2024年河南省安阳市中考数学人才选拔测评试卷（一）附解析

这是一份2024年河南省安阳市中考数学人才选拔测评试卷（一）附解析，共25页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）的算术平方根是（ ）
A．B．﹣C．D．±
2．（3分）2024年初春，全国范围内迎来了大降雪，“忽如一夜春风来，千树万树梨花开”，这是唐代诗人岑参描写雪花最新奇的诗句．据悉单片雪花很轻，只有0.00003kg左右，0.00003用科学记数法可以表示为（ ）
A．3×10﹣5B．3×10﹣4C．0.3×10﹣4D．0.3×10﹣5
3．（3分）已知，那么（a+b）2024的值为（ ）
A．1B．﹣1C．32024D．﹣32024
4．（3分）下列运算中，计算正确的是（ ）
A．a3+a3＝a6B．（2a2）3＝6a6
C．a2•a3＝a6D．（2a3）2＝4a6
5．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．0没有平方根
B．两个整数相除，如果永远除不尽，那么结果一定是个无理数
C．无理数可以用分数来表示，例如
D．任意一个无理数的绝对值都是正数
6．（3分）若关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＜1B．a≤1C．a≥1D．a≤1且a≠0
7．（3分）若a，b是方程的两个根，则的值为（ ）
A．﹣16B．16C．﹣20D．20
8．（3分）若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞1B．x≥1C．x＜1D．x≠1
9．（3分）如图，已知P，Q分别是反比例函数与图象上的点，且PQ∥x轴，点P的坐标为，分别过点P，Q作PM⊥x轴于点M，QN⊥x轴于点N．若四边形PMNQ的面积为2，则k2的值为（ ）
A．5B．﹣5C．1D．﹣1
10．（3分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）的图象关于直线x＝﹣1对称，则下列五个结论：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③9a﹣3b+c＜0；④a（m2﹣1）+b（m+1）≤0（m为任意实数）；⑤3a+c＜0．其中正确的是（ ）
A．①②③B．②③⑤C．①②④⑤D．①②③④⑤
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）比较大小： ．
12．（3分）写出一个系数是﹣1，次数是3的单项式 ．
13．（3分）若不等式组无解，则m的取值范围为 ．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，4），B（﹣4，0），C为AB的中点，P为OB上的一个动点，当△ACP的周长最小时，点P的横坐标为 ．
15．（3分）如果关于x的方程＝2无解，则a的值为 ．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16．（10分）计算．
（1）；
（2）[（ab+1）（ab﹣2）﹣2a2b2+2]÷（﹣ab）．
17．（8分）先化简：，再从﹣1≤x≤1中选取一个你喜欢的整数作为x的值代入求值．
18．（9分）阅读与思考：
若m+n＝1，mn＝﹣6，则由完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2可得：m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝12﹣2×（﹣6）＝13．请根据你的理解完成下列计算：
已知，．求代数式的值．
19．（9分）如图，反比例函数的图象与过点（1，0）的直线AB相交于A，B两点．已知点A的坐标为（﹣1，3）．
（1）求直线AB的解析式及反比例函数的解析式；
（2）若点P在x轴上，且S△PAB＝9，求点P的坐标．
20．（9分）“三分天下诸葛亮，一通天下刘伯温”．如图是三国时期诸葛亮躬耕地卧龙岗，为更好地了解历史文化，某学校准备去此地参观学习．甲、乙两家旅行社原价都是每人30元，且都对学生优惠．甲旅行社表示：全部八折收费；乙旅行社表示：若人数不超过30人，全部九折收费；若人数超过30人，则超过部分按五折收费，未超过部分按原价收费．
