2024年上海市松江区初三二模数学试卷和答案

这是一份2024年上海市松江区初三二模数学试卷和答案，共28页。

1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分．
2．答题前，务必在答题纸上填写姓名、学校和考号．
3．答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位．
一、选择题（本大题共6题）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1. 下列代数式中，单项式是（ ）
A. B. C. D.
2. 当时，下列运算结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
3. 如果，为任意实数，那么下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
4. 在一次演讲比赛中，小明对7位评委老师打出的分数进行了分析，如果去掉一个最高分和一个最低分后再次进行分析，那么这两组数据的下列统计量一定相等的是（ ）
A. 中位数B. 众数C. 平均数D. 方差
5. 下列四个命题中不正确的是（ ）
A. 对角线相等的平行四边形是矩形B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 对角线相等的菱形是正方形D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
6 已知矩形中，，，分别以，为圆心的两圆外切，且点在内，点在内，那么半径的取值范围是（ ）
A B. C. D.
二、填空题（本大题共12题）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7. 计算：_______．
8 因式分解：______．
9. 不等式组的解集是____．
10. 如果关于x一元二次方程有两个相等的实数根，那么k= ____．
11. 已知反比例函数的图像经过点，那么在每个象限内，y随x的增大而____．（填“增大”或“减小”）
12. 我国新能源汽车发展迅速，某品牌电动车第一季度销量达10万辆，预计第二季度的销量比第一季度增长，第三季度的销量比第二季度增长，那么预计第三季度的销量为_____万辆．
13. 一个公园有东、南、西三个入口，小明和小红分别随机从一个入口进入该公园游玩，那么他们从同一入口进入该公园游玩的概率是_____．
14. 平移抛物线，使得平移后的抛物线经过原点，且顶点在第四象限，那么平移后的抛物线的表达式可以是_____．（只需写出一个符合条件的表达式）
15. 如图，已知梯形中，，，、交于点O．设，那么向量可用表示为_____．
16. 某学习小组就本校学生的上学交通方式进行了一次随机抽样调查，并绘制了两幅不完整的统计图，如图１和图2所示．已知该校有1200名学生，估计该校步行上学的学生约为___人．
17. 一种弹簧秤称重不超过8千克的物体时，弹簧的长度y（厘米）与所挂重物质量x（千克）是一次函数关系．又已知挂2千克重物时弹簧的长度为11厘米，挂4千克重物时弹簧的长度为12厘米，那么挂5千克重物时弹簧的长度为_____厘米．
18. 如图，已知中，，，．是边的中点，是边上一点，将沿着翻折，点落在点处，如果与与的一边平行，那么_____．
三、解答题（本大题共7题）
19. 计算：．
20. 解方程组：．
21. 如图，已知中，．点O在边上，以O为圆心，为半径的弧经过点A．

（1）求的半径长；
（2）P是上一点，，交于点D，连接．求的正切值．
22. 一个凸四边形的四条边及两条对角线共6条线段中，如果只有两种大小不同的长度，那么称这个四边形为“精致四边形”．如正方形的四条边都相等，两条对角线相等，且边长与对角线长度不等，所以正方形是一个“精致四边形”．
（1）如图所示的四边形是一个“精致四边形”，其中，．试写出该“精致四边形”的两条性质（，除外）；
（2）如果一个菱形（除正方形外）是“精致四边形”，试画出它的大致图形，并求出该“精致四边形”的6条线段中较长线段与较短线段长度的比值；
（3）如果一个梯形是“精致四边形”，试画出它的大致图形，指出两种长度的线段各是哪几条，并求出它的各内角度数．
23. 如图，已知是与的公共弦，与交于点C，的延长线与交于点P，连接并延长，交于点D．
（1）连接如果．求证： ；
（2）如果，求证：．
24. 如图，在平面直角坐标系中，已知点、点，抛物线经过点，且顶点在线段上（与点、不重合）．
（1）求、的值；
（2）将抛物线向右平移（）个单位，顶点落在点处，新抛物线与原抛物线的对称轴交于点，连接，交轴于点．
①如果，求 的面积；
②如果，求的值．
25. 如图，已知矩形中，，，点是边上一动点，过点作，垂足为点，连接，过点作，交边于点（点与点不重合）．

