- 12.1全等三角形的性质(讲+练)-【重要笔记】2022-2023学年八年级数学上册重要考点精讲精练(人教版) 试卷 0 次下载
- 12.2全等三角形判定二(ASA,AAS)(讲+练)-【重要笔记】2022-2023学年八年级数学上册重要考点精讲精练(人教版) 试卷 0 次下载
- 12.3角平分线的性质(讲+练)(8大题型)-【重要笔记】2022-2023学年八年级数学上册重要考点精讲精练(人教版) 试卷 0 次下载
- 12.4全等三角形的九大模型(讲+练)-【重要笔记】2022-2023学年八年级数学上册重要考点精讲精练(人教版) 试卷 0 次下载
- 第12章 全等三角形 单元检测-【重要笔记】2022-2023学年八年级数学上册重要考点精讲精练(人教版) 试卷 0 次下载
初中数学12.1 全等三角形课后复习题
展开一、单选题
1.尺规作图:作 ∠A′O′B′ 角等于已知角 ∠AOB .示意图如图所示,则说明 ∠A′O′B′=∠AOB 的依据是( )
A.SSSB.SASC.ASAD.AAS
【答案】A
【解析】【解答】解:由作法可得OD=OC=OD′=OC′,CD=C′D′,
所以根据“SSS”可判断△OCD≌△O′C′D′,
所以∠A′OB′=∠AOB.
故答案为:A.
【分析】由作法可得OD=OC=OD′=OC′,CD=C′D′,所以根据“SSS”即可判断.
2.如图,在OA,OB上分别截取OD,OE使OD=OE,再分别以点D、E为圆心,大于 12 DE长为半径作弧,两弧在∠AOB内交于点C,射线OC就是∠AOB的角平分线.理由是连结CD,CE,证△COD≌△COE得∠COD=∠COE.证△COD≌△COE的条件是( )
A.SASB.AASC.ASAD.SSS
【答案】D
【解析】【解答】解:在△COE和△COD中,
OC=OCOE=ODCE=CD ,
∴△COE≌△COD(SSS).
故答案为:D.
【分析】由作图步骤可知:CE=CD,根据已知条件可知OE=OD,然后结合全等三角形的判定定理进行解答.
3.如图,已知AB=AD,AC=AE,若要判定△ABC≌△ADE,则下列添加的条件中正确的是( )
A.∠1=∠DACB.∠B=∠DC.∠1=∠2D.∠C=∠E
【答案】C
【解析】【解答】解: ∵AB=AD , AC=AE ,
则可通过 ∠1=∠2 ,得到 ∠BAC=∠DAE ,
利用SAS证明△ABC≌△ADE.
故答案为:C.
【分析】根据角的和差关系可得∠BAC=∠DAE,然后根据全等三角形的判定定理进行解答.
4.将三根木条钉成一个三角形木架,这个三角形木架具有稳定性.解释这个现象的数学原理是( )
A.SSSB.SASC.ASAD.AAS
【答案】A
【解析】【解答】解:三根木条即为三角形的三边长,
即为利用SSS确定三角形,
故答案为:A.
【分析】根据三角形的稳定性及SSS的方法求解即可。
5.如图,在△ABC中,BD平分∠ABC,∠C=2∠CDB,AB=12,CD=3,则△ABC的周长为( )
A.21B.24C.27D.30
【答案】C
【解析】【解答】解:如图,在AB上截取BE=BC,连接DE,
∵BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠CBD,
在△CBD和△EBD中,
CB=BE∠CBD=∠DBEBD=BD,
∴△CBD≌△EBD(SAS),
∴∠CDB=∠BDE,∠C=∠DEB,
∵∠C=2∠CDB,
∴∠CDE=∠DEB,
∴∠ADE=∠AED,
∴AD=AE,
∴△ABC的周长=AD+AE+BE+BC+CD=AB+AB+CD=27,
故答案为:C.
【分析】在AB上截取BE=BC,连接DE,根据三角形全等的判定,利用SAS证出△CBD≌△EBD,可得出∠CDB=∠BDE,∠C=∠DEB,推出AD=AE,再根据三角形周长公式计算即可。
6.如图,已知∠1=∠2,若用“SAS”证明△ACB≌△BDA,还需加上条件( )
A.AD =BCB.BD=ACC.∠D=∠CD.OA=OB
【答案】B
【解析】【解答】解:已知∠1=∠2,AB=BA,根据SAS判定定理可知需添加BD=AC.
