专题20 点到圆的距离最值问题-【微专题】2022-2023学年九年级数学上册常考点微专题提分精练（人教版）

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1．如图，已知空间站A与星球B距离为a，信号飞船C在星球B附近沿圆形轨道行驶，B，C之间的距离为b．数据S表示飞船C与空间站A的实时距离，那么S的最大值是（ ）
A．aB．bC．D．
【答案】C
【分析】根据：三角形的任意两边的长度之和大于第三边，可得：只有空间站A与星球B、飞船C在同一直线上时，S取到最大值，据此求解即可．
【详解】解：空间站A与星球B、飞船C在同一直线上时，S取到最大值a+b．
故选：C．
【点睛】此题主要考查了两点间的距离的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：三角形的任意两边的长度之和大于第三边．
2．如图，四边形为矩形，，．点P是线段上一动点，点M为线段上一点．，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】证明，得出点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上，从而计算出答案．
【详解】设AD的中点为O，以O点为圆心，AO为半径画圆
∵四边形为矩形
∴
∵
∴
∴
∴点M在O点为圆心，以AO为半径的圆上
连接OB交圆O与点N
∵点B为圆O外一点
∴当直线BM过圆心O时，BM最短
∵，
∴
∴
∵
故选：D．
【点睛】本题考查直角三角形、圆的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形和圆的相关知识．
3．如图，函数的图象与x轴交于A，B两点，点C是以为圆心，2为半径的圆上的动点，P是的中点，连结，则线段的最小值是（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】A
【分析】连接BC、BM、CM，根据题意得 ，然后由三角形的中位线定理，可得到，从而当BC最小时，OP最小，又由，得到当B、C、M三点共线时，BC=BM-MC，即可求解．
【详解】解：如图，连接BC、BM、CM，
令y=0，则，
解得： ，
∵函数的图象与x轴交于A，B两点，
∴ ， ，
∴ ，
∵P是的中点，
∴ ，
∴当BC最小时，OP最小，
∵ ，
∴，即当B、C、M三点共线时，BC=BM-MC，
∵ ，MC=2，
∴BC的最小值为4-2=2，
∴OP的最小值为1．
故选：A
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，圆的基本性质，线段最小值的问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
4．如图，△ABC中，AB=AC，BC=24，AD⊥BC于点D，AD=5，P是半径为的上一动点，连结PC，若E是PC的中点，连结DE，则DE长的最大值为（ ）
A．8B．C．9D．
【答案】A
【分析】连接BP，根据三角形中位线定理可得，从而得到当BP最大时，DE最大，再由当PB过圆心A时，PB最大，即可求解．
【详解】解：如图，连接BP，
∵AB=AC，BC=24，AD⊥BC于点D，
∴BD=CD=12，
∵E是PC的中点，
∴，
∴当BP最大时，DE最大，
∵P是半径为的上一动点，
∴当PB过圆心A时，PB最大，此时P、A、B三点共线，
∵AD=5，BD=12，
∴AB=13，
∴PB的最大值为13+3=16，
∴DE的最大值为8．
故选：A
【点睛】本题考查的是圆的基本性质，等腰三角形的性质，勾股定理以及三角形中位线定理，明确当PB取最大值时，DE的长最大是解题的关键．
5．Q是半径为3的⊙O上一点，点P与圆心O的距离OP＝5，则PQ长的最小值是_____．
【答案】2
【分析】根据点与圆的位置关系即可得到结论．
【详解】解：∵Q是半径为3的⊙O上一点，点P与圆心O的距离OP＝5，
根据三角形的三边关系，PQ≥OP－OQ（注：当O、P、Q共线时，取等号）
∴PQ长的最小值＝5-3＝2，
故答案为：2．
【点睛】此题考查的是点与圆的位置关系，掌握三角形的三边关系求最值是解决此题的关键．
6．在平面直角坐标系中，点P坐标为，点Q为图形M上一点，则我们将线段长度的最大值与最小值之间的差定义为点P视角下图形M的“宽度”．现有，O为原点，半径为2，则点P视角下的“宽度”为___________．
【答案】4
【分析】连接PA，PB，连接PO并延长，交⊙O于点E，F，利用图形的“宽度”的定义分别求出这点到图形的长度的最大值与最小值即可得出结论．
【详解】解：连接PA，PB，连接PO并延长，交⊙O于点E，F，如图，
则PE，PF为点P到⊙O的长度的最大值与最小值，
∴在点P视角下，⊙O的“宽度”为PF−PE＝EF＝4.
