2024年湖北省恩施州恩施市熊家岩初级中学中考数学一模试卷附解析

这是一份2024年湖北省恩施州恩施市熊家岩初级中学中考数学一模试卷附解析，共28页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）某个地区，一天早晨的温度是﹣7℃，中午上升了12℃，则中午的温度是（ ）
A．﹣5℃B．﹣18℃C．5℃D．18℃
2．（3分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．吉B．祥C．如D．意
3．（3分）把不等式4x﹣2＜10的解集在数轴上表示出来，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（3分）马虎同学在下面的计算中只做对了一道题．他做对的题目是（ ）
A．a3+a3＝a6B．（a3）3•a6＝a12
C．2a6÷a3＝2a2D．2a3•3a5＝6a8
5．（3分）下列调查适合做普查的是（ ）
A．调查全国中小学生课外阅读情况
B．了解一批灯泡的平均使用寿命
C．了解全市中小学生每天的零花钱
D．奥运会上对参赛运动员进行的尿样检查
6．（3分）若一个多边形每一个内角都为144°，则这个多边形是（ ）边形．
A．6B．8C．10D．12
7．（3分）如图，矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1：1.2，点B的坐标为（﹣3，2），则点E的坐标是（ ）
A．（3.6，2.4）B．（﹣3，2.4）
C．（﹣3.6，2）D．（﹣3.6，2.4）
8．（3分）小明近期几次数学测试的成绩如下：第一次85分，第二次比第一次高8分，第三次比第二次低12分，第四次又比第三次高10分，则小明第四次测试的成绩是（ ）
A．85分B．93分C．81分D．91分
9．（3分）如图，已知AC﹣BC＝3，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，△BCE的周长是15，则AC的长为（ ）
A．6B．7C．8D．9
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出下列结论：①abc＜0；②2a+b＝0；③a﹣b+c＜0；④4ac﹣b2＜0．其中正确的结论是（ ）
A．②④B．③④C．①③④D．②
二、填空题（共15分）
11．（3分）若分式的值为0，则x的值为 ．
12．（3分）在数﹣1，0，1，2中任取两个数作为点的坐标，那么该点刚好在一次函数y＝x+1图象上的概率是 ．
13．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AB的中点．已知BC＝10，则OE＝ ．
14．（3分）一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根，点A（x1，y1）、B（x2，y2）是反比例函数y＝上的两个点，若0＜x1＜x2，则y1 y2（填“＜”或“＞”或“＝”）．
15．（3分）已知函数y＝，点P（a，ka）在该函数的图象上，若这样的点P恰好有三个，则k的值为 ．
三、解答题（共75分）
16．（6分）计算：
（1）﹣2+6﹣|﹣4|；
（2）﹣14﹣8÷[2﹣（﹣2）2]．
17．（6分）如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB．
18．（7分）某校七年级共有500名学生，在“世界读书日”前夕，开展了“阅读助我成长”的读书活动．为了解该年级学生在此次活动中课外阅读情况，随机抽取m名学生，调查他们课外阅读书籍的数量，将收集的数据整理成如下统计表和扇形图．
学生读书数量统计表
（1）直接写出m、a、b的值；
（2）估计该年级全体学生在这次活动中课外阅读书籍的总量大约是多少本？
19．（8分）如图，在一个18米高的楼顶上有一信号塔DC，李明同学为了测量信号塔的高度，在地面的A处测的信号塔下端D的仰角为30°，然后他正对塔的方向前进了18米到达地面的B处，又测得信号塔顶端C的仰角为60°，CD⊥AB于点E，E、B、A在一条直线上．请你帮李明同学计算出信号塔CD的高度（结果保留整数，≈1.7，≈1.4）
20．（8分）如图1，一次函数y＝kx+b的图象交x轴、y轴分别于B、A两点，反比例函数y＝的图象过线段AB的中点C（﹣2，）．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）如图2，在反比例函数上存在异于C点的一动点M，过点M作MN⊥x轴于N，在y轴上存在点P，使得S△ACP＝2S△MNO，请你求出点P的坐标．
