中考冲刺专题之几何、函数与实际应用综合题

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例1(2023深圳中考21题)蔬菜大棚是一种具有出色的保温性能的框架覆膜结构，它出现使得人们可以吃到反季节蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹结构或者钢结构的骨架，上面覆上一层或多层保温塑料膜，这样就形成了一个温室空间．
如图1，某个温室大棚的横截面可以看作矩形ABCD和抛物线AED构成，其中AB＝3m，BC＝4m，取BC中点O，过点O作线段BC的垂直平分线OE交抛物线AED于点E，若以O点为原点，BC所在直线为x轴，OE为y轴建立如图所示平面直角坐标系．
请回答下列问题：
（1）如图2，抛物线AED的顶点E（0，4），求抛物线的解析式；
（2）如图3，为了保证蔬菜大棚的通风性，该大棚要安装两个正方形孔的排气装置LFGT，SMNR，若FL＝NR＝0.75m，求两个正方形装置的间距GM的长；
（3）如图4，在某一时刻，太阳光线透过A点恰好照射到C点，此时大棚截面的阴影为CK，求CK的长．
解：（1）∵AB＝3m，AD＝BC＝4m，E（0，4），∴A（﹣2，3），B（﹣2，0），C（2，0），D（2，3），设抛物线表达式为y＝ax2+bx+c，将A、D、E三点坐标代入表达式，
得4a−2b+c=34a+2b+c=3c=4，解得a=−14b=0c=4．
∴抛物线表达式为y=−14x2+4．
（2）设G（﹣t，3），则L（﹣t−34，3+34），
∴3+34=−14(−t−34)2+4，解得t=14（负值舍去），
∴GM＝2t=12．
（3）取最右侧光线与抛物线切点为F，如图4，
设直线AC的解析式为y＝kx+b，
∴−2k+b=32k+b=0，解得k=−34b=32，
∴直线AC的解析式为y=−34x+32，
∵FK∥AC，设lFK：y=−34x+m，∴y=−34x+my=−14x2+4，得−14x2+34x+4−m=0，∴Δ=(34)2−4×(−14)(4−m)=0，解得m=7316，∴直线FK的解析式为y=−34x+7316，令y＝0，得x=7312，
∴BK=7312+2=9712．∴CK＝BK﹣BC=9712−4=4912
例2(2024南山育才中考模拟)【项目式学习】
项目主题：设计浇地窗的遮阳篷
项目背景：小明家的窗户朝南，窗户的高度AB=2m，为了遮挡太阳光，小明做了遮阳篷的设计方案，请根据不同的设计方案完成以下任务.
方案1：直角形遮阳篷
如图1：小明设计的第一个方案为直角遮阳篷BCD，点C在AB的延长线上CD⊥AC.
(1)若BC=0.5m，CD=1m，则支撑杆BD=________m.
(2)小明发现上述方案不能很好发挥遮阳作用，如图2，他观察到此地一年中的正午时刻，太阳光与地平面的最小夹角为α，最大夹角为β，小明查阅资料，计算出tanα=,tanβ=,为了让遮阳篷既能最大限度的使冬天温暖的阳光射入室内(太阳光与BD平行)，又能最大限度的遮挡夏天火热的阳光(太阳光与AD平行)，请求出图2中的BC、CD的长度.
