中考冲刺之平面几何综合压轴

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【特例感知】
(1)如图1，E是正方形ABCD外一点，将线段AE绕点A顺时针旋转90°得到AF，连接DE、BF，求证：DE=BF
【类比迁移】
(2)如图2，在菱形ABCD中，AB=4，B=60°，P是AB的中点，将线段PA、PD分别绕点P顺时针旋转90°得到PE、PF，PF交BC于点G，连接CE、CF，求四边形CEGF的面积.
【拓展提升】
(3)如图3，在平行四边形ABCD中AB=12，AD=10，B为锐角且满足sinB=,P是射线BA上一动点，点C、D同时绕点P顺时针旋转90°得到C、D，当△BCD为直角三角形时，直接写出BP的长.
解：(1)易证△ABF≌△ADE，可得BF=DE
(2)连接EF，易知CP⊥AB，∠DPF=90°得∠APD=∠EPF，而PD=PF，PA=PE，得△PAD≌△PEF，故EF=AD=4；过点P作MN⊥AD，易知△PDM~△GPN，易知MA=1，PM=PN=，由此可得NG=，故GC=，由∠NPG=∠ADP，∠PFE=∠ADP得∠NPG=∠PFE，得EF||PN，即有EF⊥GC，故SCEGF=4××=(此处注意：因为是旋转90°，故EF与BC始终保持垂直，这在第三问有大用处)
(3)由(2)知CD的对应线段C′D′始终垂直于AB，当点C′、D′在直线AB上时，△BC′D′即为直角三角形，
①当C′落在AB上时，如图所示，此时BP=6；
②当D′落在AB上时，如图所示，此时PD=8，AP=6，故BP=18；
③如下左图所示，作出一系列辅助线，设AP=5m，则PJ=HI=4m，AJ=3m，△CPH≌△PCG,△PDJ≌△PDK，PG=CH，GC=PH，PK=4m，DI=，CI=CM=+7m,BM=+m,BN=-m,DN=7m-,△BMC~△DNB,得,得m=，故BP=10+或10-(此值为下右图同理可求得)
综上所述BP的值为6或18或10+或10-
2.(2024深圳中学开学考22题)如图1，在矩形ABCD中，CD=BC=4，点E、G分别是AD、AB的中点，过点E、G分别作EF⊥AD，GF⊥AB，FG与EF交于点F，连接CF
特别感知
以下结论中正确的序号有_______；
①四边形AGFE是矩形；②矩形ABCD与四边形AGFE位似；③以ED、CF、BG为边围成的三角形不是直角三角形
类比发现
如图2，将图1中的四边形AGFE绕着点A旋转，连接BG，观察CF与BG之间的数量关系和位置关系，并说明你的发现；
拓展应用
连接CE，当CE的长度最大时，
①求BG的长度；②连接AC、AF、CF，若在△ACF内存在一点P，使CP+AP+PF的值最小，并求出最小值.
(2)连接AF、AC，易知AF：AG=AC：AB=2：，同时∠BAC=∠GAF，故∠CAF=∠BAG，故△BAG~△CAF，故CF：BG=2：
(3)易知点E在以A为圆心，2为半径的圆上运动，当C、A、E共线时，CE取最大值，当CE最大时，AC=8，EF=2，故CF=4，故BG=2
②将AP绕点A旋转30°至M且使AM=AP，连接PM，易知PM=PA；同时将AF绕点A旋转30°点N且使AN=AM，易得△APF~△AMN，得NM=PF，故PA+PC+PF=PC+PM+MN，当C、P、M、N共线时，故最小值，即CN，此时∠CAN=150°，AN=4，CN=4，故最小值为4
3.(2024重庆模拟24题)在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，点D是边BC上一点，连接AD，∠ABD的角平分线交AD于点E，
(1)如图1所示，∠BAD=30°，若CD=2，求DE的长；
(2)如图2所示，点F为AC上一点，过点F作FO⊥AD于点O,若点O恰好平分线段AD，求证：CF=BE+CD；
(3)如图3所示，点P为边AC上一点，且满足AP=BE，过点P作PQ⊥AD于点Q，连接BQ，当BQ最短时，请直接写出的值.