故答案为:B.
【分析】由已知条件可知:∠1=∠2,AB=BA,然后找出∠1、∠2的另一组邻边,令其相等即可.
7.如图, AB=AC , AD=AE , ∠BAC=∠DAE , ∠1=25° , ∠2=30° ,连接 BE ,点 D 恰好在 BE 上,则 ∠3= ( )
A.60ºB.55ºC.50ºD.无法计算
【答案】B
【解析】【解答】∵∠BAC=∠DAE ,
∴∠BAC−∠DAC=∠DAE−∠DAC ,
∴∠BAD=∠CAE ,
在 △BAD 和 △CAE 中, AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE ,
∴△BAD≅△CAE(SAS) ,
∴∠ABD=∠2=30° ,
∵∠1=25° ,
∴∠3=∠ABD+∠1=55° .
故答案为:B.
【分析】先利用“SAS”证明△BAD≅△CAE,再利用全等三角形的性质可得∠ABD=∠2=30°,最后利用三角形的外角计算即可。
8.如图, OA=OC , OB=OD 且 OA⊥OB , OC⊥OD ,下列结论:①ΔAOD≅ΔCOB ;②CD=AB ;③∠CDA=∠ABC ;其中正确的结论是 ()
A.①②B.①②③C.①③D.②③
【答案】B
【解析】【解答】解: ∵OA⊥OB , OC⊥OD ,
∴∠AOB=∠COD=90° .
∴∠AOB+∠AOC=∠COD+∠AOC ,
即 ∠COB=∠AOD .
在 ΔAOB 和 ΔCOD 中,
AO=CO∠AOB=∠CODBO=DO ,
∴ΔAOB≅ΔCOD(SAS) ,
∴AB=CD , ∠ABO=∠CDO .
在 ΔAOD 和 ΔCOB 中
AO=CO∠AOD=∠COBDO=BO ,
∴ΔAOD≅ΔCOB(SAS)
∴∠CBO=∠ADO ,
∴∠ABO−∠CBO=∠CDO−∠ADO ,
即 ∠ABC=∠CDA .
综上所述,①②③都是正确的.
故答案为:B.
【分析】由垂直的概念可得∠AOB=∠COD=90°,推出∠COB=∠AOD,证明△AOB≌△COD,得到AB=CD,∠ABO=∠CDO,进而证明△AOD≌△COB,得到∠CBO=∠ADO,推出∠ABC=∠CDA,据此判断.
二、填空题
9.如图,OM=ON,若用“边边边”证明△CMO≅△CNO,则需要添加的条件是 .
【答案】CM=CN
【解析】【解答】解:需要添加的条件是CM=CN,
OM=ONOC=OCCM=CN,
∴△CMO≅△CNO(SSS).
故答案为:CM=CN.
【分析】利用“SSS”证明三角形全等的判定方法求解即可。
10.如图,点D、E、F、B在同一直线上,AB∥CD、AE∥CF,且AE=CF,若BD=10,BF=2,则EF= .
【答案】6
【解析】【解答】解:∵AB∥CD、AE∥CF,
∴∠B=∠D,∠AEF=∠CFD,又
AE=CF,
∴△AEF≌△CFD,
∴DF=EB,
∴DE=BF,
∴EF=BD-2BF=6.
故答案为:6.
【分析】根据平行线的性质得∠B=∠D,∠AEF=∠CFD,利用AAS证明△AEF≌△CFD,得DF=EB,推出DE=BF,然后根据EF=BD-2BF进行计算.
11.如图,△ABC是等边三角形.在AC,BC边上各取一点P,Q,使 AP=CQ,且∠ABP=20°,AQ,BP相交于点O,则∠AQB= .
【答案】80°
【解析】【解答】解:∵△ABC是等边三角形,
∴AB=AC,∠BAP=∠ACQ=60°,
在△BAP和△ACQ中,
AB=AC∠BAP=∠ACQAP=CQ,
∴△BAP≌△ACQ(SAS),
∴∠CAQ=∠ABP=20°,
∴∠AQB=∠C+∠CAQ=60°+20°=80°.