（1）分别写出甲、乙两家旅行社实际收取的总费用y（元）与参加学习的学生人数x（人）之间的函数关系式；
（2）试讨论选择哪家旅行社较合算．
21．（10分）大学生小丽暑假期间从小商品批发市场批发了一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间的试销，她发现每月的销售量会因售价的调整而不同．若设每月的销售量为y件，售价为x元/件，每月的总利润为ω元．
（1）当售价在40﹣50元/件时，每月的销售量都为60件，则此时每月的总利润最多是多少元？
（2）当售价在50﹣70元/件时，每月的销售量与售价的关系如图所示．小丽决定每卖出一件商品就向福利院捐赠m（m为整数）元，若要保证小丽每月获利仍随x的增大而增大，请你帮她计算m的最小值是多少，并求此时售价为多少元时，她每月获利最大．
22．（10分）操作与探究：已知点P是抛物线y＝﹣x2﹣2x+3上的一个动点．
（1）在如图的平面直角坐标系xOy中画出函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象；
（2）仔细观察图象，结合所学知识解答下列问题：
①当函数值y≥0时，自变量x的取值范围是 ；
②方程的根是 （结果保留一位小数）；
③当x＜m时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 ；
④当﹣2≤x≤n时，函数值3≤y≤4，直接写出n的取值范围 ．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与抛物线y＝﹣x2+x﹣1的形状相同，且与x轴交于点（﹣1，0）和（4，0）．直线y＝kx+2分别与x轴、y轴交于点A，B，交抛物线y＝ax2+bx+c于点C，D（点C在点D的左侧）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线y＝kx+2上方抛物线上的任意一点，当k＝2时，求△PCD面积的最大值；
（3）若抛物线y＝ax2+bx+c与线段AB有公共点，结合函数图象请直接写出k的取值范围．
2024年河南省安阳市中考数学人才选拔测评试卷（一）
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）下面各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的。
1．（3分）的算术平方根是（ ）
A．B．﹣C．D．±
【答案】C
【分析】直接利用算术平方根的定义得出答案．
【解答】解：＝的算术平方根是：．
故选：C．
【点评】此题主要考查了算术平方根，正确把握定义是解题关键．
2．（3分）2024年初春，全国范围内迎来了大降雪，“忽如一夜春风来，千树万树梨花开”，这是唐代诗人岑参描写雪花最新奇的诗句．据悉单片雪花很轻，只有0.00003kg左右，0.00003用科学记数法可以表示为（ ）
A．3×10﹣5B．3×10﹣4C．0.3×10﹣4D．0.3×10﹣5
【答案】A
【分析】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.00003＝3×10﹣5．
故选：A．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
3．（3分）已知，那么（a+b）2024的值为（ ）
A．1B．﹣1C．32024D．﹣32024
【答案】A
【分析】根据绝对值和偶次方的非负数的性质列出方程求出a、b的值，代入所求代数式计算即可．
【解答】解：∵，
∴a+2＝0，b﹣1＝0，
∴a＝﹣2，b＝1，
∴（a+b）2024＝（﹣2+1）2024＝（﹣1）2024＝1，
故选：A．
【点评】本题考查了算术平方根和绝对值的非负性，解题的关键是正确理解几个非负数的和为0时，则这几个非负数都为0．
4．（3分）下列运算中，计算正确的是（ ）
A．a3+a3＝a6B．（2a2）3＝6a6
C．a2•a3＝a6D．（2a3）2＝4a6
【答案】D
【分析】分别根据合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方运算法则，同底数幂的乘法法则逐一判断即可．