21．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC，AC与⊙O交于点F，D，BE为⊙O直径，点E在AB上，连接BD，DE，∠ADE＝∠DBE．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若sinA＝，⊙O的半径为3，求BC的长．
22．（10分）“阳光玫瑰葡萄”品种是近几年来广受各地消费者青睐的优质新品种，在云南省广泛种植．长沙市某品牌水果经销商计划在2023年五一期间进行商业促销活动，经过调查往年的统计数据发现，云南省批发“阳光玫瑰葡萄”的最低价格为每斤15元若按每斤30元的价格到市区销售，平均每天可售出60斤若每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价每降低1元，那么平均每天的销售量会增加10斤，为了尽快减少库存，该水果商决定降价销售．
（1）若降价2元，则每天的销售利润是多少元
（2）若该经销商计划销售“阳光玫瑰葡萄”每天盈利1100元，那么每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价应降至每斤多少元？（其它成本忽略不计）
（3）将商品的销售单价定为多少元时，商场每天销售该商品获得的利润w最大？最大利润是多少元？
23．（10分）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点 D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接BE，点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点．
（1）观察猜想：
图1中，线段MN与NP的数量关系是 ，∠MNP的大小是 ；
（2）探究证明：
把△ADE绕点A顺时针方向旋转到图2的位置，连接MP、BD、CE，判断△MNP的形状，试说明理由；
（3）拓展延伸：
把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝1，AB＝3，请直接写出△MNP面积的最大值．
24．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣4，0），B（1，0），交y轴于C点，且OC＝2OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线BC上找点D，使△ABD为以AB为腰的等腰三角形，求D点的坐标．
（3）在抛物线上是否存在异于B的点P，过P点作PQ⊥AC于Q，使△APQ与△ABC相似？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
2024年湖北省恩施州恩施市熊家岩初级中学中考数学一模试卷（1）
参考答案与试题解析
一、单选题（共30分）
1．（3分）某个地区，一天早晨的温度是﹣7℃，中午上升了12℃，则中午的温度是（ ）
A．﹣5℃B．﹣18℃C．5℃D．18℃
【答案】C
【分析】一天早晨的温度是﹣7℃，中午上升了12℃，则中午的温度是：﹣7+12，即可求解．
【解答】解：﹣7+12＝5℃．
故选：C．
【点评】本题考查了有理数的加法计算，关键是理解正负数的意义，正确列出代数式．
2．（3分）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）
A．吉B．祥C．如D．意
【答案】A
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，据此判断即可．
【解答】解：B、C、D的汉字均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
A选项的汉字中能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形．
故选：A．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．（3分）把不等式4x﹣2＜10的解集在数轴上表示出来，正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先求出不等式的解集，再根据不等式的解集在数轴上表示方法画出图示即可．
【解答】解：将不等式移项得：4x＜12，
合并同类项得：x＜3，
将不等式的解集表示在数轴上如下：
故选：D．
