初中数学人教版八年级上册13.3.1 等腰三角形课时训练

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一、单选题
1．等腰三角形的对称轴是（ ）
A．顶角的平分线B．底边上的高
C．底边上的中线D．底边上的高所在的直线
【答案】D
【解析】【解答】解：对称轴是一条直线，本题中A、B、C选项都是指线段．
故答案为：D．
【分析】根据等腰三角形的性质进行求解，注意图形的对称轴是直线，而不是线段．
2．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∠ABC和∠ACB的平分线BE、CD交于点F，则图中共有等腰三角形( )
A．8个B．7个C．6个D．5个
【答案】A
【解析】【解答】图中的等腰三角形有△ABC、△BCE、△CDB、△BFC、△BFD、△CEF、△AEB、△ADC，
故答案为：A.
【分析】根据题目条件，求出∠ABC和∠ACB以及∠BEC的度数，按照从小到大的顺序计算等腰三角形的个数即可。
3．等腰三角形的一个外角为140°，那么底角等于（ ）
A．40°B．100°C．70°D．40°或70°
【答案】D
【解析】【解答】首先要讨论140°的角是顶角的外角还是底角的外角，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出底角．
当等腰三角形的顶角的外角为140°，则顶角等于40°，所以底角等于70°；
当等腰三角形的底角的外角为140°，则底角等于40°．
故答案为：D.
【分析】因为等腰三角形的一个外角既可以是顶角的外角，也可以是底角的外角，所以分两种情况讨论：
（1）当等腰三角形的顶角的外角为140°时，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得顶角等于40°，所以底角等于70°；
（2）当等腰三角形的底角的外角为140°时，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得底角等于40°。
4．如图，△ABC中，AB＝AC，BD＝CE，BF＝CD，若∠A＝50°，则∠EDF的度数是（ ）
A．75°B．70°C．65°D．60°
【答案】C
【解析】【解答】∵AB=AC，∠A=50°，
∴∠B=∠C= 12 （180°﹣∠A）=65°．
在△BDF和△CED中， BD=CE∠B=∠CBF=CD ，
∴△BDF≌△CED（SAS），
∴∠CDE=∠BFD．
∵∠BDF+∠BFD+∠B=180°，∠BDF+∠EDF+∠CDE=180°，
∴∠EDF=∠B=65°．
故答案为：C．
【分析】根据等腰三角形的性质可得出∠B=∠C及∠B的度数，结合BD=CE、BF=CD，即可证出△BDF≌△CED（SAS），由全等三角形的性质可得出∠CDE=∠BFD，再根据三角形内角和定理及平角等于180°，即可得出∠EDF=∠B，此题得解．
5．如果等腰三角形两边长是8cm和4cm，那么它的周长是（ ）
A．16cmB．12cmC．20cmD．16cm或20cm
【答案】C
【解析】【分析】∵等腰三角形有两边分别分别是4cm和8cm，∴此题有两种情况：
【解答】①若4为底边，那么8就是腰，则等腰三角形的周长为4+8+8=20cm，
②若8底边，那么4是腰，4+4=8，所以不能围成三角形应舍去。
∴该等腰三角形的周长为20cm，故选C.
【点评】本题解题时涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去。
6．如图，在 △ ABC中，AB＝AC，∠C＝65°，点D是BC边上任意一点，过点D作DF∥AB交AC于点E，则∠FEC的度数是（ ）
A．120°B．130°C．145°D．150°
【答案】B
【解析】【解答】∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝65°，
∵DF∥AB，
∴∠ EDC＝∠B＝65°，
∴∠FEC＝∠EDC＋∠C＝65°＋65°＝130°．
故答案为：B．
【分析】根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C，利用平行线的性质得到∠ EDC＝∠B，利用三角形的外角性质即可求解．
二、填空题
7．等腰三角形有一个角为70°，则底角的度数为 .
【答案】70°或55°
【解析】【解答】解：根据题意,一个等腰三角形的一个角等于70°，
①当这个角是底角时,即该等腰三角形的底角的度数是70°，
②当这个角是顶角时，设该等腰三角形的底角是x，
则2x+70°=180°，
解得x=55°,即该等腰三角形的底角的度数是55°.
