江西省南昌市一中教育集团2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（原卷版+解析版）

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2．本卷分为试题卷和答题卡，答案要求写在答题卡上，写在试卷上的答案无效．
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1. 下列各式中，不是二次根式的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查二次根式定义，根据定义逐项判断即可．
【详解】解：A、，是二次根式，故本选项不符合题意；
B、被开方数为无意义，不是二次根式，故本选项符合题意；
C、由于，是二次根式，故本选项不符合题意；
D、，是二次根式，故本选项不符合题意；
故选：B
2. 下列二次根式中，能与合并的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题重点考查了二次根式的加减法则，只有同类二次根式才能相加减，清楚同类二次根式的定义是解此题的关键，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式，把每个根式化简即可确定．
【详解】解：A、=，故选项错误；
B、，故选项正确；
C、，故选项错误；
D、，故选项错误；
故选：B．
3. 以直角三角形的三边为边做正方形，三个正方形的面积如图，正方形A的面积为（ ）
A. 6B. 36C. 64D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】根据图形知道所求的A的面积即为正方形中间的直角三角形的A所在直角边的平方，然后根据勾股定理即可求解．
【详解】∵两个正方形的面积分别为8和14，
且它们分别是直角三角形的一直角边和斜边的平方，
∴正方形A的面积=14-8=6．
故选A．
【点睛】本题主要考查勾股树问题：以两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积．
4. 的三边分别为，，，下列条件：①；②；③．其中能判断是直角三角形的条件个数有 ．
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】D
【解析】
【分析】根据三角形的内角和定理即可判断①，根据勾股定理的逆定理即可判断②和③，由此即得答案.
【详解】①∵∠A＝∠B﹣∠C，∴∠A+∠C＝∠B，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠B＝180°，
∴∠B＝90°，∴△ABC是直角三角形；
②∵a2＝（b+c）（b﹣c），∴a2＝b2﹣c2，∴a2+c2＝b2，
∴△BAC是直角三角形；
③∵a：b：c＝3：4：5，
∴设a＝3k，b＝4k，c＝5k，
∵a2+b2＝25k2，c2＝25k2，
∴a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形；
故选：D．
【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理的应用，属于基础题型，掌握直角三角形的判定方法是关键.
5. □ABCD中，E、F是对角线BD上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形AECF一定为平行四边形的是（ ）
A. BE=DFB. AE=CFC. AF//CED. ∠BAE=∠DCF
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线的判定方法结合已知条件逐项进行分析即可得．
【详解】A、如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵BE=DF，
∴OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意；
B、如图所示，AE=CF，不能得到四边形AECF是平行四边形，故符合题意；
C、如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，
∵AF//CE，
∴∠FAO=∠ECO，
又∵∠AOF=∠COE，
∴△AOF≌△COE，
∴AF=CE，
∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意；
D、如图，∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB//CD，
∴∠ABE=∠CDF，
又∵∠BAE=∠DCF，
∴△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，
∴∠AEO=∠CFO，
∴AE//CF，
∴四边形AECF是平行四边形，故不符合题意，
故选B．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的判定定理与性质定理是解题的关键．
6. 如图，在矩形中，对角线交于点O，过点O作交于点E，交于点F．已知，的面积为5，则的长为（ ）
A. 2B. C. D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的性质、勾股定理以及三角形的面积问题．连接，由题意可得为对角线的垂直平分线，可得，，由三角形的面积则可求得的长，然后由勾股定理求得答案．
【详解】解：连接，如图所示：

由题意可得，为对角线的垂直平分线，
，，
．
，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．）