【解答】解：A．a3+a3＝2a3，故本选项不合题意；
B．（2a2）3＝8a6，故本选项不合题意；
C．a2•a3＝a5，故本选项不合题意；
D．（2a3）2＝4a6，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．
5．（3分）下列说法正确的是（ ）
A．0没有平方根
B．两个整数相除，如果永远除不尽，那么结果一定是个无理数
C．无理数可以用分数来表示，例如
D．任意一个无理数的绝对值都是正数
【答案】D
【分析】根据平方根，无理数的定义逐项判断即可．
【解答】解：A．0的平方根是0，因此选项A不符合题意；
B．两个整数相除，结果可能是循环小数，而循环小数是有理数，因此选项B不符合题意；
C．无理数不可以用分数来表示，例如不是分数，因此选项C不符合题意；
D．任意一个无理数的绝对值都是正数，因此选项D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查平方根，无理数，熟练掌握相关定义是解题的关键．
6．（3分）若关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A．a＜1B．a≤1C．a≥1D．a≤1且a≠0
【答案】D
【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△≥0，解得即可．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣2x+1＝0有实数根，
∴a≠0，且Δ＝（﹣2）2﹣4a×1≥0，
解得：a≤1且a≠0，
故选：D．
【点评】本题考查了根的判别式，牢记“当△≥0时，方程有实数根”是解题的关键．
7．（3分）若a，b是方程的两个根，则的值为（ ）
A．﹣16B．16C．﹣20D．20
【答案】C
【分析】利用根与系数的关系求出a+b和ab的值，据此可解决问题．
【解答】解：由题知，
因为a，b是方程的两个根，
所以a+b＝，ab＝，
所以＝＝．
故选：C．
【点评】本题考查根与系数的关系，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
8．（3分）若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x＞1B．x≥1C．x＜1D．x≠1
【答案】A
【分析】根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件和零指数幂的定义得出x﹣1≠0且x﹣1＞0，再求出答案即可．
【解答】解：要使分式有意义，必须x﹣1≠0且x﹣1＞0，
解得：x＞1，
所以x的取值范围是x＞1．
故选：A．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件和零指数幂的定义等知识点，能根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件和零指数幂的定义得出x﹣1≠0且x﹣1＞0是解此题的关键．
9．（3分）如图，已知P，Q分别是反比例函数与图象上的点，且PQ∥x轴，点P的坐标为，分别过点P，Q作PM⊥x轴于点M，QN⊥x轴于点N．若四边形PMNQ的面积为2，则k2的值为（ ）
A．5B．﹣5C．1D．﹣1
【答案】D
【分析】根据反比例函数图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．先求出过点P时，与坐标轴围成的矩形的面积；再根据四边形PMNQ的面积，求出过点Q时，k2的值．
【解答】解：∵点P是反比例函数上的点，
∴过点P与坐标轴围成的矩形的面积：|﹣×2|＝3，
∴过点Q与坐标轴围成的矩形的面积：3﹣2＝1，
∵反比例函数在第二象限，
∴k2＝﹣1，
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是运用数形结合的思想来解答．
10．（3分）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）的图象关于直线x＝﹣1对称，则下列五个结论：①abc＞0；②2a﹣b＝0；③9a﹣3b+c＜0；④a（m2﹣1）+b（m+1）≤0（m为任意实数）；⑤3a+c＜0．其中正确的是（ ）