故答案为：70°或55°.
【分析】根据等腰三角形的两底角相等，分①当这个角是底角时，②当这个角是顶角时两种情况考虑即可解决问题.
8．若等腰三角形的两条边长分别为7cm和14cm，则它的周长为 cm．
【答案】35
【解析】【解答】解：①14cm为腰，7cm为底，此时周长为14+14+7=35cm；
②14cm为底，7cm为腰，则两边和等于第三边无法构成三角形，故舍去．
故其周长是35cm．
故答案为：35．
【分析】用分类讨论的思想①14cm为腰，7cm为底，②14cm为底，7cm为腰，再根据三角形三边之间的关系判断即可。
9．等腰三角形一边的长是5，另一边的长是10，则它的周长是 .
【答案】25
【解析】【解答】解：若腰为5，则5+5＝10，不满足三角形三边关系，舍去；
若腰为10，则它的周长＝10+10+5＝25.
故答案为25.
【分析】分情况讨论：腰为5时；腰为10时，分别利用三角形的三边关系定理，可确定出此三角形的腰长和底边，然后可求出此三角形的周长.
三、作图题
10．如图，已知：AB∥CD．
（1）在图中，用尺规作∠ACD 的平分线交 AB 于 E 点；
（2）判断△ACE 的形状，并证明.
【答案】（1）解：如图即为所求。
（2）解：△ACE是等腰三角形.
证明: ∵CE平分∠ACD，∴∠ACE=∠ECD ，
∵AB ∥ CD∴∠ECD=∠AEC，
∴∠ACE=∠AEC, △ACE是等腰三角形
【解析】【分析】（1）利用尺规作图法，作∠ACD 的平分线交 AB于E点 。
（2）利用角平分线的定义，可证∠ACE=∠ECD，再根据平行线的性质，可得到∠ECD=∠AEC，从而可证得∠ACE=∠AEC，继而可证得结论。
四、解答题
11．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，BD是∠ABC的平分线，求∠BDC的度数．
【答案】解：∵AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=∠C=180−∠A2=70°，
∵BD是∠ABC的平分线，
∴∠DBC=12∠ABC=35°，
∴∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=75°．
【解析】【分析】首先由AB=AC，利用等边对等角和∠A的度数求出∠ABC和∠C的度数，然后由BD是∠ABC的平分线，利用角平分线的定义求出∠DBC的度数，再根据三角形的内角和定理即可求出∠BDC的度数．
12．如图，AB=AC，BD=DC，DF⊥AB，DE⊥AC，垂足分别是F，E．求证：DE=DF．
​
【答案】证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BFD=∠CED=90°，
∵BD=DC，
∴△BDF≌△CDE，
∴DE=DF．
【解析】【分析】要证DE=DF，只需证△BDF≌△CDE，已知AB=AC，可得∠B=∠C，又已知BD=DC，∠BFD=∠CED=90°，则两三角形全等可证．
五、综合题
13．如图，在△ABC中，AB＝AC，M，N分别是AB，AC边上的点，并且MN∥BC．
（1）△AMN是否是等腰三角形？说明理由；
（2）点P是MN上的一点，并且BP平分∠ABC，CP平分∠ACB．
①求证：△BPM是等腰三角形；
②若△ABC的周长为a，BC＝b（a＞2b），求△AMN的周长（用含a，b的式子表示）．
【答案】（1）解： ∵AB=AC ，
∴∠ABC=∠ACB ．
∵MN//BC ．
∴∠AMN=∠ABC ， ∠ANM=∠ACB ，
∴∠AMN=∠ANM ，
∴AM=AN ，
∴ΔAMN 是等腰三角形；
（2）解：①证明： ∵BP 平分 ∠ABC ，
∴∠PBC=∠PBM ，
∵MN//BC ，
∴∠MPB=∠PBC ，
∴∠MBP=∠MPB ，
∴ △BPM是等腰三角形；
②∵CP 平分 ∠ACB ，
∴∠PCB=∠PCN ，
∵MN//BC ，
∴∠NPC=∠PCB ，
∴∠NCP=∠NPC ，
∴NP=NC ，
同理可得： MP=MB ，
∴ △AMN的周长 =AM+MP+NP+AN ，
=AM+MB+NC+AN ，
=AB+AC ，
又 ∵ △ABC的周长为a，BC＝b（a＞2b）
∴AB+AC=a−b ，
∴ △AMN的周长 =a−b ．
【解析】【分析】（1）由 MN//BC ，可知 ∠AMN=∠ABC ， ∠ANM=∠ACB ，进而证得△AMN是等腰三角形；（2）①由于 MN//BC ， BP 平分 ∠ABC ， CP 平分 ∠ACB ，易证 BM=MP ，②同理可得 NC=NP ，进而得到△AMN的周长 =AB+AC 即可．
14．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连结EC．
（1）求∠ECD的度数.