7. 要使式子有意义，则x的取值范围是______．
【答案】
【解析】
【分析】题目主要考查二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件求解即可．
【详解】解：∵有意义，
∴，
∴，
故答案为：．
8. 如图，在矩形中，，，在数轴上，若以点为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴于点，则点表示的数为________．

【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了实数与数轴，数轴上两点的距离，勾股定理，利用数形结合的思想解决问题是关键．由勾股定理得到，进而得到，再根据数轴上两点间的距离，即可求出点表示的数．
【详解】解：在矩形中，，，
由作法可知，
点表示的数为，
点表示的数为，
故答案为：
9. 《九章算术》“勾股”章有一题：“今有户高多于广六尺，两隅相去适一丈，问户高、广各几何？”大意是说：已知矩形门的高比宽多6尺，门的对角线长1丈，那么门的高和宽各是多少？（1丈=10尺），如果设门的宽为x尺，那么这个门的高为（x+6）尺，根据题意得方程：_____．
【答案】x2+（x+6）2=102
【解析】
【分析】直接利用勾股定理进而得出等式方程即可．
【详解】设门的宽为x尺，那么这个门的高为（x+6）尺，根据题意得方程：
x2+（x+6）2=102
故答案为x2+（x+6）2=102
【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理是解题的关键．
10. 如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．如果AC=8，BD=14，AB=x，那么x的取值范围是____．
【答案】3＜x＜11
【解析】
【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=CO，BO=DO，
∵AC=8，BD=14，
∴AO=4，BO=7，
∵AB=x，
∴7﹣4＜x＜7+4，
解得3＜x＜11．
故答案为：3＜x＜11．
11. 如图，一技术人员用刻度尺（单位：cm）测量某三角形部件的尺寸．已知，点D为边的中点，点A、B对应的刻度为1、7，则_________cm．
【答案】3
【解析】
【分析】先读尺确定，再根据直角三角形的性质即可求出答案．
【详解】根据刻度尺可知．
在中，点D是的中点，
∴．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，理解“直角三角形的斜边中线是斜边的一半”是解题的关键．
12. 如图，矩形中，，，连接，若点在图中任意线段上，当，则的长为________．

【答案】3或或
【解析】
【分析】根据矩形的性质可得，，，，当时，分情况讨论：①当点P在边上，②点P在的中点，③点P在边上，分别求解即可．
【详解】解：在矩形中，，，，
∵，，
根据勾股定理，得，
当时，分情况讨论：
①当点P在边上，如图所示：在图1中，
设，
则，
在中，根据勾股定理，得，
解得，则；
②点P在的中点，如图所示：在图2中，
，
③点P在边上，如图所示：在图3中，
设，
则，
在中，根据勾股定理，得，
解得，则；
在中，根据勾股定理，得；
综上所述：当，则的长为3或或，
故答案为：3或或．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的性质是解题的关键，注意分情况讨论．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. （1）计算：；
（2）如图，在中，A、C分别在、的延长线上，且．求证：四边形是平行四边形．
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形判定与性质和实数的加减运算，熟练掌握平行四边形的判定与性质及二次根式的加减运算是解题的关键．
（1）先将二次根式化简，然后计算加减法即可；
（2）由平行四边形的性质得，再证，即可得出结论．
【详解】解：（1）
；
（2）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
即，
∵，
∴四边形是平行四边形．
14. 已知，，．求值：
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）3
【解析】
【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的乘法，平方差公式．熟练掌握完全平方公式，二次根式的乘法，平方差公式是解题的关键．
（1）利用完全平方公式计算求解即可；
（2）先通分，然后代值，利用平方差公式计算求解即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴
；
【小问2详解】
解：由题意知，
．
15. 如图，正方形网格中小方格边长为1，A，B，C都是小正方形的顶点，请你根据所学的知识解决下面问题．
（1）求的周长；
（2）判断是不是直角三角形，并说明理由.
【答案】（1）△ABC的周长为；（2）△ABC不是直角三角形，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理求出AB，BC的长，然后可求周长；
（2）利用勾股定理的逆定理判断即可．
【详解】解：（1）如图，根据题意由勾股定理，得
，，
∴△ABC的周长=AB+AC+BC=，
（2）△ABC不是直角三角形，理由是：
∵在△ABC中，AB2+BC2=13+45=58，AC2=64，
即AB2+BC2≠AC2，
∴△ABC不是直角三角形.