A．①②③B．②③⑤C．①②④⑤D．①②③④⑤
【答案】D
【分析】根据所给函数图象可得出a，b，c的正负，再结合抛物线的对称性及增减性，利用数形结合的思想对所给结论依次进行判断即可．
【解答】解：由函数图象可知，
a＜0，b＜0，c＞0，
所以abc＞0．
故①正确．
因为抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
所以，
即2a﹣b＝0．
故②正确．
因为抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，且x＝1时，函数值小于零，
所以x＝﹣3时，函数值小于零，
则9a﹣3b+c＜0．
故③正确．
因为抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，且开口向下，
所以当x＝m时，am2+bm+c≤a﹣b+c，
即am2﹣a+bm+b≤0，
所以a（m2﹣1）+b（m+1）≤0．
故④正确．
由函数图象可知，
当x＝1时，函数值小于零，
则a+b+c＜0，
又因为b＝2a，
所以3a+c＜0．
故⑤正确．
故选：D．
【点评】本题考查二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质及巧用数形结合的思想是解题的关键．
二、填空题（每小题3分，共15分）
11．（3分）比较大小： ＞ ．
【答案】见试题解答内容
【分析】比较两者平方后的值即可．
【解答】解：∵（）2＝，（）2＝，
∴＞．
故答案为：＞．
【点评】本题考查了实数的大小比较，解答本题的关键是灵活变通，比较两者平方后的结果．
12．（3分）写出一个系数是﹣1，次数是3的单项式 ﹣a3（答案不唯一） ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据单项式系数、次数的定义来求解．单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．依此写出一个系数是﹣1，次数是3的单项式．
【解答】解：系数是﹣1，次数是3的单项式有：﹣a3．（答案不唯一）
故答案为：﹣a3．
【点评】本题考查了单项式的定义，属于开放性试题．注意确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键．
13．（3分）若不等式组无解，则m的取值范围为 m＜2 ．
【答案】m＜2．
【分析】求出第一个不等式的解集，根据口诀：大大小小找不到，结合不等式组的解集可得答案．
【解答】解：由得x≥8，
又x≤4m且不等式组无解，
∴4m＜8，
解得m＜2，
故答案为：m＜2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（0，4），B（﹣4，0），C为AB的中点，P为OB上的一个动点，当△ACP的周长最小时，点P的横坐标为 ．
【答案】．
【分析】取点A'（0，﹣4），连接A'C，A'P，推出△ACP的周长最小时，点P位于A'C与x轴的交点P'处，再求出直线A'C的解析式，令y＝0求出x的值即可解决问题．
【解答】解：取点A'（0，﹣4），连接A'C，A'P，
则BO垂直平分AA'，
∴PA'＝PA，
∵A（0，4），B（﹣4，0），
∴AB＝＝4，
∵C为AB的中点，
∴C（﹣2，2），AC＝AB＝2，
∴△ACP的周长＝AC+PA+PC＝2+PA'+PC≥2+A'C，
∴△ACP的周长最小时，点P为A'C与x轴的交点P'，
设A'C的解析式为：y＝kx+b，过点A'（0，﹣4），C（﹣2，2），
∴，
解得，
∴A'C的解析式为：y＝﹣3x﹣4，
当y＝0时，即0＝﹣3x﹣4，
解得x＝，
∴P'的横坐标为：．
【点评】本题考查轴对称﹣最短路线，解答中涉及勾股定理，待定系数法求函数解析式，函数图象上点的坐标特征，两点之间线段最短，能将两条线段和的最小值用一条线段的长表示是解题的关键．另外本题在确定A'位置后，也可通过相似三角形性质求出OP'的长来解决问题．
15．（3分）如果关于x的方程＝2无解，则a的值为 2或1 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解，或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．