（2）若CE=12，求BC的长.
【答案】（1）解：∵DE垂直平分AC， ∴CE=AE， ∴∠ECD=∠A=36°
（2）解：∵AB=AC，∠A=36°， ∴∠B=∠ACB=72°，∵∠ECD=36°，∴∠BCE=∠ACB﹣∠ECD=36°，
∠BEC=72°=∠B，
∴BC=EC=12
【解析】【分析】（1）由垂直平分线的性质可得 CE=AE，利用等边对等角即可求出∠ECD=∠A=36°。（2）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和可得∠BEC=72°，由等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得∠B=72° ，由等角对等边可得 BC=EC=12。
等腰三角形
（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.
（2）等腰三角形性质
①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；
②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.
（3）等腰三角形的判定
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.
题型1：等腰三角形与角度问题
1.1．若等腰三角形的一个外角是70°，则它的底角的度数是（ ）
A．110°B．70°C．35°D．55°
【答案】C
【解析】【解答】解： ∵ 等腰三角形的一个外角是 70° ，
∴ 与这个外角相邻的内角的度数为 180°−70°=110° ，
∴ 这个等腰三角形的顶角的度数为 110° ，底角的度数为 12×(180°−110°)=35° ，
故答案为：C.
【分析】利用等腰三角形的一个外角是70°，可求出与这个外角相邻的内角的度数，由于这个角是钝角，只能做顶角，然后根据三角形的内角和定理及等腰三角形的性质求出它的底角的度数即可.
【变式1-1】如图，B在AC上，D在CE上， AD=BD=BC ， ∠ACE=25° ， ∠ADE 的度数为（ ）
A．50°B．65°C．75°D．80°
【答案】C
【解析】【解答】解： ∵BD=BC ， ∠ACE=25° ，
∴∠BDC=∠C=25° ，
∴∠ABD=50° ，
∵AD=BD ，
∴∠A=∠ABD=50° ，
∴∠ADE=∠A+∠C=75° .
故答案为：C.
【分析】由等边对等角得∠BDC=∠C=25°，利用三角形外角的性质求出∠ABD=50°，由等边对等角得∠A=∠ABD=50°，根据三角形外角的性质求出∠ADE=∠A+∠C=75°.
【变式1-2】等腰三角形的一个内角是 70° ，则它底角的度数是（ ）
A．70°B．70° 或 40°
C．70° 或 55°D．55°
【答案】C
【解析】【解答】解：当70°角为顶角时，它的底角为 12(180°−70°)=55° ，
当70°角为底角时，它底角的度数是70°
故答案为：C.
【分析】分情况讨论：当70°角为底角时；当70°角为顶角时，利用三角形的内角和定理求出其底角的度数，即可求解.
题型2：等腰三角形与周长问题
2.两边长为4和8的等腰三角形的周长为（ ）
A．16B．20C．16或20D．16或18
【答案】B
【解析】【解答】解：当腰长为4时，4+4＝8，不符合三角形三边关系，故舍去；
当腰长为8时，符合三边关系，其周长为8+8+4＝20
故该等腰三角形的周长为20.