故答案为:80°.
【分析】根据等边三角形的性质得出AB=AC,∠BAP=∠ACQ=60°,然后利用SAS证明△BAP≌△ACQ,得出∠CAQ=∠ABP=20°,最后根据三角形外角的性质求∠AQB即可.
12.如图,在△ABC中,AB=AC,D,E,F分别在BC,AC,AB上,且BF=CD,BD=CE,∠FDE=α,则∠A的度数是 .(用含α的代数式表示)
【答案】180°−2α
【解析】【解答】解:∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
在△BDF和△CED中,
BF=CD∠B=∠CBD=CE,
∴△BDF≌△CED(SAS)
∴∠EDC=∠DFB
∵∠FDC=∠EDF+∠EDC=∠B+∠BFD,
∴∠EDF=∠B=(180°−∠A)÷2=90°−12∠A,
∵∠FDE=α,
∴∠A=180°−2α,
故答案为:180°−2α.
【分析】利用SAS先求出△BDF≌△CED,再求出∠EDC=∠DFB,最后计算求解即可。
三、解答题
13.如图,在△ABC中,AB=8cm,BC=6cm,AC=5cm,BD是△ABC的角平分线,点E在AB边上,AE=2cm.求△AED的周长.
【答案】解:∵AB=8cm,BC=6cm,AE=2cm,
∴BE=AB−AE=8−2=6cm,BE=BC,
∵BD是△ABC的角平分线,
∴∠CBD=∠EBD,
在△CBD和△EBD中,
BE=BC∠CBD=∠EBDBD=BD,
∴△CBD≅△EBD,
∴CD=DE,
∵AC=AD+DC=5cm,
∴△AED的周长=AE+AD+DE=AE+AD+DC=2+5=7cm.
【解析】【分析】用边角边可证△CBD≌△EBD,则CD=DE,则△AED的周长=AE+AD+DE=AE+AD+DC可求解.
14.如图,等边△ABC的内部有一点D,连接BD,以BD为边作等边△BDE,连接AD,CE,求证:AD=CE.
【答案】证明:∵△ABC和△DBE为等边三角形
∴∠ABC =∠DBE=60°,AB=BC,DB=EB
∴∠ABC−∠DBC=∠DBE−∠DBC即∠ABD=∠CBE
在△ABD和△CBE中
AB=BC∠ABD=∠CBEBD=EB
∴△ABD≌△CBE(SAS)
∴AD=CE
【解析】【分析】根据等边三角形的性质可得∠ABC =∠DBE=60°,AB=BC,DB=EB,再证明∠ABD=∠CBE,然后利用“SAS”证明△ABD≌△CBE,最后利用全等三角形的性质可得AD=CE。
四、综合题
15.如图,在△ABC与△ADE中,AB=AD,AC=AE,BC=DE,点D在BC边上.
(1)求证:∠B=∠ADE;
(2)直接写出∠1与∠2的数量关系.
【答案】(1)证明:在△ABC和△ADE中,
AB=ADAC=AEBC=DE,
∴△ABC≌△ADE(SSS),
∴∠B=∠ADE;
(2)解:∠1=∠2
【解析】【解答】解:(2)∠1=∠2.理由如下:
∵∠ADC是△ABD的外角,
∴∠ADC=∠B+∠1,
∵∠ADC=∠ADE+∠2,且∠B=∠ADE,
∴∠1=∠2.
【分析】(1)根据SSS证明△ABC≌△ADE,利用全等三角形对应角相等即得结论;
(2)∠1=∠2.理由:由三角形外角的性质可得∠ADC=∠B+∠1,根据∠ADC=∠ADE+∠2,且∠B=∠ADE,即得结论.
16.在一次数学探究活动中:如图,在 ΔABC 中, AB=5 , AC=9 , AD 是 BC 边上的中线,求 AD 的取值范围.小明给出了一种方法,步骤如下:
①过点 C 作一条与 AB 平行的线;②延长 AD 交这条平行线于点 E ;
③通过证明得到 AD=DE , AB=CE ;
④利用 ΔACE 三边的数量关系得到 AD 的取值范围.