【点睛】本题考查勾股定理以及勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
16. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，已知小巷的宽度是2.2米．一架梯子斜靠在左墙时，梯子顶端与地面点距离是2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端与地面点距离是2米．求此时梯子底端到右墙角点的距离是多少米．
【答案】此时梯子底端到右墙角的距离是1.5米
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的应用，设此时梯子底端到右墙角的距离长是米，根据，结合勾股定理列出方程，解方程即可得出答案，熟练掌握勾股定理是解此题的关键．
【详解】解：设此时梯子底端到右墙角的距离长是米，
由题意列方程为：，
解方程得，
答：此时梯子底端到右墙角的距离是1.5米．
17. 如图，在□ABCD中，点E在AD上，请仅用无刻度直尺按要求作图（保留作图痕迹，不写作法）
（1）在图1中，过点E作直线EF将□ABCD分成两个全等的图形；
（2）在图2中，DE＝DC，请你作出∠BAD的平分线AM．
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析
【解析】
【分析】（1）作▱ABCD的对角线AC、BD，交于点O，作直线EO交BC于点F，直线EF即为所求；
（2）由DE＝DC，在BC上取点M，且BM=DE，由等腰三角形的性质可得AB=BM，则∠AMB=BAM，又因为ABCD是平行四边形，则根据平行线的性质可得∠AMB=DAM，由DE＝DC，作射线AM即可得．
【详解】（1）如图1，直线EF即为所求；
（2）因为DE＝DC，在BC上取点M，且BM=DE，则可得AB=BM，则∠AMB=BAM，又因为ABCD是平行四边形，则根据平行线的性质可得∠AMB=DAM，故如图2，射线AM即为所求．
【点睛】本题考查作图-基本作图，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 如图，在中，为边上一点，且．
（1）求证：．
（2）若平分，，求的度数．
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
【分析】（1）△ABC和△EAD中已经有一条边和一个角分别相等，根据平行的性质和等边对等角得出∠B=∠DAE即可证明．
（2）根据全等三角形的性质，利用平行四边形的性质求解即可．
【详解】（1）四边形为平行四边形，
．
．
．
．
．
（2），
．
为等边三角形．
．
．
，
.
19. 正方形中对角线、相交于，为上一点，交于，交于．
（1）说明的道理；
（2）在（1）中，若为延长线上，交的延长线于，、的延长线交于，其他条件不变，如图，则结论：“”还成立吗？请说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）仍然成立．理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查正方形的性质和全等三角形的判定与性质：
（1）由同角的余角相等，可得，由正方形的性质知，，，则证得，可得；
（2）思路与（1）相同，易得，可得；
【小问1详解】
证明：在正方形中，，
又∵，
∴．
∴．
在和中，
，
∴．
∴．
【小问2详解】
仍成立．
证明：在正方形中，，
又∵，
∴．
∴．
在和中，
，
∴．
∴．
20. 请你认真阅读思考下面的材料，完成相关问题．
【数学模型】
如图①，A，B是直线l同旁的两个定点，在直线l上确定一点P，使的值最小．
方法：作点A关于直线l的对称点，连接交l于点P，则点P即为所求．此时，的值最小，且
【模型应用】
（1）如图②，经测量得A，B两点到河边l的距离分别为米，米，且米．在l上确定一点P，则的最短路径长为______米；
（2）如图③，在正方形中，，点E在边上，且，点P是对角线上一个动点，求的最小值；
（3）如图④，在平面直角坐标系中，点，．请在x轴上确定一点P，使的值最小，并求出的最小值．
【答案】（1）1500
（2）
（3）P点坐标为；的最小值为
【解析】
【分析】本题考查了轴对称-最短问题，垂线段最短，等腰三角形的性质，正方形的性质，勾股定理等知识，要灵活运用对称性解决此类问题．找出P点位置是解题的关键．
（1）作点A关于直线l的对称点，连接，过点作并交线于点M，根据对称的性质得出米，米，米，再由勾股定理求解即可；
（2）连接，设与交于点P，根据正方形的性质及轴对称得出P在与的交点上时，最小，为的长度，利用勾股定理求解即可；
（3）作A点关于x轴的对称点，连接交x轴于P点，P点即为所求，利用轴对称的性质得出，则，的值最小，然后确定一次函数解析式即可得出结果，再由勾股定理求解即可．