故答案为：B.
【分析】分腰长为4、腰长为8，根据等腰三角形的性质以及三角形的三边关系确定出三角形的三边长，进而可得周长.
【变式2-1】如图，在 △ABC中，AD平分∠BAC， DE//AC ，AB=7cm，BD=3cm，则 △BDE的周长为（ ）
A．13cmB．10cmC．4cmD．7cm
【答案】B
【解析】【解答】解：∵AD平分∠BAC
∴∠DAB=∠DAC
∵DE//AC
∴∠EAD=∠DAC
∴∠EAD=∠DAB
∴EA=ED
∴BE+ED=BE+EA=AB
∵AB=7cm，BD=3cm
∴△BDE的周长 =BD+ED+BE=BD+AB=10cm
故答案为：B．
【分析】由角平分线的定义可得∠DAB=∠DAC，∠EAD=∠DAC，由平行线的性质可得∠EAD=∠DAC，从而得出∠EAD=∠DAB，利用等角对等边可得EA=ED，根据△BDE的周长 =BD+ED+BE=BD+AB，从而得出结论.
【变式2-2】等腰三角形两条边长分别是6和8，则其周长为（ ）
A．20B．22C．20或22D．24
【答案】C
【解析】【解答】解：①当6是腰长时，三边分别为6、6、8时，能组成三角形，
周长＝6+6+8＝20，
②当6是底边时，三边分别为6、8、8，能组成三角形，
周长＝6+8+8＝22，
综上所述，等腰三角形的周长为20或22.
故答案为：C.
【分析】分6为腰长、6为底边，利用等腰三角形的性质以及三角形的三边关系判断是否能构成三角形，进而求出周长.
题型3：等腰三角形与多选项问题
3.等腰三角形ABC中，AB=AC，AD是角平分线，则“①AD⊥BC，②BD=DC，③∠B=∠C，④∠BAD=∠CAD”中，结论正确的个数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
【答案】A
【解析】【解答】解：∵AB=AC，AD是角平分线，
根据“三线合一”可得AD⊥BC，BD=DC，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵AD是角平分线，
∴∠BAD=∠CAD
结论正确是①②③④共4个.
故答案为：A.
【分析】由等腰三角形的性质得AD⊥BC，BD=DC，∠B=∠C，由角平分线的概念得∠BAD=∠CAD，据此判断.
【变式3-1】如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC到E，使CE=CD，连接DE.下面给出的四个结论，其中正确的个数是（ ）
① BD⊥AC； ②BD平分∠ABC； ③BD=DE； ④∠BDE=120°
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】D
【解析】【解答】解： ①② ∵△ABC是等边三角形，BD是中线，∴BD⊥AC，BD平分∠ABC，正确；
③由（1）知BD平分∠ABC，∴∠DBC=30°，∵CD=CE，∴∠E=∠CDE=12∠ACB=30°，∴∠DBC=∠E，∴DB=DE，正确；∠BDE=180°-∠DBC-∠E=180°-30°×2=120°，正确；
综上，正确的有4项，
故答案为：D.
【分析】根据等边三角形的性质，结合BD是中线，对 ①②作出判断；根据等边三角形的性质，结合CD=CE，即可求出∠E的度数，对③ 作出判断；最后根据三角形内角和的性质求出∠BDC即可对 ④ 作判断.
【变式3-2】如图，∠ABC，∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论正确的是：①△BDF，△CEF都是等腰三角形；②DE=BD＋CE；③△ADE的周长为AB＋AC；④BD=CE.( )
A．③④B．①②③C．①②D．②③④
【答案】B
【解析】【解答】解：∵BF是∠ABC的平分线，∴∠CBF=∠DBF，∵DE∥BC，∴∠DFB=∠CBF，∴∠DBF=∠DFB，
∴△BDF为等腰三角形，同理△CEF是等腰三角形，故 ①正确 ；由 ①得BD=DF，EC=EF，∴DE=DF+EF=BD+CE，故② 正确；△ADE的周长=AD+DE+AE=AD+BD+CE+AE=AB+AC，故 ③ 正确；根据题意无法推出 BD=CE，故④ 错误.