根据这个方法,请你完成下面两个问题:
(1)求证: AD=DE , AB=CE ;
(2)求 AD 的取值范围.
【答案】(1)证明: ∵AB//CD ,
∴∠B=∠DCE ,
在 ΔADB 和 ΔEDC 中,
∠B=∠DCEBD=CD∠ADB=∠EDC ,
∴ΔADB≅ΔEDC(ASA) ,
∴AD=DE , AB=CE
(2)解: ∵AC=9 , EC=AB=5 ,
∴9−5
∴AE=2AD ,
∴4<2AD<14 ,
∴2
(2)利用三角形的三边关系定理,可得到AE的取值范围,从而可求出AD的取值范围.
全等三角形判定——“边边边”
三边对应相等的两个三角形全等.(可以简写成“边边边”或“SSS”).
注意:如图,如果=AB,=AC,=BC,则△ABC≌△.
题型1:用边边边判定三角形全等
1.如图,A,F,B,D四点在同一条直线上,且AC=DE,CB=EF,AF=DB.求证:△ABC≌△DFE.
【答案】证明: ∵AF=DB ,
∴AF+BF=DB+BF ,即 AB=DF ,
在 △ABC 和 △DFE 中, AC=DECB=EFAB=DF ,
∴△ABC≅△DFE(SSS) .
【解析】【分析】根据A,F,B,D四点在同一条直线上,且AC=DE,CB=EF,AF=DB,得出AB=DF ,利用全等三角形的性质即可证出△ABC≌△DFE.
【变式1-1】如图,AC=DF,AD=BE,BC=EF.
求证:△ABC≌△DEF;
【答案】证明:∵AD=BE,
∴AD+DB=BE+DB,即AB=DE,
在△ABC和△DEF中, AC=DFAB=DEBC=EF ,
∴△ABC≌△DEF(SSS).
【解析】【分析】由AD=BE推出AB=DE,根据全等三角形的判定定理SSS证明即可.
【变式1-2】如图,已知AB=AD,BC=DC,求证:△ABC≌△ADC.
【答案】证明:∵在△ABC和△ADC中 AB=ADBC=DCAC=AC ,
∴△ABC≌△ADC(SSS).
【解析】【分析】由题意两个三角形有一条公共边AC,然后用边边边可证△ABC≌△ADC.
【变式1-3】如图,点B,E,C,F在一条直线上,AB=DE,AC =DF,BE=CF.求证:△ABC ≌△DEF;
【答案】证明:∵BE=CF,
∴BE+EC=CF+EC,
∴BC=EF,
在△ABC和△DEF中,
∵AB=DEAC=DFBC=EF ,
∴△ABC ≌△DEF(SSS).
【解析】【分析】根据SSS证明三角形全等即可;
题型2:格点与三角形全等对数问题
2.如图是5×5的正方形网格中,以D,E为顶点作位置不同的格点的三角形与△ABC全等,这样格点三角形最多可以画出( )
A.2个B.3个C.4个D.5个
【答案】C
【解析】【解答】解:如图.
故答案为:C.
【分析】根据三边对应相等的两个三角形全等画图即可.
【变式2-1】如图,方格纸中△DEF的三个顶点分别在小正方形的顶点上,像这样的三个顶点都在格点上的三角形叫格点三角形,则图中与△DEF全等的格点三角形最多有( )个.
A.8B.7C.6D.4
【答案】A
【解析】【解答】解: 如图,
图中与△DEF全等的格点三角形最多有:△DAF、△BGQ、△CGQ、△NFH、△AFH、△CKR、△KRW、△CGR,共8个.
故答案为:A.
【分析】根据三角形全等的判定定理(SSS),结合图形依次找出与 △DEF 全等的三角形.
【变式2-2】图①、图②均为边长为1的正方形网格.△ABC的顶点A、B、C均在小正方形的格点上,按要求在图①、图②中各画一个三角形.
(1)在图①中画一个三角形与△ABC全等,且只有1个公共顶点.
(2)在图②中画一个三角形与△ABC全等,且只有1条公共边.
【答案】(1)解:如图①中,△EFC即为所求.