方案2：抛物线形遮阳篷
(3)如图3，为了美观及实用性，小明在(2)的基础上将CD边改为抛物线形可伸缩的遮阳篷(F为抛物线的顶点，DF段可伸缩)，且∠CFD=90°，BC、CD的长保持不变，若以C为原点，CD方向为x轴，BC方向为y轴,①求该二次函数的表达式；②若某时刻太阳光与水平地面夹角的正切值tan=，使阳光最大限度的射入室内，求遮阳篷点D上长升的高度的最小值(即点D'到CD的距离)
解：(1)由勾股定理直接计算BD=
如图所示，设EF=m，则AE=3m,DE=4m，故2+m=4m得m=，故BC=，CD=2m；
①易知点F(1,1)设二次函数解析式为，将(0,0)代入得a=-1,故二次函数的解析式为
②如图，设光线恰好经过点B，与x轴交于点I，与抛物线交于点D,则易知BI的解析式为，与抛物线联立得x1=,x2=(舍去)，此时y=，故上升的最小高度为
全真模拟练习
1.根据以下素材，探索完成任务
如何探测弹射飞机的轨道设计
素材1：图1是某科技兴趣小组的同学们制作出的一款弹射飞机，为验证飞机的一些性能，通过测试收集了飞机相对于出发点的飞行水平距离s与飞行时间t的函数关系式为：x=3t，飞行高度y(单位：m)随飞机时间t(单位：s)的变化满足二次函数关系，数据如表所示
素材2：图2是兴趣小组同学在室内操场的水平地面上设置一个高度可以变化的发射平台PQ，当弹射口高度变化时，飞机飞行的轨迹可视为抛物线上下平移得到，线段AB为飞机回收区域，已知AP=42m，AB=(18-24)m,问题解决
任务1：确定函数表达式，求y关于t的函数表达式；
任务2：探究飞行距离，当飞机落地(高度为0m)时，求飞机飞行的水平距离；
任务3：确定弹射口高度，当飞机落到AB内(不包含端点A、B)，求发射台弹射口高度(结果为整数)
2.利用素材解决：《桥梁的设计》
3.根据以下素材，探究完成任务
4.九年级某班级同学进行项目式学习如下：
5.陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．如图是从正面看到的一个“老碗”,其横截面可以近似的看成是如图(1)所示的以AB 为直径的半圆 O，MN 为台面截线，半圆 O 与 MN 相切于点 P，连结 OP 与 CD 相 交于点 E.水面截线 CD= 6cm，MN//CD，AB=12cm.
(1)如图(1)求水深 EP；
(2)将图(1)中的老碗先沿台面 MN 向左作无滑动的滚动到如图(2)的位置，使
得 A、C 重合，求此时最高点 B 和最低点 P 之间的距离 BP 的长；
(3)将碗从（2）中的位置开始向右边滚动到图(3)所示时停止，若此时∠BOP=75°，
求滚动过程中圆心 O 运动的路径长.
6．某厂家特制了一批高脚杯，分为男士杯和女士杯（如图1），相关信息如下：
根据以上素材内容，尝试求解以下问题：
（1）求抛物线DCE和抛物线FCG的解析式；
（2）当杯子水平放置及杯内液体静止时，若男士杯中的液体与女士杯中的液体深度均为4cm，求两者液体最上层表面圆面积之差；（结果保留π）
（3）当杯子水平放置及杯内液体静止时，若男士杯中的液体与女士杯中的液体深度相等，两者液体最上层表面圆面积相差4πcm2，求杯中液体的深度．
7．中新社上海3月21日电（记者缪璐）21日在上海举行的2023年全国跳水冠军赛女子单人10米跳台决赛中，陈芋汐以416.25分的总分夺得冠军，全红婵位列第二，掌敏洁获得铜牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的207C（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系xOy．如果她从点A（3，10）起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）近似满足函数关系式y＝a（x﹣h）2+k（a＜0）．
（1）在平时训练完成一次跳水动作时，全红蝉的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：
根据上述数据，直接写出k的值为 ，直接写出满足的函数关系式： ；
（2）比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系y＝﹣5x2+40x﹣68，记她训练的入水点的水平距离为d1；比赛当天入水点的水平距离为d2，则d1 d2（填“＞”“＝”或“＜”）；
