福建省三明市尤溪县2023-2024学年七年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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（时间：120分钟 总分：150分）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页第Ⅱ卷3至8页，满分150分．
第Ⅰ卷
一、选择题（共10题，每题4分，满分40分．每题只有一个正确选项）
1. 计算（ ）
A. 1B. 0C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了0指数幂的计算，根据任何非零数的0指数幂都为1即可求解．
【详解】解：，
故选：A．
2. 清代诗人袁枚创作了一首诗《苔》：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．歌颂了苔在恶劣环境下仍有自己的生命意向．若苔花的花粉粒直径约为米，用科学记数法表示，则n为（ ）
A. B. 5C. D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：，
故选：C．
3. 如图，下列结论中错误的是（ ）
A. 1与2是同位角B. 3与5是内错角
C. 4与5是同旁内角D. 1与3是同位角
【答案】A
【解析】
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的特点逐项进行判断即可．
【详解】解：A、1与2是同位角错误，故符合题意；
B、3与5是内错角正确，不符合题意；
C、4与5是同旁内角正确，不符合题意；
D、与3是同位角正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的识别，结合图形正确识别三种角是解题的关键．
4. 司机王师傅在加油站加油，如图是所用的加油机上的数据显示牌，则其中的常量是（ ）
A. 金额B. 数量
C. 单价D. 金额和数量
【答案】C
【解析】
【分析】根据常量与变量的定义即可判断．本题考查常量与变量，解题的关键是正确理解常量与变量，本题属于基础题型．
【详解】解：常量是固定不变的量，变量是变化的量，
单价是不变的量，而金额是随着数量的变化而变化，
故选：C．
5. 下列运算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，同底数幂乘除法计算，合并同类项，熟知相关计算法则是解题的关键．
【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算正确，符合题意；
C、，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：B．
6. 如图，某蓄水池的横断面示意图，如果这个蓄水池以固定的流量注水，下面哪个图象能大致表示水的最大深度h和时间t之间的关系（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】因为蓄水池的底面小，上面大，这个蓄水池以固定的流量注水，所以水的深度变化是先快后慢，据此即可得到答案．
【详解】解：A、表示水的深度变化匀速上升后静止不动，不符合题意，选项错误；
B、表示水的深度变化匀速上升，不符合题意，选项错误；
C、表示水的深度变化先快后慢，符合题意，选项正确；
D、表达水的深度变化先慢后快，不符合题意，选项错误，
故选：C．
【点睛】本题考查了图象表示变量关系，能够根据题中所给的信息，分析出水的深度变化是先快后慢是解题关键．
7. 如图，下列条件中，能判定的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定定理，根据平行线的判定定理即可作出判断．
【详解】解：A. ，不能判定，故该选项不正确，不符合题意；
B. ∵，∴，故该选项正确，符合题意；
C. ∵，∴，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，∴，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
8. 某科研小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据（如下表）:
下列说法错误的是（ ）
A. 在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速
B. 温度越高，声速越快
C. 当空气温度为时，声速为
D 当温度每升高，声速增加
【答案】D
【解析】
【分析】根据自变量、因变量的定义，以及声音在空气中传播的速度与空气温度关系逐一判断即可．
【详解】解：∵在这个变化中，自变量是温度，因变量是声速，
∴选项A说法正确，不符合题意；
∵根据数据表，可得温度越低，声速越慢，温度越高，声速越快，
∴选项B说法正确，不符合题意；
由列表可知，当空气温度为时，声速为，
∴选项C说法正确，不符合题意；
∵，，，， ，
∴当温度每升高，声速增加，
∴选项D说法不正确，符合题意．
故选D．
【点睛】本题主要考查了自变量，因变量．熟练掌握自变量、因变量的定义是解题的关键．在一个变化过程种，如果有两个变量x和y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么x是自变量，y是因变量．
9. 已知，则的值是（ ）
A. 6B. C. D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】根据得出，变形，整体代入求出结果即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法，整体代入求值，解题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法运算法则，注意整体代入思想的应用．
10. 有两个正方形A，B，现将B放在A的内部，得到图①，将A，B并列放置后构成新的正方形，得到图②．若图①阴影面积为3，正方形A，B的面积之和为11，则图②阴影面积是（ ）
A. 8B. 9C. 12D. 15
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，设正方形A、B的边长分别是a、b，则正方形A，B的面积之和是．根据题意，图①中阴影部分的图形是正方形，边长为，图②中新正方形的边长为，根据完全平方公式求出即可求解，熟练掌握完全平方公式并灵活运用是解题的关键．
【详解】解：设正方形A、B的边长分别是a、b，则正方形A，B的面积之和是．
根据题意，图①中阴影部分的图形是正方形，边长为，图②中新正方形的边长为，
∵图①阴影面积为3，正方形A，B的面积之和为11，
∴，
∴，
，
∴图②阴影面积是8．
故选：A．
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上作答，答案无效．
2．作图可先用2B铅笔画出，确定后必须用0.5毫米黑色墨水签字笔描黑．
二、填空题（共6题，每题4分，满分24分）
11. 计算：_________
【答案】
【解析】
【分析】本题主要考查了积的乘方法则，熟知积的乘方法则是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
12. 一种对顶角量角器如图所示，它所测量的角的度数是，用它测量角的数学道理是______．
【答案】对顶角相等
【解析】
【分析】本题主要考查对顶角相等，理解图示，掌握对顶角的性质是解题的关键．根据量角器的使用方法，对顶角的性质即可求解．
【详解】解：一种对顶角量角器如图所示，它所测量的角的度数是，用它测量角的数学道理是对顶角相等，
故答案为：对顶角相等．
13. 如图，，若，则的度数为__________