【点评】本题考查了解一元一次不等式和在数轴上表示不等式的解集．不等式的解集在数轴上表示的方法：“＞”空心圆点向右画折线，“≥”实心圆点向右画折线，“＜”空心圆点向左画折线，“≤”实心圆点向左画折线．在数轴上正确表示出不等式的解集是解题的关键．
4．（3分）马虎同学在下面的计算中只做对了一道题．他做对的题目是（ ）
A．a3+a3＝a6B．（a3）3•a6＝a12
C．2a6÷a3＝2a2D．2a3•3a5＝6a8
【答案】D
【分析】由合并同类项法则，幂的乘方，同底数的幂的乘除法则逐项判断．
【解答】解：a3+a3＝2a3，故A错误，不符合题意；
（a3）3•a6＝a15，故B错误，不符合题意；
2a6÷a3＝2a3，故C错误，不符合题意；
2a3•3a5＝6a8，故D正确，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查整式的混合运算，解题的关键是掌握整式相关运算的法则．
5．（3分）下列调查适合做普查的是（ ）
A．调查全国中小学生课外阅读情况
B．了解一批灯泡的平均使用寿命
C．了解全市中小学生每天的零花钱
D．奥运会上对参赛运动员进行的尿样检查
【答案】D
【分析】全面调查是对需要调查的对象逐个调查，这种调查能够收集全面、广泛、可靠的资料，但调查费用较高，时间延续较长，适合于较小的调查范围，抽样调查适合于较广的调查范围，据此可得到结．
【解答】解：A．调查全国中小学生课外阅读情况，样本容量较大，适合做抽样调查，该选项不符合题意；
B．了解一批灯泡的平均使用寿命，调查具有破坏性，适合做抽样调查，该选项不符合题意；
C．了解全市中小学生每天的零花钱，样本容量较大，适合做抽样调查，该选项不符合题意；
D．奥运会上对参赛运动员进行的尿样检查，要求调查结果准确，适合做普查，该选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
6．（3分）若一个多边形每一个内角都为144°，则这个多边形是（ ）边形．
A．6B．8C．10D．12
【答案】C
【分析】根据多边形的内角与外角的关系可求解外角的度数，再利用多边形的外角和可求解．
【解答】解：∵一个多边形每一个内角都为144°，
∴外角为180°﹣144°＝36°，
∴多边形的边数为360°÷36°＝10，
故选：C．
【点评】本题主要考查多边形的内角和外角，求解多边形的外角的度数是解题的关键．
7．（3分）如图，矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1：1.2，点B的坐标为（﹣3，2），则点E的坐标是（ ）
A．（3.6，2.4）B．（﹣3，2.4）
C．（﹣3.6，2）D．（﹣3.6，2.4）
【答案】D
【分析】直接利用在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k，得出即可．
【解答】解：∵矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1：1.2，点B的坐标为（﹣3，2），
∴点E的坐标是：（﹣3.6，2.4）．
故选：D．
【点评】此题考查了位似变换的性质．此题比较简单，注意理解位似变换与相似比的定义是解此题的关键．
8．（3分）小明近期几次数学测试的成绩如下：第一次85分，第二次比第一次高8分，第三次比第二次低12分，第四次又比第三次高10分，则小明第四次测试的成绩是（ ）
A．85分B．93分C．81分D．91分
【答案】D
【分析】根据题意列出算式，即可得出答案．
【解答】解：85+8﹣12+10＝91（分），
即小明第四次测验的成绩是91分，
故选：D．
【点评】本题考查了有理数的加减的应用，能根据题意列出算式是解此题的关键．
9．（3分）如图，已知AC﹣BC＝3，AB的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E，△BCE的周长是15，则AC的长为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】D
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EA＝EB，根据三角形的周长公式、结合题意列出方程组，解方程组即可．
【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
∵△BCE的周长是15，
∴EC+EB+BC＝EC+EA+BC＝AC+BC＝15，
则，
解得，AC＝9，BC＝6，
故选：D．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
