安徽省合肥市长丰县2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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说明：共8大题，计23小题，满分150分，作答时间120分钟.
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的.
1. 下列各数中，最小的是（ ）
A. B. 3C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查的是实数的比较大小，掌握实数比较大小的方法是解决此题的关键．根据实数的比较大小，即可找出最小的数．
【详解】解：∵
∴最小的数是．
故选：D．
2. 已知某病毒的直径在840纳米至1000纳米之间，840纳米米，数据用科学记数法表示正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
【详解】用科学记数法表示正确是．
故选：C．
3. 两个连续的正整数，前一个数的算术平方根是a，则后一个数的算术平方根是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题主要考查了算术平方根，熟知算术平方根的定义是解题的关键．先求出这个数，然后根据算术平方根的定义再求出它的下一个数的算术平方根即可．
【详解】解：∵两个连续的正整数，前一个数的算术平方根是a，
∴前一个正整数是，
∴后一个正整数是，
∴后一个数的算术平方根是：．
故选：D．
4. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，同底数幂的除法的法则，熟练掌握运算性质是解题的关键．
根据合并同类项，底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，同底数幂的除法的法则计算，逐一判断即可．
【详解】解：A．和不是同类项，不能合并，原计算错误，不符合题意；
B．，原计算错误，不符合题意；
C．，原计算正确，符合题意；
D．，原计算错误，不符合题意；
故选：C．
5. 下列整式乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了平方差公式．根据平方差公式，逐项判断即可求解．
【详解】解：A、，能运用平方差公式进行运算，故本选项不符合题意；
B、，不能运用平方差公式进行运算，故本选项符合题意；
C、，能运用平方差公式进行运算，故本选项不符合题意；
D、，能运用平方差公式进行运算，故本选项不符合题意；
故选：B
6. 如图，面积为3的正方形的顶点A在数轴上，以点A为圆心，的长为半径画弧交数轴于点E，若点E表示的数为2，则点A表示的数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查实数与数轴，根据正方形的面积，求出的长，进而得到的长，根据数轴上两点间的距离，求解即可．
【详解】解：∵面积为3的正方形，
∴，
由作图可知：，
∴点表示的数是；
故选D．
7. 若是完全平方式，则m的值是（ ）
A. 3B. C. D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了完全平方式的应用，熟练掌握 和是解题的关键．
根据完全平方公式的形式，即可求解．
【详解】解：∵是完全平方式，
∴，解得：．
故选：C．
8. 燃放某种礼花弹时，为了确保安全，人在点燃导火线后要在礼花弹燃放前转移到以外的安全区域，已知导火线的燃烧速度为，人离开的速度为，则导火线的长x（单位：m）应满足的不等式为（ ）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解题的关键是明确题意，列出相应的不等式．根据题目要求列出不等式即可．
【详解】解：∵人在点燃导火线后要在燃放前转移到超过以外的安全区域，
∴，即，
故选A．
9. 已知关于x的不等式组有解，则实数m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先求出不等式组的解集，再根据不等式组有解的情况得到关于m的不等式，即可．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴原不等式组的解集为，
∵原不等式组有解，
∴，
∴实数m的取值范围是．
故选：A
10. 已知三个实数a，b，c满足，，则（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要查了完全平方公式的应用．根据，可得，从而得到，继而得到，再由，可得，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故选：B
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11. 请你写出一个比1大且比2小的无理数，该无理数可以是______．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据无理数的定义即可得出答案．
【详解】解：根据题意可得：该无理数可以为，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题考查了无理数的定义，能熟记无理数的定义是解此题的关键．
12. 若，则关于x的不等式的解集为_________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．
根据已知易得：，然后按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答．
【详解】解：，
，
的解集为：，
故答案为：．
13. 已知，则的值是________
【答案】8
【解析】
【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法，熟练掌握这两个运算法则是解题的关键．
由已知得到，再将变形为，然后代入计算即可．
【详解】解：，
，
，
故答案为：8．
14. 已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示（m为正整数），面积分别为，．
（1）比较大小：________（填“”“ ”或“”）
（2）若满足条件的整数n有且只有4个，则m的值为________
【答案】 ①. ②. 7
【解析】
【分析】本题主要考查整式的乘法运算、一元一次不等式组的应用：
（1）根据矩形的面积公式计算出和，再求出差即可比较出大小；
（2）根据题意得出关于m的不等式，解之即可得到结论．
【详解】解：（1），
，
∴，
∴，
故答案为：
（2），
∵的整数n有且只有4个，
∴这4个整数为4，5，6，7，
∴，
∴，
∵m为正整数，
∴．
故答案为：7
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15. 计算：.
【答案】6
【解析】
【分析】先计算负整数指数幂，零指数幂，立方根，再进行减法计算即可．
【详解】解：
．
【点睛】本题考查实数的混合运算，涉及负整数指数幂，零指数幂，立方根．掌握实数的混合运算法则是解题关键．
16. 解不等式组并把解集在数轴上表示出来.