（3）在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点B开始计时，若点B到水平面的距离为c，则她到水面的距离y与时间t之间近似满足y＝﹣5t2+c，如果全红婵在达到最高点后需要1.6秒的时间才能完成极具难度的270C动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？
8．【发现问题】
一天放学后，妈妈带小丽到面馆去吃牛肉面，爱思考的小丽仔细观察盛面的碗，如图1，她发现面碗的轴截面（不包含碗足部分）可以近似看成是抛物线的一部分．
【提出问题】
碗体（碗体的厚度忽略不计）上一点到碗底内部所在平面的距离y（cm）与这一点到碗的中轴线（面碗的上、下两个底面圆的圆心所在直线）m的距离x（cm）之间有怎样的函数关系？
【分析问题】
小丽从书包里拿出刻度尺、笔和本，向服务员借来一个空的面碗，把面碗正放在桌面上，对面碗进行了简单的测量，并根据测量数据画出面碗的轴截面，如图2，面碗的上口径AB＝24cm，碗底直径CD＝EF＝6cm，面碗的边沿上一点B到桌面EF的距离BG＝8cm，碗足高DF＝1cm．小丽又进一步建立以CD所在直线为x轴，以直线m为y轴的平面直角坐标系（如图3），从而求出y与x的关系式．
【解决问题】
（1）请你帮助小丽求出y与x的关系式；
（2）小丽向空面碗中倒入一些水，当水面宽度为20cm时，求此时面碗中水的深度；
（3）小丽将（2）中面碗中的水倾倒至如图4所示，水面刚好与BC重合，直接写出此时面碗中水的最大深度．
9.根据以下素材，探索完成任务．
10．根据以下素材，探索完成任务：
飞行时间t/s
0
2
4
6
8
...
飞行高度y/m
0
10
16
18
16
...
问题驱动
某地欲修建一座搭桥，桥的底边两端间的水平宽AB=L，称跨度，桥面最高点到AB的距离CD=h称拱高，拱桥的轮廓可以设计成是圆弧或抛物线型，若修建拱桥的距离L=32米，拱高h=8米.
设计方案
方案一
方案二
设计类型
圆弧型
抛物线型
任务一
设计成圆弧型，求该圆弧所在圆的半径
设计成抛物线型，以AB所在直线为x轴,AB的垂直平分为y轴建立坐标系，求桥拱的函数表达式
任务二
如图，一艘船露出水面部分的横截面为矩形EFGH，测得EF=6.1米,EH=16米，请你通过计算说明货船能否分别顺利通过这两座桥梁.
设计求碗中面汤液面宽度的方案
素材1
图1是一个瓷碗，图2是其截面图，碗体DEC呈抛物线状(碗体厚度不计)碗高GF=7cm,碗底宽AB=3cm，当瓷碗中装满面汤时，液面宽CD=12cm，此时面汤最大深度EG=6cm.
素材2
如图3，把瓷碗绕点B缓缓倾斜倒出部分面汤，当点A离MN距离为1.8cm时停止
任务1
确定碗体形状
在图2中建立合适的直角坐标系，求抛物线的表达式
任务2
拟定设计方案1
根据图2位置，把碗中面汤喝掉一部分，当碗中液面高度(离桌面MN距离)为5cm时，求此时碗中液面宽度.
任务3
拟定设计方案2
如图3，当碗停止倾斜时，求此时碗中液面宽度CH.
绿化带灌溉车的操作探究
项目内容
项目素材
项目任务
【项目一】
明确灌溉方式
如图 1，灌溉车沿着平行于绿化 带底部边线 I 的方向行驶，为 绿化带浇水．喷水口 H 离地竖 直高度为h（单位：m ），灌溉
车到l 的距离OD长度为d（单 位：m ）．
“博学小组”经过实际测量，建 立如下数学模型：如图 2，可以 把灌溉车喷出水的上、下边缘 抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到；把绿化带横截面抽象为矩形 DEFG，其水平宽度 DE 3m，竖直高度 EF  0.5m 喷水口离开地面高h  1.5米，上边缘拋物线最高点离喷水口的水平距离为2m ，高出喷水口 0.5m．
【任务一】结合图象和数据，请你求出灌溉车的最大射程OC 的长度
【项目二】提倡有效灌溉
“笃志小组”实地调查发现：为了节约用水，进行有效灌溉，灌溉车在进行行业时，要保证喷出的水能浇灌到整个绿化带(上边缘抛物线不低于点F，点D不在下边缘抛物线内)
【任务二】请你求出灌溉车有效灌溉时，灌溉车到绿化带底边缘的距离OD的取值范围.