10．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出下列结论：①abc＜0；②2a+b＝0；③a﹣b+c＜0；④4ac﹣b2＜0．其中正确的结论是（ ）
A．②④B．③④C．①③④D．②
【答案】A
【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案．
【解答】解：①∵抛物线开口向上，交y的负半轴，
∴a＞0，c＜0，
∵﹣＞0，
∴b＜0，
∴abc＞0，故①错误；
②由对称轴可知：﹣＝1，
∴2a+b＝0，故②正确；
③点（3，y）关于直线x＝1的对称点为（﹣1，y），
由于x＝3时，y＞0，
∴x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，故③错误；
④由抛物线与x轴有两个交点可知：b2﹣4ac＞0，
∴4ac﹣b2＜0，
故④正确；
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型．
二、填空题（共15分）
11．（3分）若分式的值为0，则x的值为 ﹣3 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子＝0；（2）分母≠0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
【解答】解：因为分式的值为0，所以＝0，
化简得x2﹣9＝0，即x2＝9．
解得x＝±3
因为x﹣3≠0，即x≠3
所以x＝﹣3．
故答案为﹣3．
【点评】本题主要考查分式的值为0的条件，注意分母不为0．
12．（3分）在数﹣1，0，1，2中任取两个数作为点的坐标，那么该点刚好在一次函数y＝x+1图象上的概率是 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，然后根据一次函数图象上点的坐标特征，找出点刚好在一次函数y＝x+1图象上的结果数，再利用概率公式计算．
【解答】解：画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中点刚好在一次函数y＝x+1图象上的结果数为3，
所以该点刚好在一次函数y＝x+1图象上的概率＝＝；
故答案为：．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．也考查了一次函数图象上点的坐标特征．
13．（3分）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E是边AB的中点．已知BC＝10，则OE＝ 5 ．
【答案】5．
【分析】由平行四边形的性质可得，点O是线段AC的中点，可得OE是△ABC的中位线，由中位线定理可得OE的长．
【解答】解：在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，
∴点O是AC的中点，
∵点E是边AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE＝BC＝5．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查平行四边形的性质及三角形中位线的定义及性质，得出线段OE是△ABC的中位线是本题解题关键．
14．（3分）一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根，点A（x1，y1）、B（x2，y2）是反比例函数y＝上的两个点，若0＜x1＜x2，则y1 ＞ y2（填“＜”或“＞”或“＝”）．
【答案】＞．
【分析】根据一元二次方程根的判别式可得m的值，再根据反比例函数的增减性即可进行比较．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根，
∴Δ＝9﹣4m＝0，
解得m＝，
∴反比例函数的图象在第一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小，
∵0＜x1＜x2，
∴y1＞y2．
故答案为：＞．
【点评】本题考查一元二次方程根的判别式、反比例函数图象上点的坐标特点，熟练掌握反比例函数的性质是解答的关键．
15．（3分）已知函数y＝，点P（a，ka）在该函数的图象上，若这样的点P恰好有三个，则k的值为 1或4﹣10 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据分段函数的表达式，结合二次函数的图象和性质，利用数形结合即可得到结论．