【解答】解：去分母得，ax﹣1＝2（x﹣1）
ax﹣2x＝﹣1，
（a﹣2）x＝﹣1，
当a﹣2＝0时，
∴a＝2，
此时方程无解，满足题意，
当a﹣2≠0时，
∴x＝﹣，
将x＝﹣代入x﹣1＝0，
解得：a＝1，
综上所述，a＝1或a＝2，
故答案为：1或2．
【点评】本题考查分式方程的解法，解题的关键是熟练运用分式方程的解法，本题属于基础题型．
三、解答题（本大题共8小题，共75分）
16．（10分）计算．
（1）；
（2）[（ab+1）（ab﹣2）﹣2a2b2+2]÷（﹣ab）．
【答案】（1）﹣3；
（2）ab+1．
【分析】（1）先化简各式，然后再进行计算即可解答；
（2）先利用多项式乘多项式的法则计算括号里，再算括号外，即可解答．
【解答】解：（1）
＝2+（﹣3）﹣（2﹣）
＝2﹣3﹣2+
＝﹣3；
（2）[（ab+1）（ab﹣2）﹣2a2b2+2]÷（﹣ab）
＝（a2b2﹣2ab+ab﹣2﹣2a2b2+2）÷（﹣ab）
＝（﹣a2b2﹣ab）÷（﹣ab）
＝ab+1．
【点评】本题考查了整式的混合运算，整式的除法，负整数指数幂，实数的运算，多项式乘多项式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
17．（8分）先化简：，再从﹣1≤x≤1中选取一个你喜欢的整数作为x的值代入求值．
【答案】﹣x，1，
【分析】先通分括号内的式子，然后计算除法，再从﹣1≤x≤1中选取一个使得原分式有意义的整数代入化简后的式子计算即可，
【解答】解：
＝•
＝•
＝•
＝﹣x，
∵x＝0或1时，原分式无意义，﹣1≤x≤1，
∴x＝﹣1，
当x＝﹣1时，原式＝1，
【点评】本题考查分式的化简求值、一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解答本题的关键，
18．（9分）阅读与思考：
若m+n＝1，mn＝﹣6，则由完全平方公式（a+b）2＝a2+2ab+b2可得：m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝12﹣2×（﹣6）＝13．请根据你的理解完成下列计算：
已知，．求代数式的值．
【答案】5．
【分析】先根据已知条件，利用完全平方公式，求出答案即可．
【解答】解：∵，，
∴，
，
，
∴代数式的值为5．
【点评】本题主要考查了完全平方公式，解题关键是熟练掌握完全平方公式的运用．
19．（9分）如图，反比例函数的图象与过点（1，0）的直线AB相交于A，B两点．已知点A的坐标为（﹣1，3）．
（1）求直线AB的解析式及反比例函数的解析式；
（2）若点P在x轴上，且S△PAB＝9，求点P的坐标．
【答案】（1）反比例函数为y＝﹣；直线AB为y＝﹣x+；
（2）点P的坐标为（﹣3，0）或（5，0）．
【分析】利用待定系数法求得两函数的解析式，然后解析式联立成方程组，解方程组求得点B的坐标，根据S△ACP+S△BCP＝S△ABP＝9，求得CP的长度，进而即可求得点P的坐标．
【解答】解：（1）把点A（﹣1，3）代入y＝（k＞0）得，3＝，
解得k＝﹣3，
∴反比例函数为y＝﹣；
设直线AB为y＝ax+b，
代入点（1，0），A（﹣1，3）得，
解得，
∴直线AB为y＝﹣x+；
（2）联立方程组，
解得或，
∴A（﹣1，3），B（2，﹣），
设直线AB与x轴相交于点C（1，0），如图，
∵S△ABP＝9，
∴S△ACP+S△BCP＝PC•（3+）＝9，
∴CP＝4，
∴点P的坐标为（﹣3，0）或（5，0）．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了待定系数法求函数的解析式，反比例函数与一次函数的交点的求法，三角形面积，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
20．（9分）“三分天下诸葛亮，一通天下刘伯温”．如图是三国时期诸葛亮躬耕地卧龙岗，为更好地了解历史文化，某学校准备去此地参观学习．甲、乙两家旅行社原价都是每人30元，且都对学生优惠．甲旅行社表示：全部八折收费；乙旅行社表示：若人数不超过30人，全部九折收费；若人数超过30人，则超过部分按五折收费，未超过部分按原价收费．
（1）分别写出甲、乙两家旅行社实际收取的总费用y（元）与参加学习的学生人数x（人）之间的函数关系式；