【答案】，在数轴上表示见解析
【解析】
【分析】本题考查解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题关键．先解出每个不等式的解集，再取公共解集，最后在数轴上表示出来即可．
【详解】解：，
解得，
解得，
在数轴上表示为：

∴不等式组的解集为．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17. 已知的平方根是它本身，的立方根是，求的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题主要查了立方根，平方根，积的乘方的逆运算．根据立方根，平方根的概念可得，，再由积的乘方的逆运算，即可求出答案．
【详解】解：∵的平方根是它本身，
∴，解得：，
∵的立方根是，
∴，解得：，
∴．
18. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，1
【解析】
【分析】本题考查了整式的混合运算及化简求值，非负数性质，准确进行整式混合运算是解题关键．
先计算整式混合运算，利用非负数求出，的值，再代入求值即可．
【详解】解：，
∵，
∴，，
∴，时，
∴原式．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19. 已知关于x的方程的解是不等式的最小整数解，求a的算术平方根.
【答案】2
【解析】
【分析】本题考查一元一次不等式的整数解、一元一次方程的解、算术平方根，解答本题的关键是求出的值．
先求出不等式的解集，再根据关于的方程的解是不等式的最小整数解，即可得到的值，然后将的值代入方程求出的值，最后求的算术平方根即可．
【详解】解：由可得，，
关于的方程的解是不等式的最小整数解，
，
，
解得，
，
即的算术平方根是2．
20. 观察下列等式：
第1个等式：；第2个等式：；
第3个等式：；第4个等式：；……
根据上述规律解决下列问题：
（1）写出第5个等式：______________；
（2）写出你猜想的第个等式：______________；（用含的式子表示），并证明其正确性．
【答案】（1）
（2），见解析
【解析】
【分析】（1）分析已有等式中变动数字与等式序数之间的关系，得第5个等式：，即得答案；
（2）根据（1），可得第n个等式；运用平方差公式化简证明．
【小问1详解】
解：第1个等式：；即；
第2个等式：；即；
第3个等式：；即
第4个等式：；即
∴第5个等式：；即
即；
小问2详解】
解：由（1）知，第n个式子为：
证明：．
【点睛】本题考查规律探索，平方差公式；根据已有的等式，探索已有等式中变动数字与等式序数之间的关系是解题的关键．
六、（本题满分12分）
21. 定义新运算“”如下：当时，；当时，．
（1）求的值．
（2）若，求x的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题是新定义题，考查实数运算和解一元一次不等式，读懂定义和运用分类讨论思想是解题的关键．
（1）可判断出，因此可用运算即可；
（2）无法直接判断4和的大小，因此利用新定义分情况讨论．
【小问1详解】
解：由题意知，
，
；
【小问2详解】
，
当，即时
，
解得，
；
当，即时
解得，
，
综上所述：x的取值范围是．
七、（本题满分12分）
22. 某乡镇为倡导绿色生活，建设美丽家园，需购买A，B两种型号的垃圾处理设备，已知1台A型设备和3台B型设备的日处理能力为44吨；3台A型设备和1台B型设备的日处理能力为60吨．
（1）分别求1台A型设备、1台B型设备的日处理能力．
（2）根据实际情况，该乡镇需购买A，B两种型号的垃圾处理设备共8台，要求A型设备不超过5台，且购回设备的日处理能力超过100吨．已知A型设备每台7万元，B型设备每台4万元，请你利用不等式的知识为该乡镇设计出最省钱的购买方案．
【答案】（1）1台A型设备的日处理能力为17吨，1台B型设备的日处理能力为9吨
（2）购买A型设备3台，B型设备5台
【解析】
【分析】本题主要查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的应用：
（1）设1台A型设备的日处理能力为x吨，1台B型设备的日处理能力为y吨，根据题意，列出方程组，即可求解；
（2）设购买A型设备m台，根据题意得到关于m的不等式组，可得，再求出购买费用为元，即可求解．
【小问1详解】
解：设1台A型设备的日处理能力为x吨，1台B型设备的日处理能力为y吨，根据题意得：
，
解得：，
答：1台A型设备的日处理能力为17吨，1台B型设备的日处理能力为9吨；
【小问2详解】
解：设购买A型设备m台，根据题意得：
，
解得：，
∵m为整数，
∴m取3，4，5，
购买费用为元，
当时，；
当时，；
当时，；
∵，
∴最省钱的购买方案为购买A型设备3台，B型设备5台．
八、（本题满分14分）
23. 如图，将一个边长为的正方形分割成四部分（两个正方形和两个长方形），请仔细观察图形，解答下列问题
（1）本图所揭示的乘法公式是____________（用含a，b的代数式表示出来）．
（2）若图中的a，b满足，，求的值．
（3）已知，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题考查完全平方公式的几何背景；理解题意，结合图形面积的关系得到公式，并能灵活运用公式是解题的关键．
（1）用两种方法表示出图形的面积，进而求解即可；
（2）由，再将已知条件代入得到，解得；
（3）设，，则，，根据，得出，即可求解．
【小问1详解】
解：根据图中条件得，
该图形的总面积，
该图形的总面积还可以表示为，
∴本图所揭示的乘法公式是，
故答案为：；
【小问2详解】
解：∵，且，，
∴
∴，
，
∴；
【小问3详解】
解：设，，
则，，
∵，
∴
，
∴．