解：(1)如图，设BD=m,则AB=m,而BA=BC，得m+2=m,得m=+1，AD=2+2，由角平分线定理得AE：DE=AB：BD，故DE=2
另法，连接CE，易知△BEA≌△BEC，得∠DCE=30°，而∠ADB=60°，故∠DEC=30°，故DE=DC=2
过点D作DM⊥AC于点M，连接OB、OM,O为AD的中点，故OB=OM=OA=OD，设∠CAD=α，∠BAD=β，则∠BOD=2β，∠MOD=2α，故∠BOM=90°，而∠DOF=90°，故∠BOE=∠MOF；而∠BEO=180°-β-45°=135°-β，∠OFM=90°+α=90°+45°-β=135°-β，即有∠BEO=∠OFM，于是△BOE≌△MOF，BE=FM，而CM=CD，故CF=BE+CD
过点A作AG⊥AB交QP延长线于点G，作BFAD于点F，∠BEF=45°+∠BAD，∠APQ=90°-∠PAQ=90°-(45°-∠BAD)=45°+∠BAD,故∠BEF=∠APQ，而AP=BE,∠AQP=∠BFE,故△APQ≌△BEF，
而AQ=BF,∠BAF+∠GAQ=90°，∠ABF+∠ABF=90°得∠GAQ=∠ABF,∠BFA=∠AQG=90°,得△AGQ≌△BAF，AG=AB，设AB=2，则点Q在以AG为直径的圆上运动，圆心为M，当B、Q、M共线时BQ取最小值；此时BQ=-1，,而BD=-1，由角平分线定理知SABE：SBDE=2:(-1),,故
4.(2024安徽中考23题)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点E是AC上一动点，连接BE，将BE绕点B逆时针旋转90°得到BD，连接DE交BC于点F
(1)如图1，若AB=4，∠C=30°，BE⊥AC，求DE的长；
(2)如图2，若CB=CE，连接CD，在EC上截取EM=CD，过点M作EC的垂线交BC于点N，交ED于点K，当CF=2AE时，求证：NF+DF=MN；
(3)如图3，△ABC中，若BE=CE，且∠BEC=45°，BE=4，点P为射线EA上一动点，连接BP，将BP点B逆时针旋转60°得到BQ，连接EQ，请直接写出线段EQ的最小值.
解：(1)如图，易知AE=2，DE=2；
(2)过点D作DG⊥EC于点G，交CF于点H，设∠CED=ɑ，△BDE为等腰直角三角形，CB=CE，得∠BCE=90°-2ɑ，于是∠CHF=∠CHG=2ɑ，而∠HDF=90°-ɑ得∠DFH=90°-ɑ，故DH=FH，可得NF=NK；易知△BAE≌△BHD，DH=AE，
又CF=2AE，故HD=HC=HF，故∠CDF=90°；∠DCF=ɑ=∠MEK，CD=EM，∠EMK=∠CDF，得△EMK≌△CDF，DF=KM
于是MN=NK+MK=NF+DF即有MN=NF=DF
(3)以BE为边长作等边△BEH，连接QH，易知△BPE≌△BQH，由瓜豆原理可知点Q在直线QH上运动，当EQ⊥QH时，EQ取最小值，此时∠EHQ=75°，EH=4，由sin75°=，故EQmin=
5.(2024重庆中考模拟24题)在△ABC中，D为直线AC上一动点，连接BD，将BD绕点B逆时针旋转90°得到BE，连接DE与AB相交于点F
如图1，若D为AC的中点，∠BAC=90°，AC=4，BD=，连接AE，求线段AE的长；
如图2，G是线段BA延长线上一点，D在线段AC上，连接DG、EC，若∠BAC