故答案为：4．
【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，本题是新定义型题目，熟练运用新定义是解题的关键．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，点D是△ABC内部的一个动点，且满足∠ACD=∠CBD，则AD的最小值为 ___．
【答案】2
【分析】首先证明点D在以BC为直径的⊙O上，连接OA与⊙O交于点D，此时DA最小，利用勾股定理求出OA即可解决问题．
【详解】解：∵∠ACB=90°，
∴∠BCD+∠DCA=90°，
∵∠DBC=∠DCA，
∴∠CBD+∠BCD=90°，
∴∠BDC=90°，
∴点D在以BC为直径的⊙O上，连接OA交⊙O于点D，此时DA最小，
在Rt△CAO中，∵∠OCA=90°，AC=4，OC=BC=3，
∴OA==5，
∴DA=OA-OD=5-3=2．
故答案为：2．
【点睛】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点P位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离．
8．.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝8，点D是边BC的中点，点E是边AB上的任意一点（点E不与点B重合），沿DE翻折△DBE使点B落在点F处，连接AF，则线段AF长的最小值是_______．
【答案】##
【分析】由翻折的性质可知DB=DF，结合D是BC的中点得到DB=DF=CD，进而得到点F在以D为圆心，以BD为半径的圆上，连接AD交圆于，此时的值最小，求出AF即可求解．
【详解】解：由翻折的性质可知DB=DF，
D是BC的中点，
DB=DF=CD，
点F在以D为圆心，以BD为半径的圆上，连接AD交圆于，此时的值最小．
，,，
，
，
．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查图形的翻折变换，勾股定理等知识，构造圆找到AF最小时的位置是解题的关键．
9．如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，动点E在矩形的边AB上运动，连接DE，作点A关于DE的对称点P，连接BP，则BP的最小值为______．
【答案】##
【分析】根据对称的性质可得P在以D为圆心的圆上，半径为6，连接BD，交圆D于P′，然后根据勾股定理可得问题的答案．
【详解】解：∵点A关于DE的对称点P，
∴DA=DP=6，
∴P在以D为圆心的圆上，半径为6的一段弧上，连接BD，交圆D于P′，
∴BP′为最小值，
∵AB=4，AD=6，∠DAB=90°，
∴BD=，
∵半径为6，即DP′=6，
∴BP′=2-6．
故答案为：2-6．
【点睛】本题考查的是圆的基本性质，矩形的性质，轴对称的性质，掌握相应性质是解决此题关键．
10．已知点O及其外一点C，OC＝5，点A、B分别是平面内的动点，且OA＝4，BC＝3，在平面内画出点A、B的运动轨迹如图所示，则OB长的最大值为____，OB长的最小值为____，AC长的最大值为____，AC长的最小值为____，AB长的最大值为____，AB长的最小值为____．
【答案】 8 2 9 1 12 0
【分析】根据点与圆的位置关系进行解答即可．
【详解】解：位于一条直线上时，
当点在点左侧时，最大，最大值为：，
当点在点右侧时，最小，最小值为：，
位于一条直线上时，
当点在点左侧时，最大，最大值为：，
当点在点右侧时，最小，最小值为：，
在一条直线上时，且位于点左侧，点位于点右侧，
此时，最大，最大值位：，
当点重合时，最小，最小值为：，
故答案为：8，2，9，1，12，0．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，根据题意得出相应的位置是解本题的关键．
11．已知，在正方形ABCD中，AB＝4，点E在边AB上，且BE＝1，以点B为圆心，BE长为半径画⊙B，点P在⊙B上移动，连接AP．
（1）如图①，在点P移动过程中，AP长度的最小值是_____．
（2）如图②，将AP绕点A逆时针旋转90°至A，连接BP′，在点P移动过程中，B长度的最小值是_____．
【答案】 3
【分析】（1）当点P在线段AB上时，AP的长度有最小值，即可求解；
（2）由“SAS”可证△PAB△AD，可得D＝PB＝1，点的运动路线为以D为圆心，以1为半径的圆上，则当在对角线BD上时，B最小，再利用勾股定理求对角线BD的长，则得出B的长．
【详解】解：（1）∵点P在⊙B上移动，
∴当点P在线段AB上时，AP的长度有最小值，
最小值＝AB﹣PB＝4﹣1＝3，
故答案为：3．
（2）如图，连接BP，
由旋转得：AP＝A，∠PA＝90°，
∴∠PAB＋∠BA＝90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠BA＋∠DA＝90°，
∴∠PAB＝∠DA，
在△AD和△PAB中，
∴△AD△PAB（SAS），
∴D＝PB＝1，
∴点P在以点D为圆心，D为半径的圆上，
∴当在对角线BD上时，B最小，
在Rt△ABD中，∵AB＝AD＝4，
∴BD＝＝＝，
∴B＝BD﹣D＝﹣1，
即B长度的最小值为﹣1．
故答案为：﹣1．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，圆的性质，全等三角形的判定及性质，解题的关键是找出线段的最小值1．
12．如图，平面直角坐标系中，点的坐标是，点是上一点，的半径为2，连接，则线段OB的最小值为__________．
【答案】3．
【分析】由图可知，线段OA与圆的交点为B时，OB值最小，过点A作轴，过点B作轴，根据勾股定理求出OA，即可得到结果；
【详解】由图可知，线段OA与圆的交点为B时，OB值最小，过点A作轴，过点B作轴，
∵点的坐标是，
∴，，
∴，
又∵半径为2，
∴．
故答案是3．
【点睛】本题主要考查了圆的性质和勾股定理，准确计算是解题的关键．
13．已知P为⊙O外的一点，P到⊙O上的点的最大距离为6，最小距离为2．若AB为⊙O内一条长为1的弦，则点P到AB的距离的最大值为_____，最小值为_____．
【答案】 0
【分析】根据圆外的点到圆上的点的距离性质，以及勾股定理公式，可得所求.