【答案】
【解析】
【分析】本题考查平行线的性质，直角三角形的两个锐角互余，先求出，再根据平行线的性质即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
14. 小红到文具店买彩笔，每盒彩笔是12支，售价36元，那么买彩笔所需的钱数y（元）与购买彩笔的支数x（支）之间的关系式为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据总价与单价和数量的关系得出关系式即可，
本题主要考查了函数关系式，根据题意，找到所求量的等量关系是解题的关键．
【详解】解：∵每盒彩笔是12支，售价36元
∴每支彩笔的价钱为：（元）
∴
故答案为：．
15. 如果 是一个完全平方式，那么m 是______．
【答案】9
【解析】
【分析】根据，是一个完全平方式，可知从而得解．
【详解】∵，且是一个完全平方式，
∴，
∴，
故答案为：9．
【点睛】本题考查了完全平方式的计算，熟练掌握完全平方式是解题的关键．
16. 如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图，则图中的_______度
【答案】102
【解析】
【分析】根据平行线的性质得出，进而根据图，折叠的性质得出，进而即可求解．
【详解】解：四边形是长方形，
，
，
在图中，，处重叠了2层，
在图中，，处重叠了3层，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
三、解答题（共9题，满分86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17 计算：
（1）；
（2）（运用乘法公式计算）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】本题主要考查了完全平方公式，积的乘方，单项式除以单项式，单项式乘以单项式：
（1）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式，最后计算单项式除以单项式即可得到答案；
（2）根据完全平方公式把原式变形为，据此求解即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
18. 如图，已知，，求证：．请将下面证明过程补充完整．
证明：∵（已知）
∴（____________）．
又∵（已知）
∴____________（同角的补角相等）．
∴（____________）．
∴（____________）．
【答案】两直线平行，同旁内角互补；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
【解析】
【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，根据平行线的性质与判定条件结合已给推论过程求解即可．
【详解】证明：∵（已知）
∴（两直线平行，同旁内角互补）．
又∵（已知）
∴（同角的补角相等）．
∴（内错角相等，两直线平行）．
∴（两直线平行，同位角相等）．
故答案为：两直线平行，同旁内角互补；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等
19. 杨老师在黑板上布置了一道题，小白和小红展开了下面的讨论：
根据上述情景，你认为谁说得对？并将代数式化简求值．
【答案】，
【解析】
【分析】根据完全平方公式及平方差公式合并化简即可解答．
【详解】解：小红说得对
原式
当时，原式．
【点睛】本题考查了完全平方和公式，平方差公式，代数式的化简求值，掌握完全平方公式是解题的关键．
20. 如图，平分，点P为上一点．
（1）请用直尺和圆规过点P作直线，交于点Q（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，若，求的度数．
【答案】（1）见解析 （2）
【解析】
【分析】（1）根据平行线的作法即可得到答案．
（2）根据角平分线的性质、平行线的性质、邻补角即可得到答案．
【小问1详解】
解：（1）如图所示，作；
【小问2详解】
解：∵平分，，
∴ ，
∵由作图可知：，
∴ ，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的作图方法，角平分线的定义、平行线的性质，灵活运用所学知识是解题关键．
21. 如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像．
（1）求绿化的面积是多少平方米？（用代数式表示）
（2）求出当，时的绿化面积．
【答案】（1）
（2）63平方米
【解析】
【分析】本题考查列代数式，整式混合运算的实际应用，代数式求值的应用．理解绿化的面积=长方形面积-中间小正方形面积是解题关键．
（1）用长方形面积减去中间小正方形面积，结合整式的混合运算法则计算即可；