在△EFC和△ABC中:
∵CE=CA,CF=CB,EF=AB,
∴△EFC≌△ABC(SSS).
(2)解:如图②中,△ABM即为所求.
在△ABM和△ABC中:
∵AM=AC,BM=BC,AB=AB,
∴△ABM≌△ABC(SSS).
【解析】【分析】(1)如图,以点C为公共点,利用SSS进行作图即可;
(2)如图,以AB为公共点,利用SSS进行作图即可.
题型3:用边边边尺规作图
3.请按以下要求作图(不写作法,保留作图痕迹):
用直尺和圆规作 ΔDEF ,使得 ΔDEF ≌ ΔABC ,并指出判定 ΔDEF ≌ ΔABC 的依据(请在作图区内画图)
【答案】解:作图如下,
根据作图知:EF=BC,ED=BA,DF=AC,
∴ΔDEF≌ΔABC(SSS) .
【解析】【分析】根据旋转中心的求法,对应点到旋转中心的距离相等,所以旋转中心在对应点连线的垂直平分线上即可做出旋转中心。
【变式3-1】作已知 △ ABC的全等三角形.(尺规作图,不写作法保留作图痕迹)
【答案】解:如图所示:
全等的依据是“SSS”.
【解析】【分析】先画一条射线,以射线的端点 B′ 为圆心,BC长为半径画弧,与射线交于点 C′ ,再以 B′ 为圆心,AB长为半径画弧,以 C′ 为圆心,AC长为半径画弧,这两个弧有一个交点记作点 A′ ,连接 A′B′ 、 A′C′ ,得到 △A′B′C′ 与 △ABC 全等.
全等三角形判定2——“边角边”
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”).
注意:如图,如果AB = ,∠A=∠,AC = ,则△ABC≌△. 注意:这里的角,指的是两组对应边的夹角.有两边和其中一边的对角对应相等,两个三角形不一定全等.
如图,△ABC与△ABD中,AB=AB,AC=AD,∠B=∠B,但△ABC与△ABD不完全重合,故不全等,也就是有两边和其中一边的对角对应相等,两个三角形不一定全等.
题型4:用边角边判定三角形全等
4.如图,点B、E、F、D在同一直线上,AB∥CD,AB=CD,BE=DF.求证:△ABF≅△CDE.
【答案】解:∵BE=DF,
∴BE+EF=DF+EF,
即:BF=DE,
∵AB∥CD,
∴∠B=∠D,
在△ABF和△CDE中,
AB=CD∠B=∠DBF=DE,
∴△ABF≅△CDE(SAS).
【解析】【分析】根据三角形全等的判定即可得出结论。
【变式4-1】已知:如图,AB、CD相交于点E,且E是AB、CD的中点.求证: △AEC≌△BED .
【答案】证明:∵E是AB、CD的中点.
∴AE=BE,CE=DE,
在 △AEC 和 △BED 中,
AE=BE∠AEC=∠BEDCE=DE
∴△AEC ≌ △BED(SAS) .
【解析】【分析】根据线段中点的概念可得AE=BE,CE=DE,由对顶角的性质可得∠AEC=∠BED,然后根据全等三角形的判定定理“SAS”进行证明.
【变式4-2】如图,点A、F、C、D在同一条直线上,AB∥DE,AB=DE,AF=DC.求证:△ABC≌△DEF.
【答案】证明:∵AB∥DE,
∴∠A=∠D,
∵AF=DC,
∴AF+CF=DC+CF,
即AC=DF,
在△ABC和△DEF中
AB=DE∠A=∠DAC=DF ,
∴△ABC≌△DEF(SAS)
【解析】【分析】利用平行线的性质可证得∠A=∠D,由AF=DC,可得到AC=DF;再利用SAS可证得结论.
题型5:判定三角形全等求线段长度
5.如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC中点,DE、DF分别是∠ADB、∠ADC的平分线,若DE=2,求DF的长.
【答案】解:如图,
∵AB=AC,D为BC中点,
∴∠ADB=∠ADC=90°,∠1=∠2,
∵DE、DF分别是∠ADB,∠ADC的平分线,
∴∠ADE=∠BDE=45°,∠ADF=∠FDC=45°,
∴∠ADE=∠ADF,
在△ADE和△ADF中,
∠1=∠2AD=AD∠ADE=∠ADF
∴△ADE≌△ADF(ASA),
∴DF=DE=2.
