安徽省阜阳市2023-2024学年高一下学期4月月考数学试卷（Word版附解析）

这是一份安徽省阜阳市2023-2024学年高一下学期4月月考数学试卷（Word版附解析），共7页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必用直径0，本卷命题范围，已知复数等内容，欢迎下载使用。

数 学

考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。
4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章~第八章第2节。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若向量a，b是两个单位向量，则
A.|a|²=|b|² B.a²≠b²
C. a-b=0 D. a·b=1
2.已知复数z满足(3-4i)z=5,则z=
A.45−35i B.35−45i
C.45+35i D.35+45i
3.下列说法中错误的是
A.棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形
B.用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥可得到圆台
C.直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥
D.在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆柱的母线
4.在△ABC中,A=120°,C=15°,AC= 6,则BC=
A.4 B.23 C.3 D.2 2
5.如图所示,在直角坐标系中,已知A(1,0),B(--1,2),C(-1,0),D(1,-2),则四边形ABCD的直观图面积为
A.42
B.32
C.22
D. 2

【高一第一次教学质量检测·数学 第1页(共4页)】 241716Z6.已知向量a=(1,0),b=(2,1),若ka-b与a+3b垂直,则k=
A. 177 B.−177 C. 13 D.−13
7.已知向量a=(-1,1),b=(2,3),则b在a上的投影向量的坐标为
A.1212 B.12−12
C.−1212 D.−12−12
8.如图,在△ABC中,AC=BC,D在边AB 上,∠ACB=3∠BCD, 4AD=5DB,,则 cs∠ACD=
A.−2425 B.−732
C.−725 D.1225
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知复数. z=2+3i,则
A. z的虚部为 3
B. z是纯虚数
C. z的模是 7
D.z在复平面内对应的点位于第四象限
10.关于平面向量a，b，c，下列说法不正确的是
A.a−b⋅a+b=a²−b²
B.(a+b)·c=a·c+b·c
C.若a·b=a·c,且a≠0,则b=c
D.(a·b)·c=a·(b·c)
11.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则下列说法正确的是
A.若 sin A=sin B,则△ABC 为等腰三角形
B.asinA=a+b+csinA+sinB+sinC
C.若 a²+b²−c²<0,则△ABC是锐角三角形
D.若 bc=2,A=π3,则△ABC的面积为 SABC=32