【解答】解：作出函数y＝，的图象如图，
由图象可知①当x＝3，y＝3时，可得：k＝1
②当x＝5，y＝﹣1时，可得：
x2﹣10x+24﹣kx＝0，
△＝（10+k）2﹣96＝0时，
解得：k＝4，
故答案为：1或4﹣10．
【点评】本题考查了二次函数的性质，关键是根据分段函数的表达式，结合二次函数的图象和性质解答．
三、解答题（共75分）
16．（6分）计算：
（1）﹣2+6﹣|﹣4|；
（2）﹣14﹣8÷[2﹣（﹣2）2]．
【答案】（1）0；
（2）3．
【分析】（1）先算绝对值，再算加减法；
（2）先算乘方，再算除法，最后算减法；如果有括号，要先做括号内的运算．
【解答】解：（1）﹣2+6﹣|﹣4|
＝﹣2+6﹣4
＝0；
（2）﹣14﹣8÷[2﹣（﹣2）2]
＝﹣1﹣8÷（2﹣4）
＝﹣1﹣8÷（﹣2）
＝﹣1+4
＝3．
【点评】本题考查了有理数的混合运算，有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．进行有理数的混合运算时，注意各个运算律的运用，使运算过程得到简化．
17．（6分）如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE，连接AF，BF．
（1）求证：四边形BFDE是矩形；
（2）若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据平行四边形的性质，可得AB与CD的关系，根据平行四边形的判定，可得BFDE是平行四边形，再根据矩形的判定，可得答案；
（2）根据平行线的性质，可得∠DFA＝∠FAB，根据等腰三角形的判定与性质，可得∠DAF＝∠DFA，根据角平分线的判定，可得答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD．
∵BE∥DF，BE＝DF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
∵DE⊥AB，
∴∠DEB＝90°，
∴四边形BFDE是矩形；
（2）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥DC，
∴∠DFA＝∠FAB．
在Rt△BCF中，由勾股定理，得
BC＝＝5，
∴AD＝BC＝DF＝5，
∴∠DAF＝∠DFA，
∴∠DAF＝∠FAB，
即AF平分∠DAB．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，利用了平行四边形的性质，矩形的判定，等腰三角形的判定与性质，利用等腰三角形的判定与性质得出∠DAF＝∠DFA是解题关键．
18．（7分）某校七年级共有500名学生，在“世界读书日”前夕，开展了“阅读助我成长”的读书活动．为了解该年级学生在此次活动中课外阅读情况，随机抽取m名学生，调查他们课外阅读书籍的数量，将收集的数据整理成如下统计表和扇形图．
学生读书数量统计表
（1）直接写出m、a、b的值；
（2）估计该年级全体学生在这次活动中课外阅读书籍的总量大约是多少本？
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）根据题意和统计图中的数据可以求得m、a、b的值；
（2）根据统计图中的数据可以求得该年级全体学生在这次活动中课外阅读书籍的总量大约是多少本．
【解答】解：（1）由题意可得，
m＝15÷30%＝50，b＝50×40%＝20，a＝50﹣15﹣20﹣5＝10，
即m的值是50，a的值是10，b的值是20；
（2）（1×15+2×10+3×20+4×5）×＝1150（本），
答：该年级全体学生在这次活动中课外阅读书籍的总量大约是1150本．
【点评】本题考查扇形统计图、用样本估计总体、统计表，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
19．（8分）如图，在一个18米高的楼顶上有一信号塔DC，李明同学为了测量信号塔的高度，在地面的A处测的信号塔下端D的仰角为30°，然后他正对塔的方向前进了18米到达地面的B处，又测得信号塔顶端C的仰角为60°，CD⊥AB于点E，E、B、A在一条直线上．请你帮李明同学计算出信号塔CD的高度（结果保留整数，≈1.7，≈1.4）
【答案】见试题解答内容
【分析】利用30°的正切值即可求得AE长，进而可求得CE长．CE减去DE长即为信号塔CD的高度．
【解答】解：根据题意得：AB＝18米，DE＝18米，∠A＝30°，∠EBC＝60°，