（1）当是中点时，求证：；
（2）当的长度取不同值时，在中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；
（3）延长交边于点，连接，与能否相似，若能相似，求出此时的长；若不能相似，请说明理由．
2024年松江区初中毕业生学业模拟考试试卷九年级数学
（满分150分，完卷时间100分钟）
考生注意：
1．本考试设试卷和答题纸两部分，试卷包括试题与答题要求，所有答题必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上，做在试卷上一律不得分．
2．答题前，务必在答题纸上填写姓名、学校和考号．
3．答题纸与试卷在试题编号上是一一对应的，答题时应特别注意，不能错位．
一、选择题（本大题共6题）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】
1. 下列代数式中，单项式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了单项式的定义，根据数与字母的积的形式的代数式是单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式，分母中含字母的不是单项式．准确掌握定义即可解题．
【详解】解：A 、是单项式，符合题意；
B、是分式，不符合题意；
C、是多项式，不符合题意；
D、是二次根式，不符合题意；
故选：A．
2. 当时，下列运算结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查的是零次幂，负整数指数幂，分数指数幂的含义，整数指数幂的含义，再逐一分析各选项即可．
【详解】解：∵，
∴，，，，
∴A，B，D不符合题意，C符合题意；
故选C
3. 如果，为任意实数，那么下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了不等式的性质，根据不等式的性质分析判断即可．
【详解】解：A、，当时，，故选项A不符合题意；
B、，当时，，故选项B不符合题意；
C、，为任意实数，
，故选项C不符合题意；
D、，为任意实数，
，故选项D符合题意．
故选：D．
4. 在一次演讲比赛中，小明对7位评委老师打出的分数进行了分析，如果去掉一个最高分和一个最低分后再次进行分析，那么这两组数据的下列统计量一定相等的是（ ）
A. 中位数B. 众数C. 平均数D. 方差
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了统计量的选择，解题的关键是了解中位数的定义，难度不大．根据中位数的定义：位于中间位置或中间两数的平均数是这组数据的中位数，所以去掉一个最高分和一个最低分不影响中位数．
【详解】解：一列数去掉最大的和最小的，众数可能会改变，方差，平均数都可能会改变，只有中位数一定不会变．
故选A．
5. 下列四个命题中不正确的是（ ）
A. 对角线相等的平行四边形是矩形B. 对角线互相垂直的四边形是菱形
C. 对角线相等的菱形是正方形D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形
【答案】B
【解析】
【分析】根据正方形、矩形、菱形及平行四边形的判定判断即可．
【详解】解：由题意可知：
A、对角线相等的平行四边形是矩形，为真命题，不合题意；
B、对角线互相垂直的平行四边形才是菱形，为假命题，符合题意；
C、对角线相等的菱形是正方形，为真命题，不合题意；
D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，为真命题，不合题意；
故选：B．
【点睛】本题综合考查了正方形、矩形、菱形及平行四边形的判定．解答此题时，必须理清矩形、正方形、菱形与平行四边形间的关系．
6. 已知矩形中，，，分别以，为圆心的两圆外切，且点在内，点在内，那么半径的取值范围是（ ）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据勾股定理求出的长，再根据以，为圆心的两圆外切得出的半径，最后根据点和圆的位置关系，求出的取值范围即可．本题主要考查了相切两圆的性质以及点和圆的位置关系，求出的半径是本题解题的关键．
【详解】解：连接，
四边形为矩形，
，
以，为圆心的两圆外切，
的半径为，
点在内，
，
，
在内，
，
，
．
故选：C．
二、填空题（本大题共12题）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7. 计算：_______．
【答案】
【解析】
【分析】先把化简为2，再合并同类二次根式即可得解.
【详解】2-=.
故答案为：.
【点睛】本题考查了二次根式的运算，正确对二次根式进行化简是关键．
8. 因式分解：______．
【答案】
【解析】
【分析】利用提公因式法因式分解即可．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查提公因式法因式分解，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
9. 不等式组的解集是____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分．不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．首先分别计算出两个不等式的解集，再确定不等式组的解集．