（2）试讨论选择哪家旅行社较合算．
【答案】（1）：y甲＝24x；y乙＝；
（2）当0＜x＜50时，选择甲旅行社较合算；x＝50时，两家旅行社费用相同；当x＞50时，择乙旅行社较合算．
【分析】（1）y甲＝30×0.8x＝24x；当x≤30时，y乙＝30×0.9x＝27x；当x＞30时，y乙＝30×30+30×0.5（x﹣30）＝15x+450；
（2）①当x≤30时，由24x＜27x，可知选择甲旅行社较合算；②当x＞30时，由24x＝15x+450得：x＝50，故当30＜x＜50时，选择甲旅行社较合算；当x＝50时，两家旅行社费用相同；当x＞50时，择乙旅行社较合算．
【解答】解：（1）根据优惠方案可得：y甲＝30×0.8x＝24x；
当x≤30时，y乙＝30×0.9x＝27x；
当x＞30时，y乙＝30×30+30×0.5（x﹣30）＝15x+450；
∴y乙＝；
（2）①当x≤30时，
∵24x＜27x，
∴选择甲旅行社较合算；
②当x＞30时，
由24x＝15x+450得：x＝50，
∴当30＜x＜50时，选择甲旅行社较合算；
当x＝50时，两家旅行社费用相同；
当x＞50时，择乙旅行社较合算；
综上所述，当0＜x＜50时，选择甲旅行社较合算；x＝50时，两家旅行社费用相同；当x＞50时，择乙旅行社较合算．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式．
21．（10分）大学生小丽暑假期间从小商品批发市场批发了一种新商品，新商品的进价为30元/件，经过一段时间的试销，她发现每月的销售量会因售价的调整而不同．若设每月的销售量为y件，售价为x元/件，每月的总利润为ω元．
（1）当售价在40﹣50元/件时，每月的销售量都为60件，则此时每月的总利润最多是多少元？
（2）当售价在50﹣70元/件时，每月的销售量与售价的关系如图所示．小丽决定每卖出一件商品就向福利院捐赠m（m为整数）元，若要保证小丽每月获利仍随x的增大而增大，请你帮她计算m的最小值是多少，并求此时售价为多少元时，她每月获利最大．
【答案】（1）每月的总利润最多是1200元；
（2）m的最小值是30，此时售价为70元时，她每月获利最大．
【分析】（1）根据总利润＝单件的利润×销售量求解即可；
（2）首先求出当售价在50≤x≤70元时每月销售量与售价的关系式，再根据小丽每月获利仍随x的增大而增大，求出m的取值范围，再根据函数的性质求出最大值．
【解答】解：（1）当售价在40≤x≤50元时，总利润ω＝60（x﹣30）＝60x﹣1800，
∵60＞0，
∴当x＝50时，总利润最多，为60×50﹣1800＝1200（元），
∴每月的总利润最多是1200元；
（2）当售价在50≤x≤70元时，设每月销售量y＝kx+b，
∴，
解得
∴每月销售量y＝﹣2x+160（50≤x≤70），
∴每月的总利润ω＝（x﹣30﹣m）（﹣2x+160）＝﹣2x2+220x﹣4800+2mx﹣160m＝﹣2x2+（220+2m）x﹣4800﹣160m，
∴二次函数的对称轴为直线x＝﹣＝55+，
∵﹣2＜0，且要保证小丽每月获利仍随x的增大而增大，
∴55+≥70，
解得m≥30，
∴m的最小值是30，
此时ω＝﹣2x2+280x﹣9600＝﹣2（x﹣70）2+200，
∴当x＝70时，ω取得最大值，最大值为200元，
∴m的最小值是30，此时售价为70元时，她每月获利最大．
【点评】本题考查了一次函数应用和二次函数的应用，解题关键是理清题意，列出函数关系式．
22．（10分）操作与探究：已知点P是抛物线y＝﹣x2﹣2x+3上的一个动点．
（1）在如图的平面直角坐标系xOy中画出函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象；
（2）仔细观察图象，结合所学知识解答下列问题：
①当函数值y≥0时，自变量x的取值范围是 ﹣3≤x≤1 ；
②方程的根是 （2.4，0）、（﹣0.4，0）（答案不唯一） （结果保留一位小数）；
③当x＜m时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是 m≤4 ；
④当﹣2≤x≤n时，函数值3≤y≤4，直接写出n的取值范围 ﹣1≤n≤0 ．
【答案】（1）描点连线绘制函数图象见解答；