【详解】解：如图，
由题意设直线OP交⊙O于C，D，则PD＝6，PC＝2，CD＝4，
当线段AB⊥线段CD于H时，点P到AB的距离最大，、
在Rt△AOH中，∵OA＝2，AH＝，
∴，
∴，
∴点P到AB的最大距离为，
当A、B、P在同一直线上时，点P到AB的距离最小，最小值为0，
故答案为，0．
【点睛】本题考查圆外的点到圆上的点的距离性质，以及勾股定理公式.
14．如图，正方形ABCD的边长为2，动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在边DC，CB上向各自终点C，B移动，连接AE和DF交于点P，则线段CP的最小值是________．
【答案】##
【分析】证明△ADE≌△DCF得到∠DAE=∠CDF，推出∠DPE=90°，则∠APD=90°，故点P在以AD为直径的圆上运动，取AD中点G，连接CG，交圆G（直径为AB）于点P，则此时CP最小，据此求解即可．
【详解】解：∵动点E，F分别从D，C两点同时出发，以相同的速度在边DC，CB上向各自终点C，B移动，
∴DE=CF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADE=∠DCF=90°，AD=DC，
∴△ADE≌△DCF（SAS），
∴∠DAE=∠CDF，
∵∠DAE+∠DEA=90°，
∴∠PED+∠PDE=90°，
∴∠DPE=90°，
∴∠APD=90°，
∴点P在以AD为直径的圆上运动，
取AD中点G，连接CG，交圆G（直径为AB）于点P，则此时CP最小，
∵四边形ABCD是边长为2的正方形，
∴，
∴，
∴，
∴CP的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，圆外一点到圆上一点的距离的最值问题，正确得到点P在以AD为直径的圆上运动是解题的关键．
15．如图，、，以为直径作，射线交于、两点，为弧的中点，为的中点．当射线绕点旋转时，的最小值为________．
【答案】##
【分析】连接MD，如图，利用垂径定理得到MD⊥EF，则∠ODM=90°，再根据勾股定理得到点D在以A点为圆心，2为半径的圆上，利用点与圆的位置关系可判断当D点为CA与⊙A的交点时，CD的值最小，此时CD=AC-2=．
【详解】解：连接MD，如图，
是的中点，
∵D为EF的中点，
∴MD⊥EF，
∴∠ODM=90°，
又，即，
∴点D在以A点为圆心，2为半径的圆，
当D点为CA与⊙A的交点时，CD的值最小，
此时CD=AC-2=．
即CD的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理和勾股定理．
16．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，点P是以点C（0，4）为圆心，1为半径的圆上的动点，点Q是线段PB的中点，连接OQ，则线段OQ的最小值是 _____．
【答案】2
【分析】连接AP，先解方程得，，再判断OQ为的中位线得到，利用点与圆的位置关系，连接AC交圆于P时，PA最小，然后计算出AP的最小值即可得到线段OQ的最小值．
【详解】解：连接AP．
当时，
解得，
则，
∵Q是线段PB的中点．
∴OQ为的中位线．
∴．
当AP最小时，OQ最小．
连接AC交圆于P时，PA最小．
∵．
∴AP的最小值：．
∴线段OQ的最小值：．
故答案为2．
【点睛】本题考查了中位线、二次函数与圆的综合题，解题的关键在于连接圆心C所得的AP最小．
17．，，点在斜边上，为平面内一动点，且满足，则的最小值是________．
【答案】．
【分析】根据等腰直角三角形的性质得到斜边，由已知条件得到点P在以A为圆心，PA为半径的圆上，当点P在斜边BC的中线上时，PQ的值最小，于是得到结论．
【详解】解：∵直角三角形ABC，6，
∴斜边，
∵点P为该平面内一动点，且满足PA=3，
∴点P在以A为圆心，PA为半径的圆上，