在Rt△ADE中，AE＝＝＝18（米）
∴BE＝AE﹣AB＝（18﹣18）（米），
在Rt△BCE中，CE＝BE•tan60°＝（18﹣18）＝（54﹣18）（米），
∴CD＝CE﹣DE＝54﹣18﹣18≈5米．
【点评】本题考查了解直角三角形﹣仰角俯角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形；难点是充分找到并运用题中相等的线段．
20．（8分）如图1，一次函数y＝kx+b的图象交x轴、y轴分别于B、A两点，反比例函数y＝的图象过线段AB的中点C（﹣2，）．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）如图2，在反比例函数上存在异于C点的一动点M，过点M作MN⊥x轴于N，在y轴上存在点P，使得S△ACP＝2S△MNO，请你求出点P的坐标．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）可先根据待定系数法求得反比例函数解析式，然后根据平行线分线段成比例定理求得OA的值，得出A的坐标，把A，C两点分别代入y＝kx+b根据待定系数法即可求得．
（2）设P（0，y），则AP＝|y﹣3|．根据反比例函数系数k的几何意义和已知条件求得S△ACP＝3，然后根据三角形面积公式得到关于y的方程，解方程即可求得y的值．
【解答】解：（1）如图1，∵反比例函数y＝的图象过点C（﹣2，），
∴k＝（﹣2）×＝﹣3，
∴反比例函数解析式为y＝﹣；
过点C作CD⊥OB，则CD＝．
∵CD∥AO，
∴＝，
即＝，解得：OA＝3，
∴A（0，3）．
∵一次函数y＝kx+b的图象过点C（﹣2，），A（0，3），
∴，解得：．
∴一次函数的表达式为y＝x+3．
（2）如图2，设P（0，y），AP＝|y﹣3|．
∵S△MNO＝|k|＝×3＝，
∴S△ACP＝2S△MNO＝2×＝3，
∴×AP×|xc|＝3，即：×|y﹣3|×2＝3；
解得：y＝6或y＝0．
∴P（0，6）或P（0，0）．
【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，平行线分线段成比例定理，三角形的面积等，求得A的坐标是解题的关键．
21．（8分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC，AC与⊙O交于点F，D，BE为⊙O直径，点E在AB上，连接BD，DE，∠ADE＝∠DBE．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若sinA＝，⊙O的半径为3，求BC的长．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质得到∠DBE＝∠ODB，求得∠ODB＝∠ADE．根据圆周角定理得到∠BDE＝90°，即∠ODB+∠ODE＝90°，求得OD⊥AC．根据切线的判定定理即可得到结论；
（2）解直角三角形即可得到结论．
【解答】（1）证明：连接OD，
∵OB＝OD，
∴∠DBE＝∠ODB，
∵∠ADE＝∠DBE，
∴∠ODB＝∠ADE．
∵BE为⊙O直径，
∴∠BDE＝90°，
即∠ODB+∠ODE＝90°，
∴∠ADE+∠ODE＝90°．
∴OD⊥AC．
∵OD是⊙O的半径，
∴直线AC是⊙O的切线；
（2）解：∵⊙O的半径为3，
∴OB＝OD＝3，
∵，∠ODA＝90°，
∴，
∴OA＝5，
∴AB＝8，
∵∠C＝90°，
∴．
∴BC＝．
【点评】本题考查了切线的性质和判定，解直角三角形，也考查了圆周角定理．
22．（10分）“阳光玫瑰葡萄”品种是近几年来广受各地消费者青睐的优质新品种，在云南省广泛种植．长沙市某品牌水果经销商计划在2023年五一期间进行商业促销活动，经过调查往年的统计数据发现，云南省批发“阳光玫瑰葡萄”的最低价格为每斤15元若按每斤30元的价格到市区销售，平均每天可售出60斤若每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价每降低1元，那么平均每天的销售量会增加10斤，为了尽快减少库存，该水果商决定降价销售．
（1）若降价2元，则每天的销售利润是多少元
（2）若该经销商计划销售“阳光玫瑰葡萄”每天盈利1100元，那么每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价应降至每斤多少元？（其它成本忽略不计）
（3）将商品的销售单价定为多少元时，商场每天销售该商品获得的利润w最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）若降价2元，则每天的销售利润是1040元；