综上，正确的是 ①②③ .
故答案为：B.
【分析】根据角平分线的定义，结合平行线的性质推出∠DBF=∠DFB，则可证明△BDF为等腰三角形，同理△CEF是等腰三角形，则可判断①；利用①的结果，根据等腰三角形，结合线段间的和差关系即可判断 ②；利用②的结果，则可推出 ③ 正确；根据题意，无法确定 BD=CE.
题型4：等腰三角形与三线合一问题
4.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，BE⊥AC于E．求证：∠BAC=2∠EBC．
【答案】解：∵在△ABC中，AB=AC，
∴△ABC为等腰三角形，
∵D是BC的中点，
∴AD为BC的中线，
由“三线合一”知，AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，
∴∠ADB=90°，∠BAC=2∠DAC，
设AD与BE交于F点，
∵BE⊥AC，
∴∠AEB=∠ADB=90°，
∵∠AFB=∠ADB+∠DBE=∠AEB+∠DAE，
∴∠DBE=∠DAE，即：∠EBC=∠DAC，
∴∠BAC=2∠EBC．
【解析】【分析】 利用等腰三角形“三线合一”的性质可得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，即得∠ADB=90°，∠BAC=2∠DAC，设AD与BE交于F点， 由垂直的定义可得 ∠AEB=∠ADB=90°， 利用三角形外角的性质可得∠AFB=∠ADB+∠DBE=∠AEB+∠DAE，即得∠DBE=∠DAE，即得∠BAC=2∠EBC．
【变式4-1】如图，在 △ABC 中， AB=AC ，AD是BC边上的中线， AE⊥BE 于点E，且 BE=12BC ．求证：AB平分 ∠EAD ．
【答案】解：∵AB=AC ，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC ， BD=12BC ．
∵BE=12BC ，
∴BE=BD ．
∵AE⊥BE ，
∴∠E=∠ADB=90°，
又∵AB=AB，
∴Rt△AEB≌ADB（HL）
∴∠EAB=∠DAB，
∴AB平分 ∠EAD ．
【解析】【分析】利用“HL”证明 Rt△AEB≌ADB ，再利用全等三角形的性质即可得到 ∠EAB=∠DAB， 即可证出 AB平分 ∠EAD
【变式4-2】如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，AD⊥BC于点D， E是AB上一点，满足BE＝CD，求∠ADE的度数．
【答案】解：∵AB=AC，∠BAC=80°
∴∠B=∠C=50°
∵AB=AC，AD⊥BC
∴∠ADB=90°，BD=CD
∵BE=CD
∴BE=BD
∴∠BDE=∠BED=65°
∴∠ADE=∠ADB —∠BDE=90°— 65°= 25°
【解析】【分析】根据AB=AC,得到△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，得到∠ADB=90°，∠B=∠C=50°，BD=DC=BE，所以△BDE是等腰三角形，∠BDE=∠BED=65°，∠ADE=∠ADB —∠BDE得到答案.
题型5：等腰三角形与个数问题
5.如图所示，点E、F为网格中的格点，△DEF为等腰三角形，且点D是网格中的格点，则符合条件的三角形点D有（ ）
A．4个B．6个C．9个D．10个
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，当EF为底边时，则DE=DF，点D在线段EF的垂直平分线上，则这样的D点有5个，
当EF为腰时，则DF=EF或DE=EF，这样的D点有4个，
故符合条件的点D有9个，
故答案为：C．
【分析】当EF为底边时，则DE=DF，点D在线段EF的垂直平分线上，则这样的D点有5个，当EF为腰时，则DF=EF或DE=EF，这样的D点有4个，由此得出答案。
【变式5-1】如图，已知直角三角形ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=60°，在直线BC或AC上取一点P，使得△ABP为等腰三角形，则符合条件的点有（ ）
A．4个B．5个C．6个D．7个
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，当AP1=AP2=AB时，△ABP为等腰三角形，
当BP3=BP4=AB时，△ABP为等腰三角形，
当BP2=AB时，而∠BAC=60°，
所以△ABP2是等边三角形，
当AP5=BP5时，△ABP为等腰三角形，
符合条件的点P有5个，
故答案为：B
【分析】分三种情况：AP=AB，BP=AB或BP=AP，据此分别求解即可.