【详解】解：，
由①得：，
由②得：，
∴不等式的解集为：，
故答案为：
10. 如果关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，那么k= ____．
【答案】
【解析】
【分析】因为关于的一元二次方程有两个相等的实数根，所以且判别式，建立关于的方程，解方程即可求出的值．本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
且判别式，
解得：．
故答案为：．
11. 已知反比例函数的图像经过点，那么在每个象限内，y随x的增大而____．（填“增大”或“减小”）
【答案】增大
【解析】
【分析】根据题意，先确定，再依据反比例函数性质解答本题即可．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数性质是解答本题的关键．
【详解】解：反比例函数 的图象经过点，
，反比例函数图象分布在第二四象限，在每个象限内，随的增大而增大，
故答案为：增大．
12. 我国新能源汽车发展迅速，某品牌电动车第一季度销量达10万辆，预计第二季度的销量比第一季度增长，第三季度的销量比第二季度增长，那么预计第三季度的销量为_____万辆．
【答案】13.2
【解析】
【分析】本题考查了销售增长率的问题，利用“第二季度的销量=第一季度的销量（1+增长率），第三季度的销量=第二季度的销量（1+增长率）”，即可求解．
【详解】，
故答案为：13.2．
13. 一个公园有东、南、西三个入口，小明和小红分别随机从一个入口进入该公园游玩，那么他们从同一入口进入该公园游玩的概率是_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查是用树状图法求概率，画树状图，共有9种等可能的结果，其中小明和小红从同一入口进入该公园游玩的结果有3种，再由概率公式求解即可．
【详解】把公园的东、南、西三个入口分别记为A、B、C，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小明和小红从同一入口进入该公园游玩的结果有3种，
∴他们从同一入口进入该公园游玩的概率是，
故答案为：．
14. 平移抛物线，使得平移后的抛物线经过原点，且顶点在第四象限，那么平移后的抛物线的表达式可以是_____．（只需写出一个符合条件的表达式）
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移．根据题意可设平移后的抛物线的解析式为，可得该抛物线的顶点坐标为，再由顶点在第四象限，可得，即可．
【详解】解：根据题意可设平移后的抛物线的解析式为，
∵，
∴该抛物线的顶点坐标为，
∵顶点在第四象限，
∴，
即，
∴平移后抛物线的解析式为．
故答案为：（答案不唯一）．
15. 如图，已知梯形中，，，、交于点O．设，那么向量可用表示为_____．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查向量的线性计算．熟练掌握三角形法则，是解题的关键．先证明，再利用三角形法则，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
故答案为：
16. 某学习小组就本校学生的上学交通方式进行了一次随机抽样调查，并绘制了两幅不完整的统计图，如图１和图2所示．已知该校有1200名学生，估计该校步行上学的学生约为___人．
【答案】240
【解析】
【分析】本题考查了样本百分比估计总体百分比，先求出步行所占百分比，再用学生总数乘以步行学生所占的百分比即可估计全校步行上学的学生人数
【详解】解：抽查的人数为：（人）
∴步行上学在扇形图中所占比例为，
∴全校步行上学的学生人数为：（人）
故答案为：240
17. 一种弹簧秤称重不超过8千克的物体时，弹簧的长度y（厘米）与所挂重物质量x（千克）是一次函数关系．又已知挂2千克重物时弹簧的长度为11厘米，挂4千克重物时弹簧的长度为12厘米，那么挂5千克重物时弹簧的长度为_____厘米．
【答案】12.5
【解析】
【分析】利用待定系数法求出与之间的函数关系式，并标明的取值范围，将代入求出对应的值即可．本题考查一次函数的应用，利用待定系数法求出与之间的函数关系式是本题的关键．
【详解】解：设与之间的函数关系式为、为常数，且．
将，和，代入，
得，
解得，
与之间的函数关系式为．
当时，，
挂5千克重物时弹簧的长度为12.5厘米．
故答案为：12.5．
18. 如图，已知中，，，．是边的中点，是边上一点，将沿着翻折，点落在点处，如果与与的一边平行，那么_____．
【答案】5或
【解析】
【分析】根据与三边分别平行分类讨论，由翻折性质以及勾股定理求出的长，从而求得的长即可．本题主要考查了翻折变换，合理运用正方形的判定与性质以及中位线定理和勾股定理是本题解题的关键．
【详解】解：①当时，与重合，
，，不构成三角形，不符合题意；
②当，如图：
，
，
由翻折的性质可知，，，
四边形为正方形，
，
；
③当，延长交于，如图：
，，
，
设，则，
在中，，
解得：，
，
综上所述，或6.5．
故答案为：5或6.5．
三、解答题（本大题共7题）
19. 计算：．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，根据分数指数幂，负整数指数幂，二次根式的混合运算进行计算即可求解．
【详解】解：原式