（2）每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价应降至每斤25元；
（3）将商品的销售单价定为25.5元时，商场每天销售该商品获得的利润w最大，最大利润是1102.5元．
【分析】（1）根据题意，每降低1元，那么平均每天的销售量会增加10斤，若每斤的价格降低2元，则可增加20斤，再根据每斤利润×销量可得解；
（2）根据每天盈利1100元列方程，解出x的值即可求解；
（3）设每天盈利y元，根据题意建立二次函数，根据二次函数的图象及性质即可求得．
【解答】解：（1）根据题意，降价2元则销售量为60+2×10＝80（斤），
销售利润为：（30﹣15﹣2）×80＝1040（元），
答：若降价2元，则每天的销售利润是1040元；
（2）设每斤“阳光玫瑰葡萄”应降价x元，
根据题意得：（30﹣15﹣x）（60+10x）＝1100，
整理得：x2﹣9x+20＝0，
解得x1＝4，x2＝5，
∵为了尽快减少库存，
∴x＝5，
此时30﹣x＝25，
答：每斤“阳光玫瑰葡萄”的售价应降至每斤25元；
（3）设水果商每天获得的利润为y元，
根据题意得：w＝（30﹣x﹣15）（60+10x）＝﹣10x2+90x+900＝﹣10（x﹣）2+1102.5，
∵﹣10＜0，
∴当x＝时，y有最大值，最大值为1102.5，
此时30﹣x＝30﹣4.5＝25.5，
答：将商品的销售单价定为25.5元时，商场每天销售该商品获得的利润w最大，最大利润是1102.5元．
【点评】本题考查了二次函数的实际应用问题，根据等量关系列方程及二次函数，利用二次函数的图象及性质求解是解题的关键．
23．（10分）如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点 D、E分别在边AB、AC上，AD＝AE，连接BE，点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点．
（1）观察猜想：
图1中，线段MN与NP的数量关系是 MN＝NP ，∠MNP的大小是 90° ；
（2）探究证明：
把△ADE绕点A顺时针方向旋转到图2的位置，连接MP、BD、CE，判断△MNP的形状，试说明理由；
（3）拓展延伸：
把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝1，AB＝3，请直接写出△MNP面积的最大值．
【答案】（1）MN＝NP，90°；
（2）△MNP是等腰直角三角形，理由见解析过程；
（3）2．
【分析】（1）根据AB＝AC，AD＝AE，得BD＝CE，再根据三角形中位线定理可知MN＝BD，PN＝CE，MN∥AB，PN∥AC，利用平行线的性质可证得∠MNP＝90°；
（2）先通过SAS证明△ABD≌△ACE，得BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，再由（1）同理可证；
（3）由三角形三边关系可知：BD≤8，由（2）知：△MNP是等边三角形，MN＝BD，则MN最大值为4，即可求得△MNP的最大面积．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BD＝CE，
∵点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点，
∴MN＝BD，PN＝CE，MN∥AB，PN∥AC，
∴MN＝PN，∠ENM＝∠EBA，∠ENP＝∠AEB，
∴∠MNE+∠ENP＝∠ABE+∠AEB，
∵∠ABE+∠AEB＝180°﹣∠BAE＝90°，
∴∠MNP＝90°，
故答案为：MN＝NP，90°．
（2）△MNP是等腰直角三角形，理由如下：
由旋转得：∠BAD＝∠CAE，
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵点M、N、P分别为DE、BE、BC的中点，
∴MN＝BD，PN＝CE，MN∥BD，PN∥CE，
∴MN＝PN，∠ENM＝∠EBD，∠BPN＝∠BCE，
∴∠ENP＝∠NBP+∠NPB＝∠NBP+∠ECB，
∵∠EBD＝∠ABD+∠ABE＝∠ACE+∠ABE，
∴∠MNP＝∠MNE+∠ENP＝∠ACE+∠ABE+∠EBC+∠EBC﹣∠ECB＝180°﹣∠BAC＝90°，
∴△MNP是等腰直角三角形；
（3）由三角形三边关系可知：BD≤AB+AD，
即BD≤4，
∴BD的最大值为4，
由（2）知：△MNP是等腰直角三角形，MN＝BD，
∴MN＝2时，S△MNP最大，