【高一第一次教学质量检测·数学 第2页(共 4页)】 241716Z三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=(1,2),b=(3,1),则b-a= .
13.已知(2-i)x=4+yi,其中x,y是实数,则x+y= .
14.在△ABC中,已知向量 AB与 AC满足 AB|AB|+AC|AC|⋅BC=0,且 AB⋅AC=0,则角. B=
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.(本小题满分13分)
已知复数 z=2−im²−1+3im−3+im∈R.
(1)当m为何值时，z为纯虚数?
(2)当m=2时,求z⋅z .
16.(本小题满分15分)
如图,点 D是△ABC中BC边的中点, AB=a,AC=b.
(1)若点 O是△ABC的重心,试用a,b表示 AO;
(2)若点O是△ABC的重心,求 OA+OB+OC
17.(本小题满分15分)
在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 b=2,c=2,csC=−33.
(1)求 sin B 和a 的值;
(2)求△ABC的面积.
【高一第一次教学质量检测·数学 第3页(共 4 页)】 241716Z18.(本小题满分17分)
已知向量 a=10,b=22,a,b的夹角为θ.
(1)求θ;
(2)若存在实数t，使得ta+b与2a+b的夹角为锐角，求t的取值范围.
19.(本小题满分17分)
如图,在梯形ABCD 中, AD=4,DC=CB=6,AB=2DC,点 E,F,G,H分别为线段DC,AB 上的三等分点，点 P 是线段BC 上的一点.
(1)求 AB⋅AD的值；
(2)求 |EG|的值；
线AP分别交线段EG，FH于M，N两点，若B，N，D三点在同一直线上，求 AMAN的值.
【高一第一次教学质量检测·数学 第4页(共 4页)】 241716Z
2023 级高一下学期第一次教学质量检测·数学
参考答案、提示及评分细则
1. A 由单位向量的定义可知,|a|=|b|=1,即| |a|²=|b|²,且 a²=|a|²,b²=|b|²,故 A 正确,B错误;因为a,b方向和夹角不确定，故 CD错误.故选 A.
2. D 由(3-4i)z=5,得 z=53−4i=53+4i25=35+45i故选 D.
3.C 易知ABD正确；当以斜边所在直线为旋转轴时，所成几何体不是圆锥，C错误.故选C.
4. C 由 A=120°,C=15°,得B=45°,由正弦定理得 6sin45∘=BCsin120∘,所以 BC=6sin120∘sin45∘=3.故选 C.
5. D 由题意知，四边形ABCD的面积为 2SABC=2×12×2×2=4,所以直观图的面积为 4×24=2.故选 D.
6. A ka-b=k(1,0)--(2,1)=(k-2,-1),a+3b=(1,0)+3(2,1)=(7,3). ∵ka-b与a+3b垂直,∴(ka-b)·(a+3b)=(k-2,-1)·(7,3)=0,∴k=¹⁷/₇.故选 A.
7. C 因为a·b=(-1,1) ·(2,3)=-2+3=1,|a|²=2,所以b在a 上的投影向量的坐标为 a⋅b|a|⋅a|a|= 12−11=−1212.故选 C.
8. B 设∠BCD=α,则∠ACB=3∠BCD=3α,∠ACD=2α.在△ACD中,由正弦定理,得 ADsin2α=CAsin∠ADC;在△BCD中，由正弦定理，得 BDsinα=CBsin∠BDC又因为 AC=BC,∠ADC+∠BDC=π,所以 CAsin∠ADC= CBsin∠BDC,所以 ADsin2α=BDsinα,即 ADBD=sin2αsinα=2csα.又因为 4AD=5DB,所以 ADBD=2csα=54,故csα =58.所以 cs∠ACD=cs2α=2cs2α−1=2×2564−1=−732.故选 B.
9.AC 对于 A，由虚部定义知z的虚部为 3，故 A 正确；对于 B，纯虚数要求实部为0，故 B 错误；对于 C， |z|=22+32=7,故C正确；对于D，z在复平面内对应的点为(2， 3)，位于第一象限，故D错误.故选 AC.
10.CD 对于A，由向量的运算法则知正确，故A正确；对于B，向量数量积满足分配律，故B正确；对于C，向量数量积不满足消去律，故C错误；对于D，(a·b)·c是与c共线的向量，a·(b·c)是与a共线的向量，故D错误.故选 CD.
11. ABD 对于A,因为在△ABC中,A∈(0,π),B∈(0,π),所以当sin A=sinB时,A=B,故△ABC为等腰三角形，故 A 正确；对于 B，由正弦定理 asinA=bsinB=csinC=2R,得b=2RsinB,c=2RsinC,a=2RsinA,所以 a+b+csinA+sinB+sinC=2R,故 B正确；对于C，由余弦定理得 csC=a2+b2−c22ab<0,又因为 C 是△ABC中的一个内角，所以 C∈π2π,所以△ABC是钝角三角形，故C错误；对于D, SABC=12bcsinA=32,故D 正确.故选 ABD.
12.(2,-1) 由a=(1,2),b=(3,1),可得b-a=(3-1,1-2)=(2,-1).
13.0 由(2-i)x=4+yi,得2x-xi=4+yi,所以2x=4,-x=y,解得x=2,y=-2,所以x+y=0.
14.π/4设角A的平分线交BC 于 D,因为 AB⋅AC=0,故AB⊥AC.设 AB|AB|=AE, AC|AC|=AF如图所示)， AE+AF=AG,因为 |AE|=|AF|=1,故四边形 AEGF为正方形，所以 AG为角A 的平分线，故G在AD 上.因为 AB|AB|+AC|AC|⋅BC=0,故AD⊥BC,故AB=AC.综上,△ABC为等腰直角三角形,所以 B=π4.
15.解:(1)由已知得 z=2m²−m−3+−m²−3m+1i,
若z为纯虚数，则 2m2−m−3=0,−m2−3m+1≠0,解得m=-1或 32.…6分
(2)当m=2时,z=3-9i,z=3+9i,………………………………………………………………………9分
所以 z⋅z=3−9i⋅3+9i=32−81i2=9+81=90.…13分
【高一第一次教学质量检测·数学参考答案 第 1 页(共2页)】 241716Z16.解:(1)因为点 O是△ABC的重心,
所以 AO=23AD=2312a+12b=13a+13b. …7分
(2)因为点O是△ABC的重心且D 是BC 边的中点，所以以 OB+OC=2OD,
又 AO=23AD=2OD,所以 OB+OC=AO=−OA,
所以 OA+OB+OC=0. 15分
17.解:(1)在△ABC中,由 csC=−33,可得 sinC=1−cs2C=63. 1分
又由 csinC=bsinB及 b=2,c=2,可得 sinB=33. …3分
由余弦定理得 c²=a²+b²−2abcsC,得 3a2+26a−6=0, 5分
因为a>0，故解得 a=63. 6分
所以 sinB=33,a=63. …… 8分
(2)由(1)知, a=63,sinC=63,
所以△ABC的面积. SABC=12absinC=12×63×2×63=23. … 15分
18.解: 1csθ=a⋅b|a||b|=1×2+0×212+022+22=22, …3分
又θ∈[0,π],∴θ=π4. …… 6分
(2)∵ta+b=(t+2,2),2a+b=(4,2), …… 7分
∴(ta+b)·(2a+b)=(t+2)×4+2×2=4t+12. …… 9分
∵ta+b与2a+b所成的角为锐角,………… …… 11分
∴4t+12>0,…………………………… …… 13分
∴t>-3.
当ta+b与2a+b共线时, t+24=22,解得t=2,
∴t的取值范围为(--3,2)∪(2,+∞). …………………………17分
19.解:(1)设 AB=a,AD=b,
∵CB=CD+DA+AB=−12a−b+a=12a−b,
∴CB2=14a2−a⋅b+b2=52−a⋅b=36,即 AB⋅AD=a⋅b=16.…4分
2)AE=AD+13DC=b+13×12a=16a+b,EG=AG−AE=16a−b
|EG|=16a−b2=136a2−13a⋅b+b2=2333. …8分
(3)连接BD,∵B,N,D三点共线,BH=DF,
∴△DFN≌△BHN,∴N为BD 的中点,
∴AN=12AB+12AD=12a+12b. …12分
设 AM=λAN,则 AM=λ2a+λ2b.
设 GM=μGE=μb−16a.( 14分
在△AMG中, MG=AG−AM,
∴μ−b+16a=13a−λ2a−λ2b,
∴16μ−13+λ2a=μ−λ2b,∴μ−λ2=0,μ6−13+λ2=0, 解得 λ=47,…… …16分
∴AM=47AN,AMAN=47. .…17分
【高一第一次教学质量检测·数学参考答案 第 2 页(共2页)】 241716Z