（2）将，代入（1）所求式子，求值即可．
【小问1详解】
解：
，
答：绿化的面积是平方米；
【小问2详解】
解：当，时，原式，
答：绿化的面积是63平方米．
22. 小明坐车到仙湖植物园踏青游玩，他从家出发小时后到达姑妈家，逗留一段时间后继续坐车到植物园，小明离家一段时间后，爸爸驾车沿相同的路线前往植物园．如图是他们离家路程与小明离家时间的关系图，请根据图象回答下列问题：
（1）图中自变量是______，因变量是______；
（2）小明家到仙湖植物园的路程为______，小明在姑妈家逗留的时间为______；
（3）求小明从姑妈家到仙湖植物园的平均速度和小明爸爸驾车的平均速度．
【答案】（1）t，s （2）30，
（3）小明从姑妈家到织金洞的平均速度为，小明爸爸驾车的平均速度为．
【解析】
【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息：
（1）根据图象进行判断，即可得出自变量与函数；
（2）根据图象中数据进行计算，即可得到路程与时间；
（3）根据相应的路程除以时间，即可得出速度．
【小问1详解】
解：由图可得，自变量是t，因变量是s，
故答案：t，s；
【小问2详解】
解：由图可得，小明家到仙湖植物园的路程为，小明在姑妈家逗留的时间为；
故答案为：30，；
【小问3详解】
解：，；
∴小明从姑妈家到织金洞的平均速度为，小明爸爸驾车的平均速度为．
23. 我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，“杨辉三角”就是其中一例，如图所示为这个“三角形”的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在“三角形”中，第三行的三个数1，2，1，恰好对应展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应展开式中的系数．
（1）根据上面的规律，展开式共有______项；
（2）利用上面的规律计算：
；
（3）直接写出展开式的系数和为______．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了多项式乘法中的规律探索：
（1）观察可知展开式共有项，据此规律求解即可；
（2）令，，那么，据此求解即可；
（3）求出，，，时的系数之和可得规律的展开式的系数和为，据此可得答案．
【小问1详解】
解：由题意得，有1项，
有2项，
有3项，
有4项，
……，
以此类推可知，展开式共有项，
∴展开式共有，
故答案为：；
【小问2详解】
解：根据题意可得
；
【小问3详解】
解：由展开式可得，当时，系数和为，
当时，系数和为，
当时，系数和为，
当时，系数和为，
，
以此类推可知，的展开式的系数和为，
故答案为：．
24. 阅读材料：若x满足，求的值．
解：设，，则，
，
∴．
请仿照上面的方法求解下列问题：
（1）若，，则______．
（2）若n满足，求的值；
（3）已知正方形的边长为x，E，F分别是上的点，且，，长方形的面积是15，分别以为边长作正方形，求阴影部分的面积．
【答案】（1）
（2）0 （3）
【解析】
【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，平方差公式，完全平方公式在几何图形中的应用：
（1）根据进行求解即可；
（2）设，则，再根据进行求解即可；
（3）设，则，
求出，得到，再求出即可得到答案．
【小问1详解】
解：∵，，
∴；
【小问2详解】
解：设，
∴，
∴
；
小问3详解】
解：由题意，得长方形的长，宽，
设，
∴
∴，
∴或（舍去），
∴，
∴阴影部分的面积为：．
25. 已知，点、分别是、上的点，点在、之间，连接、．

（1）如图1，若，求的度数．
（2）在（1）的条件下，已知的平分线交的平分线于点，求的度数．
（3）如图2，若点是下方一点，平分，平分，已知，证明：为定值．
【答案】（1）
（2）
（3）见解析
【解析】
【分析】（1）过点作，利用平行线的性质求解；
（2）分别过点和作，，利用平行的性质得到对应的角度关系，进而求取的值；
（3）根据角平分线的定义求出，，，设，求出，，相减即可证明．
【小问1详解】
解：如图所示，过点作，

，
，
，，
，
，
．
【小问2详解】
如图所示，过点作，

，，，
平分，平分，
，
，
，，
；
【小问3详解】
如图所示，将与的交点记作，

平分，且，
，，
平分，
，
设，
，
由（1）同理可得，，
，
，
在中，，
∴，即为定值．
【点睛】本题主要考查平行的常见模型，对于平行的辅助线添加，可过转折点处作已知直线的平行线，再利用平行的性质求解．关于度数的定值问题，可以借助代数式求证．温度/
0
10
20
30
声速/
318
324
330
336
342
348
只知道值，没有告诉的值，求不出答案．
这道题与值无关，是可以解的．
已知，求代数式：的值