=α〈c,b〉=β,〈b,a〉=γS(a,b)+S(b,c)+S(c,a)=sinγ+sinβ+sinα求解．
本题考查向量的综合应用，考查学生的运算能力，属于难题．