【小问1详解】
解：作点A关于直线l的对称点，连接，过点作并交线于点M，
∴米，
中，米，米，
（米），
∴“将军饮马”问题中的最短路径长为1500米，
故答案为：1500；
【小问2详解】
如图，连接，
设与交于点P，
∵四边形是正方形，
∴点B与D关于对称，
∴，
∴最小．
即P在与的交点上时，最小，为的长度．
∵直角中，，
∴．
∴的最小值为．
【小问3详解】
如图，作A点关于x轴的对称点，连接交x轴于P点，P点即为所求：
利用对称的性质得到，则，的值最小；
A点关于x轴对称的点的坐标为，
设直线的解析式为，
把代入得：
，解得，
∴直线的解析式为，
当时，，解得，
∴P点坐标为；
的最小值为：．
五、解答题（本大题共2题，每题9分，共18分）
21. 【阅读理解】
爱思考的小名在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的：
，．
，即．
．
．
请你根据小名的分析过程，解决如下问题：
（1）计算：______；
（2）计算：______；
（3）若，求的值．
【答案】（1）
（2）
（3）2
【解析】
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，求代数式的值，熟练掌握二次根式的分母有理化是解题关键；
（1）仿照题的方法化简即可；
（2）把每项按照题中方法化简，再相加减即可；
（3）仿照题中方法求代数式值的方法求解即可．
【小问1详解】
解：，
故答案为：；
【小问2详解】
解：
，
故答案为：；
小问3详解】
解：∵，
∴，
∴，即，
∴．
22. 定义：有一个内角为，且对角线相等的四边形称为准矩形．
（1）如图1，准矩形中，，若，，求的长；
（2）如图2，正方形中，点E，F分别是边，上的点，且四边形是准矩形，求证：；
（3）如图3，准矩形中，，，，，求这个准矩形的面积．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）利用勾股定理求出，再根据准矩形的定义求出即可；
（2）根据准矩形的性质得到，再证明，利用全等三角形的性质进一步推出，即可证明；
（3）作，根据梯形的面积公式，三角形面积公式即可得出答案．
【小问1详解】
解：，，，
，
四边形是准矩形，
．
故答案为：；
【小问2详解】
∵四边形是准矩形，
∴，
四边形是正方形，
，，
，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问3详解】
作，垂足为，
在中，，，
∴，
∴，
准矩形中，，，
，
，
，
，
，
．
【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了新定义，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，梯形面积公式，三角形面积公式，正确运用准矩形的定义是解本题的关键．
六、解答题（本大题满分12分）
23. （1）【探究发现】如图①，已知矩形的对角线的垂直平分线与边，分别交于点E，F．求证：四边形是菱形；
（2）【类比应用】如图②，直线分别交矩形的边，于点E，F，将矩形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，求四边形的周长；
（3）【拓展延伸】如图③，直线分别交平行四边形边，于点E，F，将平行四边形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，，求的长．
【答案】（1）见详解；
（2）；
（3）．
【解析】
【分析】（1）通过证明，得到，可证四边形为平行四边形，再由，可证平行四边形为菱形；
（2）过点作于，先判断四边形是矩形，再求矩形的边长，进而求出周长；
（3）过点作，交的延长线于，过点作于，先证明四边形是平行四边形，再证明四边形是矩形，在中，求出， 中，求出即可．
【详解】（1）证明：四边形是矩形，
，
，
垂直平分，
，，
，
，
四边形为平行四边形，
，
平行四边形为菱形；
（2）解：过点作于，
由折叠可知：，，
在中，，即，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
四边形的周长；
（3）解：过点作，交的延长线于，过点作于，
四边形是平行四边形，，
，
，
，
，
，
由折叠的性质可知：，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
在中，，
，
在 中，．
【点睛】本题是四边形的综合题，熟练掌握菱形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，图形折叠的性质是解题的关键．