【解析】【分析】根据等腰三角形的三线合一得出 ∠ADB=∠ADC=90°,∠1=∠2, 根据角平分线的定义得出 ∠ADE=∠ADF=45°,从而利用ASA判断出 △ADE≌△ADF ,根据全等三角形的对应边相等得出DF=DE.
【变式5-1】已知:如图, AC ⊥ BC于C , DE ⊥ AC于E , AD ⊥ AB于A , BC =AE.若AB = 5 ,求AD 的长。
【答案】解:∵AC⊥BC于C,DE⊥AC于E,
∴∠C=∠AED=90°,∠CAB+∠B=90°,
∵AD⊥AB于A,
∴∠CAB+∠EAD=90°,
∴∠B=∠EAD(同角的余角相等)
∵BC=AE,
∴△ABC≌△DAE(ASA),
∴AD=AB=5
【解析】【分析】根据同角的余角相等得出 ∠B=∠EAD ,从而利用ASA判断出 △ABC≌△DAE ,根据全等三角形的对应边相等得出AD=AB=5.
【变式5-2】已知:如图,AB=AD,BC=DC,E、F分别是DC、BC的中点,
求证: AE=AF
【答案】 解:连接AC,
在△ADC和△ABC中,
AB=ADBC=DCAC=AC
∴△ADC≌△ABC(SSS)
∴∠ECA=∠FCA
∵点E,F分别是DC、BC的中点,
∴2CE=DC,2CF=BC
∵DC=BC
∴CE=CF;
在△AEC和△AFC中,
CE=CF∠ECA=∠FCAAC=AC
∴△AEC≌△AFC(SAS)
∴AE=AF.
【解析】【分析】连接AC,图形中隐含公共边AC=AC,利用SSS证明△ADC≌△ABC,利用全等三角形的性质,易证∠ECA=∠FCA;再利用线段中点的定义,可证得CE=CF,利用SAS证明△AEC≌△AFC,然后利用全等三角形的性质,可证得结论。
题型6:判定三角形全等求角度
6.如图, △ACD 是等边三角形,若 AB=DE , BC=AE , ∠E=115° ,求 ∠BAE 的度数.
【答案】解:∵△ACD 是等边三角形,
∴AC=AD , ∠CAD=60° ,
在 △ABC 与 △DEA 中, AB=DEBC=AEAC=AD ,
∴△ABC ≌ △DEA (SSS),
∴∠BAC=∠ADE ,
∴∠BAC+∠DAE=∠ADE+∠DAE=180°−115°=65° ,
∴∠BAE=∠BAC+∠DAE+∠CAD=65°+60°=125° .
【解析】【分析】根据△ACD 是等边三角形,得出AC=AD , ∠CAD=60° ,利用SSS证明出△ABC ≌ △DEA ,得出∠BAC=∠ADE ,得出∠BAC+∠DAE=65° ,从而得出答案。
【变式6-1】如图,在△ABC中,AB=AC,BD=CF,BE=CD,∠FDE=58°,求∠A的度数.
【答案】解:∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
在△EDB和△DFC中,
BD=CF∠B=∠CBE=CD
∴△EDB≌△DFC(SAS),
∴∠BED=∠CDF,
对于△BED,有∠B+∠BED=∠EDC,
又∵∠EDC=∠FDE+∠CDF,
∴∠B=∠FDE=58°,
∴∠C=∠B=58°,
∴∠A=180°-∠B-∠C=180°-58°-58°=64°.
【解析】【分析】由等腰三角形的性质可得∠B=∠C,证明△EDB≌△DFC,得到∠BED=∠CDF,由外角的性质可得∠B+∠BED=∠EDC,由角的和差关系可得∠EDC=∠FDE+∠CDF,进而求出∠B、∠C的度数,接下来根据三角形内角和定理进行求解.
【变式6-2】如图,在△ABC中,AB=AC,∠B=65°,D为BC上一点,BF=CD,CE=BD,求∠EDF的度数.