S△MNP最大为：×2×2＝2．
【点评】本题是三角形综合题，主要了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，等边三角形的判定，等腰直角三角形的判定等知识，利用平行线的性质证明∠MNP＝60°是解题的关键．
24．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣4，0），B（1，0），交y轴于C点，且OC＝2OB．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线BC上找点D，使△ABD为以AB为腰的等腰三角形，求D点的坐标．
（3）在抛物线上是否存在异于B的点P，过P点作PQ⊥AC于Q，使△APQ与△ABC相似？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）先确定C（0，﹣2），设交点式y＝a（x+4）（x﹣1），然后把C点坐标代入求出a即可得到抛物线的解析式；
（2）先利用待定系数法确定直线BC的解析式为y＝2x﹣2，设D（m，2m﹣2），讨论：当BD＝BA时，利用两点间的距离公式得到（m﹣1）2+（2m﹣2）2＝52，当AD＝AB时，利用两点的距离公式得到（m+4）2+（2m﹣2）2＝52，然后分别解方程求出m即可得到满足条件的D点坐标；
（3）先利用勾股定理的逆定理证明△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，由于△ACO∽△ABC，△APQ与△ABC相似，则只有∠CAP＝∠OAC，设直线AP交y轴于E，作CF⊥AE于P，则CF＝CO＝2，证明△ECF∽△EAO，利用相似比得到＝＝，在Rt△AOE中利用勾股定理可计算出CE＝，则E（0，﹣），再利用待定系数法确定直线AE的解析式为y＝﹣x﹣，然后解方程组可得到P点坐标．过A点与直线AE垂直的直线交抛物线于P′，作P′Q′⊥AC于Q′，则△AP′Q′∽△BAC，易得直线AP′的解析式为y＝x+3，解方程组P点坐标．
【解答】解：（1）∵B（1，0），OC＝2OB，
∴C（0，﹣2），
设抛物线解析式为y＝a（x+4）（x﹣1），
把C（0，﹣2）代入得a•4•（﹣1）＝﹣2，解得a＝，
∴抛物线的解析式为y＝（x+4）（x﹣1），即y＝x2+x﹣2；
（2）AB＝1﹣（﹣4）＝5，
设直线BC的解析式为：y＝kx+b，
把B（1，0），C（0，﹣2）代入得，解得，
∴直线BC的解析式为y＝2x﹣2，
设D（m，2m﹣2），
∵△ABD为以AB为腰的等腰三角形，
∴BD＝BA＝5或AD＝AB＝5，
当BD＝BA时，即（m﹣1）2+（2m﹣2）2＝52，解得m1＝1+，m2＝1﹣，此时D点坐标为（1+，2），（1﹣，﹣2），
当AD＝AB时，即（m+4）2+（2m﹣2）2＝52，解得m1＝1（舍去），m2＝﹣1，此时D点坐标为（﹣1，﹣4），
综上所述，满足条件的D点坐标为（1+，2），（1﹣，﹣2），（﹣1，﹣4）；
（3）AB2＝25，BC2＝12+22＝5，AC2＝42+22＝20，
∵AB2＝BC2+AC2，
∴△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，
∵∠BAC＝∠CAO，
∴△ACO∽△ABC，
∵△APQ与△ABC相似，
∴∠CAP＝∠OAC，
∴AC平分∠BAP，
设直线AP交y轴于E，作CF⊥AE于P，则CF＝CO＝2，
∵∠CEF＝∠AEO，
∴△ECF∽△EAO，
∴＝＝＝，
在Rt△AOE中，∵OE2+OA2＝AE2，
∴（2+CE）2+42＝（2CE）2，解得CE＝﹣2（舍去）或CE＝，
∴E（0，﹣），
设直线AE的解析式为y＝mx+n，
把A（﹣4，0），E（0，﹣）得，解得，
∴直线AE的解析式为y＝﹣x﹣，
解方程组，解得或，
∴P（﹣，﹣）．
过A点与直线AE垂直的直线交抛物线于P′，作P′Q′⊥AC于Q′，
则∠P′AQ′＝∠ABC，
∴△AP′Q′∽△BAC，
易得直线AP′的解析式为y＝x+3，
解方程组得或，
∴P（，）．
综上所述，P点坐标为（﹣，﹣）或（，）．
【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的性质；会利用待定系数法求函数解析式；能运用两点间的距离公式和相似比计算线段的长；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
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