【变式5-2】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB=36°，以C为原点，C所在直线为y轴，BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系 ，在坐标轴上取一点M使△MAB 为等腰三角形，符合条件的 M 点有（ ）
A．6个B．7个C．8个D．9个
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，
①以A为圆心，AB为半径画圆，交直线AC有二点M1，M2，交BC有一点M3，（此时AB＝AM）；
②以B为圆心，BA为半径画圆，交直线BC有二点M5，M4，交AC有一点M6（此时BM＝BA）．
③AB的垂直平分线交AC一点M7（MA＝MB），交直线BC于点M8；
∴符合条件的点有8个．
故答案为：C．
【分析】根据等腰三角形的判定方法求解即可。
题型6：等腰三角形与判定问题
6.如图，在△ABC中，AB=AC，D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC.
（1）试问△ADE是否是等腰三角形，并说明理由.
（2）若M为DE上的点，且BM平分∠ABC，CM平分∠ACB，若ΔADE的周长为20，BC=8.求ΔABC的周长.
【答案】（1）解： △ADE是等腰三角形 ，理由如下：
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，
∴∠ADE=∠AED，
∴ △ADE是等腰三角形 ；
（2）解：∵DE∥BC，BM平分∠ABC，CM平分∠ACB，.
∴∠MBC=∠DMB=∠DBM，∠MCB=∠MCE=∠EMC..
∴BD=DM，ME=CE..
∵△ADE的周长=AD+AE+DM+ME=20，.
∴AD+AE+BD+CE=20..
∴△ABC的周长=（AD+AE+BD+CE）+BC=20+8=28.
【解析】【分析】（1）根据等边对等角得出∠ABC=∠ACB，根据二直线平行，同位角相等得出∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB，故∠ADE=∠AED，据此即可得出结论；
（2）由平行线的性质和角平分线定义易得∠MBC=∠DMB=∠DBM，∠MCB=∠MCE=∠EMC，由等角对等边可得BD=DM，ME=CE，于是△ABC的周长=（AD+AE+BD+CE）+BC可求解.
【变式6-1】如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，DE是AC的垂直平分线．
（1）求证：△BCD是等腰三角形；
（2）△BCD的周长是a，BC=b，求△ACD的周长（用含a，b的代数式表示）
【答案】（1）证明：∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠B=∠ACB=180°−∠A2=72°，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD=DC，
∴∠ACD=∠A=36°，
∵∠CDB是△ADC的外角，
∴∠CDB=∠ACD+∠A=72°，
∴∠B=∠CDB，
∴CB=CD，
∴△BCD是等腰三角形；
（2）解：∵AD=CD=CB=b，△BCD的周长是a，
∴AB=a-b，
∵AB=AC，
∴AC=a-b，
∴△ACD的周长=AC+AD+CD=a-b+b+b=a+b．
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线求出 AD=DC， 再求出 CB=CD， 最后证明即可；
（2）先求出 AB=a-b， 再求出 AC=a-b， 最后求周长即可。
【变式6-2】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．
【答案】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
在△DBE和△ECF中，
BE=CF∠ABC=∠ACBBD=CE ，
∴△DBE≌△ECF，
∴DE=EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）∵△DBE≌△ECF，
∴∠1=∠3，∠2=∠4，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠B= 12 （180°-40°）=70°，
∴∠1+∠2=110°，
∴∠3+∠2=110°，
∴∠DEF=70°．
【解析】【分析】（1）利用边角变定理证明△DBE≌△ECF，得出DE=EF，即可证明△DEF是等腰三角形；
（2）根据△DBE≌△ECF，得出∠1=∠3，∠2=∠4，根据∠A+∠B+∠C=180°，求出∠B的度数，由此得出答案。