【答案】解:∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
在△FBD与△DCE中,
BF=CE∠B=∠CBD=CE ,
∴△FBD≌△DCE(SAS),
∴∠BFD=∠CDE,
∴∠B=180°-∠BDF-∠BFD=∠EDF=180°-∠BDF-∠CDE,
∵∠B=65°,
∴∠EDF=65°.
【解析】【分析】先求出 ∠B=∠C, 再利用SAS证明 △FBD≌△DCE ,最后求解即可。
题型7:判定三角形全等与证明
7.如图:△ABC和△ADE是等边三角形,证明:BD=CE.
【答案】证明:∵△ABC和△ADE是等边三角形,
∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°.
∴∠BAD=∠CAE.
在△BAD与△CAE中,
∵AB=AC∠BAD=∠CAE,AD=AE,
∴△BAD≌△CAE(SAS).
∴BD=CE
【解析】【分析】根据等边三角形的性质得到AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=60°,再利用“SAS”证明△BAD≌△CAE,即可证明结论。
【变式7-1】如图,AC⊥BC,DC⊥EC,AC=BC,DC=EC,则AE、BD有什么关系?请证明你的结论.
【答案】解:AE=BD,AE⊥BD,证明如下:
如图,设AC与BD交于点N,
∵AC⊥BC,DC⊥EC,
∵∠ACB=∠DCE=90°,∠ACD=∠ACD,
∴∠DCB=∠ECA,
在△DCB和△ECA中, AC=BC∠DCB=∠ECACD=CE ,
∴△DCB≌△ECA(SAS),
∴∠A=∠B,BD=AE,
∵∠AND=∠BNC,∠B+∠BNC=90°,
∴∠A+∠AND=90°,
∴AE⊥BD.
【解析】【分析】首先根据SAS证明△DCB≌△ECA,然后可得BD=AE,然后根据等量代换可得∠A+∠AND=90°,从而证明AE⊥BD.
题型8:判定三角形全等与探究
8.探究等边三角形“手拉手”问题.
(1)如图1,已如△ABC,△ADE均为等边三角形,点D在线段BC上,且不与点B、点C重合,连接CE,试判断CE与BA的位置关系,并说明理由;
(2)如图2,已知△ABC、△ADE均为等边三角形,连接CE、BD,若∠DEC=60°,则∠ADB+∠ADE= 度;
(3)如图3,已知点E在等边三角形△ABC外,点E、点B位于线段AC的异侧,连接BE、CE.若∠BEC=60°,猜想线段BE、AE、CE三者之间的数量关系,并说明理由.
【答案】(1)解:结论:CE//AB.
理由:如图1中,∵△ABC,△ADE都是等边三角形,
∴AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=∠B=60°,
∴∠BAD=∠CAE,
∴△BAD≌△CAE(SAS),
∴∠B=∠ACE=60°,
∴∠BAC=∠ACE=60°,
∴AB//CE.
(2)180
(3)解:结论:BE=AE+EC.
理由:在线段BE上取一点H,使得BH=CE,设AC交BE于点O.
∵△ABC是等边三角形,
∴AB=BC,∠BAC=60°,
∵∠BEC=60°,
∴∠BAO=∠OEC=60°,
∵∠AOB=∠EOC,
∴∠ABH=∠ACE,
∵BA=CA,BH=CE,
∴△ABH≌△ACE(SAS)
∴∠BAH=∠CAE,AH=AE,
∴∠HAE=∠BAC=60°,
∴△AEH是等边三角形,
∴AE=EH,
∴BE=BH+EH=EC+AE,
即BE=AE+EC.