20. 解方程组：．
【答案】，，，
【解析】
【分析】本题考查了二元二次方程组的解法等知识．先将方程①变形为或，分别与方程②组成方程组，利用代入法即可求解．
【详解】解：
由方程①得，得到 或．
将它们与方程②分别组成方程组，得
（Ⅰ） 或（Ⅱ）
解方程组（Ⅰ），得 ，；
解方程组（Ⅱ），得 ，；
所以原方程组解是，，，．
21. 如图，已知中，．点O在边上，以O为圆心，为半径的弧经过点A．

（1）求的半径长；
（2）P是上一点，，交于点D，连接．求的正切值．
【答案】（1）5 （2）
【解析】
【分析】本题主要考查了解直角三角形，圆的基本性质，勾股定理：
（1）联结，设，在中，根据勾股定理，求出x的值，即可；
（2）过点P作，垂足为H． 根据锐角三角函数可得，，再由，可得，即可求解．
【小问1详解】
解：联结，设，

∵，
∴，
∵，
∴
解得：，
∴的半径长是5．
【小问2详解】
解：过点P作，垂足为H．
∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
∴，
∴ ．
22. 一个凸四边形的四条边及两条对角线共6条线段中，如果只有两种大小不同的长度，那么称这个四边形为“精致四边形”．如正方形的四条边都相等，两条对角线相等，且边长与对角线长度不等，所以正方形是一个“精致四边形”．
（1）如图所示的四边形是一个“精致四边形”，其中，．试写出该“精致四边形”的两条性质（，除外）；
（2）如果一个菱形（除正方形外）是“精致四边形”，试画出它的大致图形，并求出该“精致四边形”的6条线段中较长线段与较短线段长度的比值；
（3）如果一个梯形是“精致四边形”，试画出它的大致图形，指出两种长度的线段各是哪几条，并求出它的各内角度数．
【答案】（1）①，平分；②四边形是轴对称图形，直线所在的直线是它的对称轴；③，，
（2）画图形见解析，该“精致四边形”的6条线段中较长线段与较短线段长度的比值为
（3）画图形见解析，两种长度的线段各是，它的各内角度数
【解析】
【分析】本题考查了新定义，菱形的性质，梯形的性质，解题的关键是正确理解题目所给“精致四边形”的定义，正确画出图形，以及熟练掌握相关性质定理．
（1）根据题意易得是的垂直平分线，，是等边三角形，即可得出结论；
（2）根据题意画出图形，则在菱形中，且，根据菱形的性质得出，，，进而得出，则；
（3）根据题意画出图形，推出，， 再根据平行线的性质得出，求出，即可解答．
【小问1详解】
解：∵，，
∴是的垂直平分线，
则，平分；
∵，，，
∴，
∴，
∴四边形是轴对称图形，直线所在的直线是它的对称轴；
∵，
∴是等边三角形，则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
综上：该“精致四边形”的性质有：
①，平分；
②四边形是轴对称图形，直线所在的直线是它的对称轴；
③，，．
【小问2详解】
解：画图