当点P在斜边BC的中线上时，PQ的值最小，

∵△ABC是直角三角形，，
∴ ，
∵PA=3，
∴PQ=AQ-AP=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形，最短路线问题，圆的基本性质，正确的作出图形是解题的关键．
18．如图，在直角坐标系中，点坐标为，的半径为1，点坐标为，点是上一动点，则的最小值为 __．
【答案】
【分析】由点是上一动点，当，，三点共线时，即有最小值，连接交于点，过点作于点，利用勾股定理求解PA即可解答．
【详解】解：点是上一动点，当，，三点共线时，有最小值，
连接交于点，过点作于点，
点坐标为，点坐标为，
，，
．
的最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查求一点与圆上点距离的最值、两点之间线段最短、坐标与图形、勾股定理，会利用两点之间线段最短解决最值问题是解答的关键．
19．在平面直角坐标系中，点，圆C与x轴相切于点A，过A作一条直线与圆交于A，B两点，AB中点为M，则OM的最大值为______．
【答案】##
【分析】连接CM、CA，取AC的中点D，以AC为直径作OD，如图，则点M在⊙D上，连接OD并延长，当点M在OD的延长线与⊙D的交点处（图中的点M'处）时，OM的值会最大，根据圆周角定理和切线的性质得出AC=2，OA=2，则AD=AC=1，DM'=AC=1，利用勾股定理求出OD，由OM'=OD+DM'即可求解．
【详解】解：连接CM、CA，
OC与x轴相切于点A，C（2，2），
∴AC⊥x轴，AC=2，OA=2，
∵M为弦AB的中点，
∴CM⊥AB，
∴∠AMC=90°，
取AC的中点D，以AC为直径作OD，如图，则点M在⊙D上，
连接OD并延长，当点M在OD的延长线与⊙D的交点处（图中的点M'处）时，OM的值会最大，
在Rt△AOD中，AD=AC=1，OA=2，
∴OD=
∵DM'=AC=1，
∴OM'=OD+DM'=+1，即OM的最大值为+1
故答案为：+1
【点睛】本题主要考查了坐标与图形，一点到圆上一点的距离得到最小值，两点距离公式，三角形中位线定理，把求出OM的最小值转换成求BD的最小值是解题的关键．
20．如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，⊙A、⊙B的半径分别为2和1，P、E、F分别是边CD、⊙B和⊙A上的动点，求PE＋PF的最小值．
【答案】3
【分析】由题意易得，BE＝1，AF＝2，进而把问题转化为求PB＋PA－3的最小值，即为求PB＋PA的最小值，过点B作BP⊥CD，并延长，交AD的延长线于点，进而问题可求解．
【详解】解：由题意得BE＝1，AF＝2，
∵四边形ABCD是菱形，AB＝3，
∴，，
欲求PE＋PF的最小值，需先求PB＋PA－3的最小值，即求PB＋PA的最小值（如图5-2），
过点B作BP⊥CD，并延长，交AD的延长线于点，如图5-3，
∴，
∵，，BC∥AD，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，即点B与关于DC对称，
∴PB＋PA的最小值为，，
∴PE＋PF的最小值等于3．
【点睛】本题主要考查菱形的性质及圆的基本性质，熟练掌握菱形的性质及圆的基本性质是解题的关键．
21．如图，已知等边△ABC 的边长为8，点 P 是 AB 边上的一个动点（与点 A、B 不重合）．直线 l 是经过点 P 的一条直线，把△ABC 沿直线 l 折叠，点 B 的对应点是点B'．当 PB＝6 时，在直线 l 变化过程中，求△ACB'面积的最大值．
【答案】
【分析】如图，过点作，当，，共线时，的面积最大，求出的长即可解决问题．
【详解】解：如图，过点P作PH⊥AC，
由题可得，在以为圆心，半径长为6的圆上运动，
当的延长线交圆于点时面积最大，
在中，，，
，
是等边三角形，
，
，，
，
的最大值为．
【点睛】本题考查圆与三角形综合问题，根据题意构造出图形是解题的关键．