（2）﹣3≤x≤1，（2.4，0）、（﹣0.4，0）（答案不唯一），m≤4，﹣1≤n≤0．
【分析】（1）取点描点连线即可绘制函数图象；
（2）①当函数值y≥0时，观察函数图象即可求解；
②方程的根，可以看成y＝﹣x2﹣2x+1和x轴的交点，即可求解；
③观察函数图象即可求解；
④观察函数图象即可求解．
【解答】解：（1）对于y＝﹣x2﹣2x+3，当x＝0时，y＝3，
令y＝﹣x2﹣2x+3＝0，则x＝﹣3或1，
当x＝0或﹣2时，y＝﹣x2﹣2x+3＝3，
抛物线的顶点坐标为：（﹣1，4），
利用上述5个点：（﹣3，0）、（1，0）、（0，3）、（﹣2，3）、（﹣1，4），描点连线绘制函数图象如下：
（2）①当函数值y≥0时，从图象看，自变量x的取值范围是﹣3≤x≤1；
②方程的根，可以看成y＝﹣x2﹣2x+1和x轴的交点，如下图：
将y＝﹣x2﹣2x+3向下平移两个单位，即为y＝﹣x2﹣2x+1，
该函数的x轴的交点坐标近似为：（2.4，0）、（﹣0.4，0）（答案不唯一）；
③当x＜m时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是m≤4；
④当﹣2≤x≤n时，函数值3≤y≤4，此时x＝n在对称轴和y轴之间，即﹣1≤n≤0；
故答案为：﹣3≤x≤1，（2.4，0）、（﹣0.4，0）（答案不唯一），m≤4，﹣1≤n≤0．
【点评】本题考查了二次函数综合运用，涉及到函数的图象和性质、图象的平移，函数思想是解题的关键．
23．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与抛物线y＝﹣x2+x﹣1的形状相同，且与x轴交于点（﹣1，0）和（4，0）．直线y＝kx+2分别与x轴、y轴交于点A，B，交抛物线y＝ax2+bx+c于点C，D（点C在点D的左侧）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线y＝kx+2上方抛物线上的任意一点，当k＝2时，求△PCD面积的最大值；
（3）若抛物线y＝ax2+bx+c与线段AB有公共点，结合函数图象请直接写出k的取值范围．
【答案】（1）抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4；
（2）△PCD面积的最大值为；
（3）k的取值范围为0＜k＜2或﹣＜k＜0．
【分析】（1）根据题意直接求出二次函数解析式即可；
（2）求出直线与抛物线的交点C，D坐标，过点P作y轴的平行线交CD于点H，交x轴于点G，设点P坐标为（m，﹣m2+3m+4）（﹣1＜m＜2），则点H（m，2m+2），求出PH，由三角形的面积公式求出关于m的函数解析式，再根据函数的性质求最值；
（3）分k＞0和k＜0两种情况讨论即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c与抛物线y＝﹣x2+x﹣1的形状相同，
∴a＝﹣1，
∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点（﹣1，0）和（4，0），
∴抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）（x﹣4）＝﹣x2+3x+4；
（2）当k＝2时，联立方程组，
解得或，
∴C（﹣1，0），D（2，6），
过点P作y轴的平行线交CD于点H，交x轴于点G，如图，
设点P坐标为（m，﹣m2+3m+4）（﹣1＜m＜2），
∴点H（m，2m+2），
∴PH＝﹣m2+3m+4﹣（2m+2）＝﹣m2+m+2，
∴S△PCD＝PH×3＝（﹣m2+m+2）＝﹣（m﹣）2+，
∵﹣＜0，﹣1＜m＜2，
∴当m＝时，S有最大值，最大值为．
∴△PCD面积的最大值为；
（3）令x＝0，则y＝2，
∴点B坐标为（0，2），
令y＝0，则kx+2＝0，
解得x＝﹣，
∴点A坐标为（﹣，0），
若抛物线y＝ax2+bx+c与线段AB有公共点，
当k＞0时，如图所示，
则﹣＜﹣1，
解得0＜k＜2；
当k＜0时，如图所示：
则﹣＞4，
解得﹣＜k＜0；
综上所述，k的取值范围为0＜k＜2或﹣＜k＜0．
【点评】本题考查抛物线与x轴的交点，待定系数法求函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值等知识，关键是对这些知识的掌握和运用．