素材
内容
素材1
如图1，这种高脚杯从下往上分为三部分：
杯托，杯脚，杯体．杯托为一个圆，水平放置时候，杯脚经过杯托圆心，并垂直任意直径，杯体的水平横截面都为圆，这些圆的圆心都在杯脚所在直线上．
素材2

图2坐标系中，特制男士杯可以看作由线段AB，OC，抛物线DCE（实线部分），线段DF，线段EG绕y轴旋转形成的立体图形（不考虑杯子厚度，下同）；特制女士杯可以看作由线段AB，OC，抛物线FCG（虚线部分）绕y轴旋转形成的立体图形．
素材3
已知，图2坐标系中，OC＝5cm，记为C（0，5），D（−52，152），E（52，152），F（−52，15），G（52，15）．
水平距离x/m
0
3
3.5
4
4.5
竖直高度y/m
10
10
k
10
6.25
如何调整蔬菜大棚的结构？
素材1
我国的大棚（如图1）种植技术已十分成熟，一块土地上有一个蔬菜大棚，其横截面顶部为抛物线型，大棚的一端固定在墙体OA上，另一端固定在墙体BC上，其横截面有2根支架DE，FG，相关数据如图2所示，其中DE＝BC，OF＝DF＝BD．

素材2
已知大棚有200根长为DE的支架和200根长为FG的支架，为增加棚内空间，拟将图2中棚顶向上调整，支架总数不变，对应支架的长度变化如图3所示，调整后C与E上升相同的高度，增加的支架单价为60元/米（接口忽略不计），现有改造经费32000元．

问题解决
任务1
确定大棚形状
在图2中以点O为原点，OA所在直线为y轴建立平面直角坐标系，求抛物线的函数表达式．
任务2
尝试改造方案
当CC′＝1米，只考虑经费情况下，请通过计算说明能否完成改造．
任务3
拟定最优方案
只考虑经费情况下，求出CC′的最大值．
素材一
太阳光线与地面的夹角叫做太阳高度角．冬至是北半球各地白昼时间最短、黑夜最长的一天；夏至是北半球各地黑夜时间最短、白昼最长的一天．设冬至这天正午时刻太阳高度角为α，夏至这天正午时刻太阳高度角为β．
素材二
厂家设计了可伸缩抛物线型遮阳棚，其侧面示意图如图1所示．曲线QM为遮阳棚，PQ为遮阳棚安装在窗户上方的支架，PQ⊥QM，线段QM的长度称为遮阳棚的跨度．已知遮阳棚QM所在的抛物线与抛物线y=−14x2的形状相同．

素材三
如图2，AB为小明家的朝南窗户，测得tanα=14，∠β＝45°，窗户AB的高度为1.5米．为能最大限度地遮挡夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内，在安装遮阳棚时，需根据实际计算遮阳棚的跨度（QM的长）．

素材四
春节前期，小明想在遮阳棚顶部挂一盏高为0.3米的灯笼（如图3）．如图4，灯笼CD与窗户的水平距离为m米，灯笼的底端（点D）与窗户的上沿（点B）的铅垂高度为n米，灯笼顶端（点C）与悬挂点（点N）的距离为d米．
解决问题
任务1
求小明家所需的遮阳棚的跨度QM．
任务2
当d＝0.16时，求m的值．
任务3
现要求0.6≤m≤1.5且0.1≤n≤0.2，求d的取值范围．