【解析】【解答】解:(2)证明:如图2中,
由(1)可知,△ABD≌△ACE,
∴∠ADB=∠AEC,
∵△ADE是等边三角形,
∴∠AED=∠ADE=60°,
∵∠BEC=60°,
∴∠AEC=∠AED+∠BEC=120°,
∴∠ADB=∠AEC=120°,
∴∠ADB+∠ADE=120°+60°=180°,
故答案为:180;
【分析】(1)利用“SAS”证明 △BAD≌△CAE ,根据全等三角形的性质得到 ∠B=∠ACE=60°, 根据平行线的判定证明即可;
(2)根据题意可证明∠AEC=120°,证明 △BAD≌△CAE ,得到∠ADB=∠AEC=120°,进而得到答案;
(3) 在线段BE上取一点H,使得BH=CE,设AC交BE于点O. 利用“SAS”证明 △ABH≌△ACE ,得到 ∠BAH=∠CAE,AH=AE, 证出 △AEH是等边三角形, 再利用等边三角形的性质求解即可。
【变式8-1】综合与探究:如图,在 △ABC , AB=AC , ∠CAB=α ,
(1)操作与证明:如图①,点D为边 BC 上一动点.连接 AD ,将线段 AD 绕点A逆时针旋转角度 α 至 AE 的位置,连接 DE , CE .求证: BD=CE ;
(2)探究与发现:如图②,当 α=90° 时,点D变为 BC 延长线上一动点,连接 AD ,将线段 AD 绕点A按照逆时针旋转角度 α 至 AE 位置,连接 DE , CE .可以发现:线段 BD 和 CE 的数量关系是 ;
(3)判断与思考:判断(2)中的线段 BD 和 CE 的位置关系,并说明理由.
【答案】(1)证明:由旋转可知, AD=AE , ∠DAE=∠CAB=α
∴∠CAB−∠CAD=∠DAE−∠CAD ,则 ∠BAD=∠CAE
在 △BAD 和 △CAE 中
∵AB=AC , ∠BAD=∠CAE , AD=AE
∴△BAD≌△CAE(SAS)
∴BD=CE
(2)BD=CE
(3)解: BD⊥CE 理由如下:
∵∠CAB=α=90° , AB=AC .
∴∠B=∠ACB=45°
由旋转,可得 AD=AE , ∠DAE=∠CAB=90°
∴∠CAB+∠CAD=∠DAE+∠CAD ,则 ∠BAD=∠CAE
在 △BAD 和 △CAE 中
∵AB=AC , ∠BAD=∠CAE , AD=AE
∴△BAD≌△CAE(SAS)
∴∠B=∠ACE=45°
∴∠BCE=∠ACB+∠ACE=90°
∴BD⊥CE
【解析】【解答】解:(2)由旋转可知, AD=AE , ∠DAE=∠CAB=α ,
∴∠CAB+∠CAD=∠DAE+∠CAD ,则 ∠BAD=∠CAE
在 △BAD 和 △CAE 中
∵AB=AC , ∠BAD=∠CAE , AD=AE
∴△BAD≌△CAE(SAS)
∴BD=CE ,
故答案是: BD=CE ;
【分析】(1)由旋转的性质得到AD=AE,∠DAE=∠CAB,从而证明△BAD≌△CAE(SAS),即可得到结论;
(2)同(1)小题的方法,证明△BAD≌△CAE(SAS),即可得到结论;
(3)先证明△BAD≌△CAE(SAS),从而得到∠B=∠ACE=45°,进而即可得到结论。
初中12.1 全等三角形同步训练题: 这是一份初中<a href="/sx/tb_c10243_t7/?tag_id=28" target="_blank">12.1 全等三角形同步训练题</a>,文件包含121全等三角形的性质讲+练-重要笔记2022-2023学年八年级数学上册重要考点精讲精练人教版原卷版docx、121全等三角形的性质讲+练-重要笔记2022-2023学年八年级数学上册重要考点精讲精练人教版解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共29页, 欢迎下载使用。
数学九年级下册29.1 投影课后复习题: 这是一份数学九年级下册<a href="/sx/tb_c28356_t7/?tag_id=28" target="_blank">29.1 投影课后复习题</a>,文件包含29投影与视图原卷版docx、29投影与视图解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共43页, 欢迎下载使用。
人教版九年级下册27.1 图形的相似测试题: 这是一份人教版九年级下册<a href="/sx/tb_c10293_t7/?tag_id=28" target="_blank">27.1 图形的相似测试题</a>,文件包含271图形的相似讲+练7大题型-重要笔记2022-2023学年九年级数学下册重要考点精讲精练人教版原卷版docx、271图形的相似讲+练7大题型-重要笔记2022-2023学年九年级数学下册重要考点精讲精练人教版解析版docx等2份试卷配套教学资源,其中试卷共31页, 欢迎下载使用。