∵在菱形中，且，
∴，，，
∴，
∴ ．
【小问3详解】
解：画图，如图：，，

∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
则，
∵，
∴，
∵，
∴，则，
解得：，
∴，．
23. 如图，已知是与的公共弦，与交于点C，的延长线与交于点P，连接并延长，交于点D．
（1）连接如果．求证： ；
（2）如果，求证：．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了相交圆的性质，综合运用垂径定理、直角三角形的判定以及平行线分线段成比例是本题解题的关键．
（1）连接，由直角三角形的判定可知为直角三角形，然后根据圆周角定理求出的度数即可证明；
（2）过作于E，过作于F，根据垂径定理和平行线分线段成比例来证明即可．
【小问1详解】
连接，如图：
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴为直角三角形，
∴，
由圆周角定理可知，，
∵是与的公共弦，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
过作于E，过作于F，如图：
∴，
∴，
∴，
由垂径定理可知，，
∴，
∴．
24. 如图，在平面直角坐标系中，已知点、点，抛物线经过点，且顶点在线段上（与点、不重合）．
（1）求、的值；
（2）将抛物线向右平移（）个单位，顶点落在点处，新抛物线与原抛物线的对称轴交于点，连接，交轴于点．
①如果，求 的面积；
②如果，求的值．
【答案】（1），
（2）①
②
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数的综合，掌握平移变换后，点以及抛物线变化的规律是本题解题的关键．
（1）先求出所在直线的表达式，然后将抛物线解析式化为顶点式，根据和都在线段上，求解即可．
（2）①根据抛物线平移的性质求出点坐标以及平移后的抛物线解析式，然后求出点坐标，进而求出的直线表达式，最后求出点坐标，然后根据三角形面积公式求解即可；
②根据，可知在的垂直平分线上，再过点做与轴平行的直线，与相交于点，由垂直平分线的性质可得，，，再由线段与平行，推出，，即， ，得出即垂直平分，，与点关于对称，即可得出点的坐标，由平移的性质可得平移后抛物线的表达式，最后根据在平移后的抛物线上，求出的值即可．
【小问1详解】
∵抛物线过点 ，
，，
∵ ，，
∴
将，两点分别代入到所在的一次函数中，
得，
连列可得解答，
故直线的解析式为：，
又因为顶点在线段上，
∴，
得 (舍去) 或，
，
，．
【小问2详解】
①，
∴对称轴为直线，顶点为，
当时，，
顶点，
当时，，
，
过点，，作轴垂线 垂足分别为，，
，
②由平移的性质可知， ，
，
在的垂直平分线上，
如图，过点做与轴平行的直线，与相交于点，
由垂直平分线的性质可得，，
故，
由图可得线段与平行，
故，，
，
即垂直平分，，与点关于对称，
顶点为，
的坐标为，
由平移的性质可得平移后抛物线的表达式为：，
将代入平移后的抛物线得：，
解得：或（，舍去），
∴．
25. 如图，已知矩形中，，，点是边上一动点，过点作，垂足为点，连接，过点作，交边于点（点与点不重合）．

（1）当是的中点时，求证：；
（2）当的长度取不同值时，在中是否存在长度保持不变的边？如果存在，请指出并求其长度，如果不存在，请说明理由；
（3）延长交边于点，连接，与能否相似，若能相似，求出此时的长；若不能相似，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）存在，PF的长度不变，
（3）能相似，
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质和判定，等腰三角形的性质及判定，相似三角形的性质和判定，锐角三角函数的比值关系等知识点，灵活运用角的等量关系建立边的比值关系是解题的关键．
（1）利用斜边的中线是斜边的一半的性质和矩形的性质，通过角的等量代换得到即可；
（2）通过角的等量代换和相似三角形的判定方法证出，即可根据比值关系求解；
（3）连接，过点作，垂足为，通过角的等量代换和边的比值关系判定出四边形是矩形，然后再利用角的等量代换证出，当时（均为钝角）时，可得到，从而得到，再利用勾股定理运算求解即可．
【小问1详解】
解：∵，为的中点，
∴，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：的长度不变，理由如下：
∵，
∴，
∵四边形为矩形，，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
【小问3详解】
连接，过点作，垂足为，如图所示：
∴，，
由题意可得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵四边形为矩形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∴当时（均为钝角），，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．